数学成熟课型设计集
整数概念教学长段递进性思考
20以内数的认识 | 百以内数的认识 | 千以内数的认识 | 万以内数的认识 | 大数的认识 | ||||||
认识 内容 | 认识个位、十位 0占位且不读 | 认识百位 末尾0占位且不读 十进制进率 | 千位 中间0占位且要读（连续0读一个） | 万位 中间0占位且要读（间隔0都要读） | 个级、万级 每级末尾0都不读 整数的结构体系 | |||||
学生 情况 分析 | 虽然数在生活中随处可见，但每一学段的学生对数的大小的感悟存在一定的困难 | |||||||||
对数概念的认识学前差异大；在计数活动中点物和报数之间缺乏一一对应的关系；数产生的意义过于抽象；缺乏产生数位的需求与意义理解 | 虽然有数数的生活经验但是对数大小的感悟空洞；以群计数的灵活性不够；较难理解“百位”生成过程 | 初步感受了数认识的框架结构和方法结构，运用已用的经验会读100到1000之间的数，其中对中间有0的数的读法有些困难；对新的计数单位的生成过程有初步的感悟 | 感受了初步感受了数认识的框架结构和方法结构；具有了依据类读数的初步经验；部分学生对于中间连续0的数的读法可能存在一些困难 | 能够运用数认识的方法结构来认识数生成数；建立了依据类型读写一类数的意识；懂得了生成新计数单位的方法；对于中间间隔0如何读以及含有万级的数如何读部分学生存在困难 | ||||||
递进性目标设计 | 经历从场景图中抽象出1-10各数的过程，知道可以用简单的符号来表示数。 理解1-10各数的含义，学习有序地数数，初步感悟数的大小以及单数和双数。 让学生感知生活中处处有数学，体验与同伴互相交流学习的乐趣。 | 在观察、操作和交流等活动中，直观地认识“十”，知道10个一是1个十； 初步认识数位，知道“个位”和“十位”，认识个位上用0占位的必要性； 会正确地读、写11-20各数，知道11-20各数的组成； 掌握20以内数的顺序，会比较它们的大小。 | 结合生活素材感受数的意义； 能正确读写千以内的数，掌握千以内数的组成； 认识计数单位“千”，沟通每相邻两个计数单位之间的十进关系，初步建立数系统中十进制关系的意识； 沟通两位数和三位数的联系，初步形成整体认识数概念的结构意识。 | 知道从数认识的框架结构出发认识数； 能利用数认识的方法结构主动认识万以内的数； 认识数中间0占位的必要性，掌握万以内数的构造结构，并运用这个结构生成新的数； 感知“万”的大小。 | 能利用数认识的框架结构尝试认识多位数； 掌握多位数的构造结构； 在估数的过程中发现和把握四舍五入的规律。 | |||||
内容框架
核心推进环节 | 数的现实意义 | 经历从现实生活中抽象数的过程，使学生感受数在生活中的具体意义 | ||||||||
教师创设丰富的现实情境 | 教师提供丰富的生活情境 | 教师提供丰富的生活情境 | 指导学生从身边收集有关数的素材信息。（报纸、书籍、新闻媒体……） | 学生主动从多途径发现和搜集相关数的素材信息 | ||||||
数的读写组成 | 先读十位再读个位，个位的0不读, | 从高位起，依次读（写）；想数位，读（写）数字；末尾0不要读（要占位） | 从高位起，依次读（写）；中间0要读，末尾0不要读 | 高位起，依次读（写）；想数位，读（写）数字；中间0读一个（要占位） | 先分级，四位一级；先读万级，再读个级；万级先按个级的方法读再在末尾添上一个万字。高位起，依次读（写）；中间连续0读一个，不连续都要读；每一级末尾的0都不读。 | |||||
初步感受在数的读写中0的特殊性。 | 初步感受按读法对数进行分类，知道可以分成“有0的数”和“没0的数” | 依据已有经验尝试读数，在交流的过程中逐步形成类（“没有0”、“中间0”、“末尾0”），初步体会按类读的方法，提炼读数的方法 | 启发学生利用按类读数的方法认读万以内的数，在交流中建立清晰的类型意识，聚焦“中间连续0”完善读数的方法 | 启发学生运用数认识的方法结构自觉进行分类认读，聚焦“间隔0”、“含有万级数的如何读”完善读数方法 | ||||||
