【典型错例】

【错例1】凑整思想的僵化，造成生搬硬套

99×17

=（99+1）×17

【错例2】算理理解不到位，造成丢三落四

          25×(40+8)

         =25×40+8

【错例3】乘法分配律和乘法结合律混淆

          25×(30×4)

        =25×30+25×4

【问题剖析】

四年级的计算题所涉及到的运算定律、数的巧算等，都会延续到五、六年级的小数、分数计算中，除了考察学生的计算能力，更旨在培养学生的思维能力。而乘法分配律一直是学生学习的难点，学生对于乘法分配律的基础模型不敏感，尤其是面对乘法分配律的变式，更是会显得束手无策，是什么原因呢？

分析一：乘法分配律是乘、加这两级运算之间的一种规律。相对于乘法运算中的其他规律而言，乘法分配律的结构是最复杂的，等式变形对学生有一定的难度。

分析二：教师往往注重乘法分配律外型结构特点的教学，缺少了对乘法分配律内涵本质的把握，我们重视了“是什么”，而缺少了“为什么”的追问。我们老师应从最朴素的算理——乘法的意义出发，坚持“算理先行、理到法随”的教学原则，分析学生的“痛处”，抓住问题的本质，才能对症下药。

   【对策思考】

一、在“变与不变”中发现并理解规律

乘法分配律教学的核心问题，即知识的本质内涵——形式变了，但意义没变。

乘法分配律的教学可分五步进行：

第一步：呈现个例，初步感知。

从四、五年级一共要领多少根跳绳的两种解法建立一个等式。既从现实情境引出数学现象，又利用学生熟悉的实际问题帮助初步感知乘法分配律时体验它的合理性。

第二步：观察比较，引发猜想。

通过观察比较等号两边的算式有什么联系，初步感受乘法分配律的含义。

1.紧密联系实际问题，通过具体的数量关系来体会两道算式的联系：等号两边都是解决同一个问题，求得的都是四、五年级一共要领的跳绳根数。两种算法解决的是同一个问题，因而计算结果相同，所以可用等号连接两算式。

2.适度抽象等式的本质特点，在运算的层面上解释等号两边的联系，排除领跳绳的具体数量关系，只从运算的角度看这个现象。（还可以借助画图帮助学生明理，一个简单的示意图，直观地再现了算式的意义。学生通过横着看、竖着看，自然地将这个等式与乘法的意义联系起来，还能从乘法意义的角度理解左右两边的算式为什么相等。经过几组这样的练习，学生看着图就能够得出乘法算式，并说出算式的意义，进一步在理解算理的基础上发现定律，避免从形式上机械记忆，抓住数学本质构建乘法分配律的思维模型。）

第三步：举例验证，交流发现

验证这种联系具有普遍性，这一步是教学难点。安排的学习活动有：

 （1）写算式；（2）算结果；（3）比得数；（4）交流发现。

  学生在之前的运算律学习中已经初步掌握了举例验证的格式和方法，知道举例要先有过程（写出的每组算式都应该是两道，其中一道算式是两个数相加的和乘一个数，另一道算式是这两个加数分别乘那个数，再把积相加。）每道算式要分别计算、在比较得数后才能得出结论（建立等式）。在这一步教学中，老师主要关注学生举例算式时是否符合特征。

交流时追问：如果不计算，你能用乘法的意义说说等号的左边和右边为什么相等吗？这一问题的用意是引导学生提取已有的知识经验，从乘法意义的角度思考等号两边算式之间的联系与区别，等号两边算式的形式变了，但是意义不变，所以结果是相等的。

通过对多组等式的观察、思考、交流，使学生不仅发现了乘法分配律的“外形”，而且真正把握了乘法分配律的“内质”。从个案的等式关系到若干同类现象的等式关系，丰富了学生的感性材料，也体现了科学的认知方法和态度。

第四步：归纳结论，数学表达

提问：你发现了什么规律？能用一个字母式子表示你发现的规律吗？通过师生互动，引导学生口述规律，并用符号表述规律，初步建立乘法分配律的模型。再次凸现乘法分配律的含义： a加b的和乘c与a乘c的积加b乘c的积是相等的。

第五步：巩固练习，深化理解

相对于乘法运算中的其他规律而言，乘法分配律的结构是最复杂的，等式变形的能力也是教学的难点。为了突破这个教学难点，可以设计如下一系列的练习。

1.应用乘法分配律改写算式，通过改写准确把握乘法分配律。其中有顺向的改写，也有逆向的改写。学生在逆向改写时会有困难，要给予适当的帮助。

2．应用乘法分配律选择得数相同的两个算式。选择学生初学乘法分配律时可能出现的错误，如40×50＋50×90与40×（50＋90）让学生辨析，进一步明晰概念。还可选择比较特殊的情况，如74×（20＋1）与74×20＋74，有助于学生从本质上而不是形式上理解乘法分配律。

3.链接旧知，沟通知识之间的内在联系三年级学习过两位数乘一位数，如12×3，口算时先算10×3=30，2×3=6，再算30+6=36；用竖式算时，求3个12是多少就是求3个10与3个2 的和。四年级学过两位数乘两位数，如24×12，即求12个24是多少，等于12个20与12个4的和，列式为（20+4）×12=20×12+4×12。进一步让学生思考：四年级学过的三位数乘两位数的竖式也符合这个规律。

4. 用两种方法解决实际问题，如学生熟悉的计算长方形周长，可以应用乘法分配律沟通不同算法间的联系，既能加强对长方形周长的理解，又能加强对乘法分配律的理解。

  二、在变式拓展中完善数学模型

1.变形1：a×b＋a型。

在这个变型中，我们发现a并没有数与它相乘，但是我们知道一个数“乘以1”不会改变原数大小的，我们可以通过把“a×1”，来把这类算式变为基本公式类型题。

2.变形2：a×99与a×101型。

这类变型涉及到巧算“数的拆分”。仔细的同学可以发现，99和101都与整百数相近，而这时我们把99和101拆分成（100－1）和（100＋1），就可把原式变为乘法分配律的基本类型进行计算了。

解这种题目，要求同学们对数熟悉并且敏感，对于99、98、97、202、303之类的数，立刻想到可以通过整百数加减来拆分。

3.变形3：括号中加数个数或运算符号的拓展

① 两个数的和拓展到三个、四个……a×（b＋c＋d）=a×b＋a×c＋a×d

②加法拓展为减法（a-b）×c= a×c-b×c

两个乘法相加（相减）的运算大家都掌握了，三个乘法相加（相减）的运算也是运用相同的算理。①括号外的数分别与括号内的数相乘，再把乘得的积加起来。②每个乘法小组中，找出相同的数a，提取公因式把a提取出来，再把剩下的数依次放到括号里，注意中间连接的符号。（关注每类的正逆向应用）

4.应用积不变规律变形。（题目见书上思考题）

        无论题目怎样变化，只要学生按照乘法的意义去思考，就一定能找到解决问题的突破口。