新数位的生成 | 知道个位、十位的概念 初步认识数位顺序表 | 9个 十 + 1个十 =（ ）个十 → 百位 | 9个 百 + 1个百 =（ ）个百 → 千位 | 9个 千 + 1个千 =（ ）个千 → 万位 | 9个 万 + 1个万 =（ ）个万 → 十万位；9个 十万 + 1个十万 =（ ）个十万 → 百万位；9个 百万 + 1个百万 =（ ）个百万 → 千万位；万级的生成 | |||||
数的大小 感悟 | 知道数字符号所表示的意义 | |||||||||
在“按物点数”、从具体的物体抽象出数的过程中体会数的实际大小 | 通过“数””按群计数”直观感悟百以内数的大小 | 借助工具感悟千以内数的大小 | 借助想象联系生活经验感悟万以内数的大小 | 借助数位的产生类推想象感悟数的大小 | ||||||
感悟 结构 | 初步渗透数认识的框架结构 初步了解数认识的方法结构。 | 初步感受数认识的框架结构 感受数认识的方法结构 | 感受从数认识的框架结构出发认识数 掌握数认识的方法结构 | 知道从数认识的框架结构出发认识数 能利用数认识的方法结构认识万以内的数，并运用这个结构生成新的数 | 能利用数的框架结构认识大数 掌握多位数的构造结构，并主动运用这个构造结构生成新的数 | |||||
过程关注 | 明确活动开展的目的意义，提升学生学习的动机水平。 帮助学生把握知识结构，形成学生学习的主动意识。 帮助学生理解对应关系，提升学生计数的能力水平。 | 通过“比比分分，总结方法”增加思维的挑战性，突破难点，并在这一过程中培养学生的归类意识、对比意识、提炼意识。组成和读写要始终紧密结合，形成连贯动作。 | 要让学生通过比较，沟通千以内数中的认识与万以内数的认识面对类似情形时的相同与不同。使学生经历从具体到抽象再回到生活具体这一反复体验的过程。 | 类比迁移学习万级的数，并根据已有数位顺序表，生成新的计数单位，培养学生整体认识知识结构和方法结构。大数的认识内容很多不能一步到位，第一课时利用数级的概念感悟读数的方法，第二课时理解和巩固亿级的读写。 | ||||||
课例1：千以内数的认识
学校：常州市新北区薛家中心小学 | 年级：二年级 | 班级：二（4） | 人数：51 | |||
学科：数学 | 课题：千以内数的认识 | 教师：李小英 | 日期：2012.3.1 | |||
一、教学目标 1、结合生活素材感受数的实际意义,能正确读写千以内的数，掌握千以内数的组成。 2、认识计数单位“千”，沟通每相邻两个计数单位之间的十进关系，进一步发展数系统中十进制关系的意识。 3、沟通两位数和三位数的联系，初步形成整体认识数概念的结构意识。 二、制定依据 1．教材分析 整数认识的教材编排：第一次大循环：百以内数的认识，包括：10以内数的认识、20以内数的认识以及百以内数的认识；第二大循环：万以内数的认识，包括：千以内数的认识和万以内数的认识及大数的认识，本课时是整数认识的第二次大的循环。本单元中教材先后安排了近五课时的教学，分别教学认识整百数、认识几百几十、认识几百几十几，并结合着安排了相关的口算，最后教学千以内数的大小比较。为了帮助学生对数的认识由单纯的表面符号知识的把握上升到对数认识的方法结构的把握，促进学生主动运用结构来认识新的数，提升学生认数的思维水平，拟对本单元教材进行适当重组，将千以内数的意义、组成、读写等整合在一课时中进行教学，全课分成三大核心板块：一是在情境中读数，让学生感受到学习的是有意义的数；二是放到数位表中读数，让学生借助数位表经历分类读数的过程，提炼形成读数的方法；三是生成新的计数单位，让学生经历创造的过程，体验新产生的数的大小及其蕴含的丰富的现实意义。 2．学生分析 具备了什么？——学生已经经历过整数认识的第一次循环教学，在百以内数的认识中已经初步形成了分类意识，感知两位数的读法：先读十位，再读个位（从高位起，依次读），个位0不读（末尾0，不读），同时也建立了一定的“位”概念，知道满十进一；另外随着孩子与外界社会接触的机会增加，大多数孩子对千以内的数已经有所耳闻目染，在脑中或多或少有了一些模糊的认识和了解。 困难是什么？——首先，由于孩子们学习背景的差异，他们对千以内数的学前经验也存在着相当大的差异，如千以内数的接触了解、认数方法结构的主动迁移等会呈现出不同程度的差异,其次，随着数的范围不断扩增，孩子们可能利用认数的方法结构能正确的读写数，但是对这些数背后隐藏着的丰富的内涵缺乏深刻体验。 提升些什么？——通过本节课的学习，需要帮助学生初步形成数认识的方法结构，为后续学习大数的认识奠定基础；其次，借助现实生活素材，丰富学生对数的内涵的体验。 | ||||||
教学过程 | ||||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | |||
常规 积累 | 出示：读数、说组成，说说百以内数的怎么读？ 24、30、59、80、100。 板书：高位起，依次读（写）；末尾0，不要读（要占位）。 | 同桌互相读数并说一说数的组成 | 回顾前期学习内容，为新知学习作好准备。 | |||
开 放 式 导 入 | 谈话：我们已经认识了两位数和100，100已经是三位数了，那100以上的三位数有哪些？这些三位数各要怎么来读写呢？这就是这节课我们来研究的一些问题。老师在小朋友收集的三位数信息中选择了一部分。 出示： 1、小明身高138厘米。 2、绕学校操场跑一圈300米。 3、我校二年级共有学生298人。 4、报告厅能容纳580人。 5、一张沙发的价格是905元。 6、小红三分钟能跳407下绳。 7、老师的左眼近视达650度。 | 读数 （1）在情景中读数 （2）在数位表中读数 自己轻轻地读一读，并说一说组成。 | 通过谈话，帮助学生拓展数的范围。
从鲜活的现实生活中撷取典型的数据信息，让学生感受数的实际意义，同时让学生尝试读写将学生的已有基础呈现出来，为进一步推进提供资源。 | |||
分类探究数的读写及组成 | 目的交待：有的小朋友这些数都会读了，那是不是这几个数会读了，所有的三位数都会读了？如果我们把这些数按照它们的读法一类一类地搞明白，那么所有的三位数就都会读了。 放：把读法一样的数找出来写在一起，记录在数位表中。 过程中指导：写完一类大家可以空一行再写下面一类，便于我们观察。 收：第一层次：没有0的数。 呈现学生资源（1） 交流：读一读，说说组成，并和两位数的读法去比一比，怎么读，读法是怎样的？ 小结：从高位起，依次读。 第二层次：有0的数 观察：有0的数你还能继续分，把读法一样的数仍旧写在一起吗？ 并联呈现资源：你知道它们分别是怎么分的吗？同桌说一说。 聚焦末尾0的数：读一读，说说组成，联系两位数中末尾有0的数的读法，想一想三位数中末尾有0的数我们可以怎么读？ 提炼：末尾0，不要读。 聚焦中间0的数：读一读，说说组成。 提炼：中间0，要读。 强调：读数和说组成的区别。 沟通比较：刚才我们通过分类，研究了有代表性的几类三位数的读法，它们和两位数的读法相比，有什么相同和不同的地方？ 练习：学生修改分类后在每一类的后面再写一个数给同桌读一读、说一说组成。 |
学生尝试归类写数，预设： （1）没有0和有0的（多数学生） （2）有0的进行二级分类的 （个别学生）
自己读一读，说说组成，再和同桌说说读法。
学生再次归类写数。 预设： ①按0的位置分 ②按0的个数分 ③按0的读法分
同桌互动交流
读一读，说说组成。 明确：末尾0不要读；中间0要读。
学生交流并归纳： 相同：都是从高位起，依次读；末尾0，不要读。 不同：出现了中间0，要读一个。 |
依据学生认识两位数的经验组织教学，通过分类、资源的加工，帮助学生整体认识三位数的读写方法，进一步形成并掌握数认识的方法结构。
沟通两位数和三位数的联系与区别，初步培养学生整体认识数概念的结构意识。 | |||
三位数的写法及组成 | 写数说组成 2个百、3个十和5个一 ；6个百和8个一；三百零七；九百。 组织交流：写数时要注意什么？ | 学生独立在数位表中写数 交流感悟：写数也是从高位写起，遇到哪一位上一个单位也没有要用0占位。 | 通过练习，巩固三位数的读写法和组成，为新知的生成作好孕伏 | |||
数位生成 沟通进率 | 谈话：9个百再增加一个百是多少？你能在数位表中写出这个数吗？ 呈现资源，组织交流，生成千位。
追问：一千到底有多大呢？课件播放，说说一千的组成。 过程中打开：看看谁能有条理地把1000的各种组成都能说清楚。 | 学生尝试在数位表中写1000。 预设：写对和写错（百位写10）。 进一步感受满十进一。 学生借助课件进行不同的表达：一千是由一个千、10个百、100个十、1000个一组成的。 | 迁移创造“千”，沟通计数单位之间的进率，促进学生对十进制关系的进一步理解。 | |||
感知一千有多大 | 提供材料来体验一千 体验材料：一间可容纳约500人的报告厅、十张百数表、二年级一个班大约有50人、1000个点子图。 |
边看边体验 | 通过数数获得对“一千”的认识，同时回归生活，借助推想感受一千在现实生活中的丰富内涵。 | |||
拓展延伸 | 启发：10个一是十，10个十是一百，10个一百是一千，你会接着联想下去吗？今后我们还要用同样的方法来学习更大的数。 |
学生联想 |
将学习方法向更高的数位拓展…… | |||
运算律单元整体设计结构化思考
教材简析：
本单元的内容包括：加法的交换律和结合律，应用加法交换律、结合律进行简便计算，乘法的交换律和结合律，应用乘法交换律、结合律进行简便计算。
这部分内容是在学生经过三年多时间的四则运算学习，并对这些运算定律已经有一些感性认识的基础上，进一步通过一些实例来引导学生进行概括的。由于乘法的分配律不是单一的乘法运算，而是涉及到乘法和加法的运算，学生对乘法分配律的感性积累比较少，学习起来比较困难，而且加法的交换律、结合律与乘法的交换律、结合律有很多相似的地方，所以本单元只教学加法和乘法的交换律、结合律，而将乘法的分配律单独编制单元，安排在四年级下册进行教学。
学习加法和乘法的运算律，不仅有助于加深对加法、乘法计算方法的理解，还能使一些计算简便，而且在以后学习中也要经常用到。因此，这些运算律是小学数学中最基础的知识，教学中要积极引导学生对这些规律性知识进行探讨，自觉应用，并在应用中加以巩固。
学生分析：
本册教材的第三单元安排了两步混合运算，这些内容是学生学习运算律的基础。学生虽然在此前的学习中，对四则运算中的一些性质和规律有感性的认识，但这些只是对默认结果的应用，学生对规律的发现和形成过程缺乏了解，常常只是知其然而不知其所以然，更会对规律探索的方法产生以偏概全的错觉。学生对规律的特点把握比较困难，对规律适用的前提条件缺乏敏感度，规律性的语言叙述存在一定的困难。
本单元内容毕竟是属于理性的总结和概括，比较抽象，学生不易理解和掌握。因此，教材呈现学生经常经历的跳绳、踢毽等具体情境，利用学生已经掌握的知识，让学生独立解答，通过学生解答，初步发现不同算法间的联系。接着让学生举出类似的等式，并对这些等式进行分析和比较，引导学生主动地探究规律、发现规律。学生在探究运算律的过程中，体验了提出猜想、举例验证、归纳结论这样三个步骤，经历了一个相对完整的探索方法的过程。举例验证的类意识得到了强化，但是提出猜想的能力以及语言表达的能力还相对欠缺。另外，对于这些运算律怎么用使得计算简便，学生的判断能力还不强。需要通过练习来加强，尤其是数感要加强，注意解题的格式。
教材在练习中渗透和、差、积的变化规律，让学生在探索、发现和应用规律的过程中，发展合情推理和初步的演绎推理的能力。另外，我们在教学中还增加了减法的性质和除法的性质两个教学内容。学生在学习这两个内容之前，可能已经对两个性质有了感性认识，他们中有一部分学生已经具有根据减数或除数的特点，改变运算顺序进行巧算的直觉和敏感，但对规律形成的过程缺乏了解，对规律的表述不严密清晰，不利于形成系统而科学的研究意识和能力。更重要的是在应用的过程中，对规律的使用缺乏主动的判断和选择意识，如何根据数据特点灵活选择运算形式，是个大问题，需要培养学生对数据的敏感意识和对规律的判断选择能力。因此，在教学中，我们特别注意增强学生对规律的特点把握，对规律使用的前提条件增强敏感度，帮助学生把多种分散、局部的认识，进行聚类、清晰化的处理，形成相对完整、丰富的概括，提炼和抽象出“减法运算性质”、“除法运算性质”的结论表述。
单元目标：
1.培养学生的研究意识。研究意识主要包括：猜想的意识、举证的意识、分类研究的意识、确定研究范围的意识、梳理的意识等。
2.了解和掌握数运算规律的知识结构、学习方法结构和教学过程结构，为学生主动学习提供方法和工具的支撑。
3.在建立研究意识和形成认知结构的同时，能够掌握和运用这些运算规律解决相关的实际问题。
推进安排：
内 容 | 课 时 | 目 标 | 资 源 | 策 略 |
加法交换律 | 第一 课时 | 1．区分特殊与一般的差异，能根据特殊对一般进行猜想。 2．通过体验，掌握验证猜想的过程和验证的书写格式。 3．经历规律探索的全过程，掌握规律探索的一般方法结构。 | 基础性资源：开放式导入，让学生凭借已有经验解决简单的问题。 生成性资源：通过不同资源的辨析，明确验证过程的科学严谨，拒绝伪验证。同桌互相交流，概括提炼出简洁的语言表达，同时用自己喜欢的符号语言表达出规律。 | 教结构策略：在解决问题的过程中，提出探索规律的要求。 学生在教师的指导下举例（大数、特殊数、小数、分数） 尝试归纳 对比修正 完整品读 |
加法结合律 | 第二 课时 | 1．在观察的基础上独立尝试，经历归纳探究的过程，再次形成方法结构。 2．经历比较的过程，体会运用运算律可以使计算变得简便。 | 基础性资源：出示一道连加的算式，让学生尝试用不同的方法计算，大胆提出猜想。 生成性资源：学生大量举例，互动生成各类例子，尝试概括结论，并能用字母表示规律。 | 用结构策略：从学生的经验出发，进行直觉猜想。在教师的引导下经历归纳探究的过程，逐步熟悉这些步骤。
类比、迁移 |
应用加法运算律进行简便计算 | 第三 课时 | 1．通过题组对比，进一步发现运算律可以使一些计算简便，培养简算意识。 2．通过练习，养成先观察判断，再动笔计算的作业习惯，培养简算能力。 3．通过简算促进计算能力的提升，体验数学学习的乐趣。 | 文本资源：口答气球上3个数的和是多少，建立对数的敏感。 基础性资源：出示例题，学生尝试解决。 生成性资源：呈现各种解答方法，通过交流，不仅要使学生体会到不同算式的内在联系，更要使学生认识到哪种算法简便，从而了解应用加法运算律可以使一些计算简便，初步认识简便计算的方法。 | 教结构策略：通过例题的解答、交流、对比，逐渐完善这类题的解答过程，充分体验利用运算律的优越性。 用结构策略：激发学生主动尝试运用运算律进行简算。将简算意识运用到实际问题中去，感知可以根据数据的特点选择先加哪两个数。
类比、迁移 |
乘法交换律和乘法结合律 | 第四 课时 | 1．经历乘法交换律和乘法结合律的探索过程，理解并掌握规律，能用字母表示规律。 2．培养观察、比较、分析、综合和归纳、概括等思维能力。 3．增强合作意识，激发学习数学的兴趣。 | 基础性资源：通过问题，回顾上节课的学习内容和学习方法，为这节课做好铺垫。 生成性资源：通过提供的研究纸记录研究验证过程，得出自己的结论。放手让学生经历猜想—验证——结论的过程。 | 用结构策略：乘法交换律、结合律以及相关的简便计算，安排在加法交换律和结合律之后，整个教学的过程和加法类似，都是先让学生初步感受可能存在这样的运算律，然后再让学生通过举例验证，经历分析、综合、抽象的过程，得出运算律，并且用字母表示。不过探索的要求有所提高。需要学生能从学习加法交换律和结合律的方法结构中主动迁移，自主进行探索，即加法交换律、结合律为教结构，乘法交换律、结合律为用结构。
类比、迁移 |
应用乘法运算律进行简便计算 | 第五 课时 | 1．通过题组对比，进一步发现运算律可以使一些计算简便，培养简算意识。 2．通过练习，养成先观察判断，再动笔计算的作业习惯，培养简算能力。 3．通过简算促进计算能力的提升，体验数学学习的乐趣。 | 文本资源：教师补充习题和书本练习 拓展资源：书本第7、8、10题。 | 用结构策略：这部分内容教学应用乘法交换律和结合律进行一些简便计算，有些题明确提出了“用简便方法计算”，通过计算进一步掌握简便算法，巩固对乘法交换律、结合律的理解。有的通过对乘法的验算，将验算方法与乘法交换律联系起来，沟通了新旧知识的内在联系。通过题组对比，引导学生体会灵活应用乘法运算律使计算简便的方法。
类比、迁移 |
减法的性质 | 第六 课时 | 1.在直觉猜想、自主验证、提炼概括的基础上进一步增强研究意识和形成清晰的认知结构。 2.清晰规律运用的前提条件，能灵活运用减法的运算规律解决相关的实际问题。 | 文本资源：出示例题，学生尝试用不同方法解答。 基础性资源：呈现资源，观察分析，同桌相互说一说，再指名交流。 生成性资源：学生大胆提出猜想，自主展开验证过程。通过验证，进一步清晰减法性质的结构特点，明确规范验证的研究过程，对从特殊发现一般的数学方法有更深的体悟。
| 教结构策略：为学生提供了更多实践和反思机会，有利于学生整体和结构化地把握知识，为学生的类比猜想和结构思考提供可能，而且有利于学生形成主动探究的学习心态，在形成知识结构的同时建立起结构化的思维方式。
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除法的性质 | 第七 课时 | 1.在类比猜想、自主验证、提炼概括的基础上进一步增强研究意识和形成清晰的认知结构。 2.清晰规律简便使用的前提条件，能运用除法的运算规律解决相关的实际问题。 | 文本资源：复习学过的运算律，运用运算律进行简算，对除法的性质提出猜想。 生成性资源：通过猜想、验证、归纳的完整过程，既再次体验探究过程又让学生充分感悟这种规律的存在。 拓展资源：教师补充部分提高题，激发学生的解题欲望。 | 用结构策略：在学习了减法的性质之后，学生学习本课完全可以自主进行猜想验证的全过程。但必须关注学生举例中出现的问题：当遇到不能整除的情况，学生会发现余数不同，因此认为发现了反例，但实际上商还是不变的。
类比、迁移 |
课例：《加法交换律》
学校：常州市新北区薛家中心小学 | 班级：四（2） | 学科：数学 | |||||||
课题：加法交换律 | 教师：姜博 | 日期：2011.10.20 | |||||||
一、教学目标 1.区分特殊与一般的差异，根据特殊对一般进行猜想， 2.掌握举例验证的方法以及规范的书写验证过程。 3.经历探索加法交换律的全过程，提炼规律探索的一般方法结构。 二、制定依据 1.教材分析 低年级阶段教材安排了一步计算的内容，本册教材的第三单元安排了两步混合运算，这些内容是学习运算律的基础。本单元教材的内容包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律的发现、总结、以及字母表示。并初步体验运算律可以帮我们进行简便计算。而稍复杂一些的乘法分配律则安排在下册教学。这样的内容安排无疑是点状的，也是割裂的，缺乏对所有运算律的整体感知，缺乏对加减乘除运算律之间的沟通比较，更缺乏由此带来的归纳探究过程的整体感悟。因此，本单元将做以下调整：一是将加法交换律利用观察猜想作为教结构的课，用一课时完成，加法结合律采用直觉猜想让学生尝试用结构，在此基础上进行加速度，乘法交换律和结合律进行类比猜想，迁移学习，用一课时完成。二是进行适当补充，教学减法的性质和除法的性质。三是把不变规律在课堂内完成，而共变规律结合相关练习和拓展，放到课外完成。 加法的运算规律教学作为教学结构阶段，而“加法交换律”是这个教学结构阶段的起始点，所以就显尤为重要。小学数学教材中的规律性知识体系中，加减乘除四种运算中的定律和性质都可以成为育人的载体和丰富的资源。加减乘除四种运算之间本身就存在着紧密联系：第一，减法是加法的逆运算，除法是减法的简便运算；第二，乘法具有与加法相类比的运算定律，除法与减法之间也有相类比的运算性质：第三，乘法与加减法之间有运算定律，除法与加减法之间也有运算性质。因此加法是其它运算教学的基础，而加法交换律则是规律性知识学习的起点内容，这一教学内容是学生建立起结构意识和结构化思维方式的关键，所以通过对“加法交换律”运用探究式的教学结构“提出问题，引发猜想，验证猜想，概括归纳，拓展延伸”开展教学，促使学生在这个运算定律的“教结构”的过程中，知道基本的规律性学习的结构和探究规律的一般方法和步骤，使学生形成初步探究规律性知识的能力和意识。从猜想到形成结论的验证的步骤，以及验证的格式，举例验证的要求，使学生知道验证时要有代表性（小学阶段学生运用不完全归纳法，主要采用举例验证的方法对规律性的知识进行验证）初步形成运算定律研究的方法结构（猜想、验证、归纳概括、延伸）；帮助学生初步建立结构意识和结构化的思维方式，为后续的主动研究其他的运算定律充分作准备。期望通过实践与研究改变以往让学生理解、记忆定律、运用定律进行规律性知识的教学方式，体现数学规律学习的重要教育价值，即培养学生的研究意识和能力。 2.学生分析 学生能熟练地进行一步运算和两步混合运算，在运算的过程中，不少同学已经初步感知到有运算规律的存在，但都是从个别现象中得出的。对于学生来说，很容易将其上升为规律，而缺乏科学严谨的归纳探究的过程。学生举例验证的时候往往只关注数据的不同，缺乏类的意识也就很难做到全面。归纳结论时，对于规律的表象学生是比较容易发现和理解的，但语言的叙述上可能会缺少严谨和完整，需要在教师的指导下逐步学会从描述现象上升为表述本质。 | |||||||||
教 学 过 程 | |||||||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | ||||||
常规 积累 | 口算： 32＋4= 1000＋10= 32＋150= 9＋7= 0＋799= 2000＋256= 150＋32= 7＋9= | 独立口算，校对结果 | 从常见的现象入手发现蕴含的特殊现象。 | ||||||
提出 问题
形成 猜想 | 1.初步感知加法交换题的特点 32+150=182 9＋7=16 150+32=182 7＋9=16 提问：仔细观察等式左右两边的式子有什么特点？ 指出：像这样两个结果相等的加法算式可以在中间用等号连接，写成一个等式。板书：32+150=150+32 9＋7=7＋9 2.比较表述差异，并介绍猜想 提问：比一比这两种说法，有什么不同？哪一种说法有道理，为什么？
回应：仅从这两题我们还不能说所有的加法算式交换两个加数的位置和都不变，所以这还只是我们提出的一个猜想。 （板书：提出猜想）
3.这个猜想是否成立呢？还需要进一步举例子加以验证。（板书：举例验证） | 观察并尝试表述特点。 预设： 交换32和150的位置，和不变。 交换两个加数的位置，和不变。
比较不同表述之间的区别。
| 通过观察和言说初步感知并尝试表述加法交换题的特征。
通过比较不同的叙述方式，帮助学生理解特殊和一般的区别，使学生明晰结论与猜想的区别。
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验证 猜想 | 谈话：如何验证呢？我们可以再写一些这样的算式，看看是否依然存在这样的规律？如果每人写十个，全班就有四百多个例子，在一定程度上就可以证明这个规律的存在。
第一层次：规范验证格式 1.呈现资源1，组织学生辨析 指出：举例时要满足等式成立的特征要求 2.呈现资源2、3、4、5组织学生比较验证格式，说说有什么不同，有什么想说的？ 指出：验证时，只有过程和结论都有了，才更有说服力。
第二层次：打开研究思路 1.提问：只举一个例子就能证明猜想成立吗？
2.呈现资源 提问：它举了不少例子，这样可以吗？ 打开1：如果举的都是10以内的数，那么只能验证在10以内两个加数的位置交换，和不变的规律是成立的。想一想，还可以举哪些类型？
打开2：有的同学不仅注意列举的类型不同，还关注到了0和1这样一些特殊的数。
第三层次：介绍反例的意义 在过程中有没有发现不成立的情况，如果有，就是找到了反例，就可以证明这个规律不成立。（板书：反例） | 尝试验证。 预设： 1.A＋B=C＋D 2.A＋B=B＋A 3.A＋B=C 4.A＋B=C B＋A=C B＋A=C A＋B=B＋A 5.A＋B=C B＋A=C A＋B=B＋A
观察比较几个验证的过程，从验证的角度看哪个比较有说服力。 修改完善验证格式，继续按规范验证。 预设： 1.只列举一个事例 2.列举事例多，但类型单一 3.能列举不同类型，但属于无意识
交流想法。 感悟：一个例子不足以证明猜想成立。
同桌互说。 有意识分类列举一般情况。 感悟：举例时要自觉地分类列举各种情况，从不同的角度举例，所举的例子尽可能的全面，涉及的类型尽可能的广。
自觉调整，例举特殊情况。 感悟：举例时要考虑一般和特殊两种情况，那么举例就更具有代表性。
知道：猜想不一定正确，可以通过举反例加以否定。
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通过不同资源的辨析，明确验证过程的科学严谨，不能是伪验证。
渗透不完全归纳的验证方法，指导学生进行规范的研究记录。
逐步形成分类例举和寻找反例的意识。知道要关注特殊数的举例。
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归纳 结论 | 1.提问：我们从不同的角度举了很多例子进行验证，并且没有出现反例，看来我们的猜想是正确的。可以下怎样的结论呢？试着写一写。（板书：归纳结论）
2.呈现资源，引导修正。 指出：要用比较简洁、准确、严密的文字语言表达结论。 出示课题：加法交换律 3.打开：你能用简洁的数学符号表示加法交换律吗？试一试。 指出：可以用不同的数学符号语言表达结论，一般用字母来表示：a＋b=b＋a
4. 梳理规律探究的步骤。 今天我们一起研究了加法中存在的一种运算规律——加法交换律。回忆一下，我们是通过哪几个步骤进行研究的？举例验证时要注意什么？ | 独立尝试写结论。 预设： 1.前提交代不清楚 2.能用文字完整表达结论 3.用“条件—结论—条件”的形式表达
讨论修正，知道用条件、结论表述结论的表达方式。
独立尝试。 预设： 甲数＋乙数=乙数＋甲数 ○＋□=□＋○ a＋b=b＋a
尝试提炼方法结构：提出猜想——举例验证——归纳结论 说说举例中的注意点：格式规范、例举全面、关注反例 | 从学生的基础出发提高学生对规律的表达能力和用字母表达的抽象过程。 初步感知完整规律表述应该包含条件和结论。
回顾反思体验学习全过程，形成探索规律的一般方法结构，为后续学习做铺垫。 | ||||||
拓展 延伸 | 1．学习了两个数的加法交换律，如果是三个数相加，任意交换两个加数的位置，结果会怎样呢？想一想，可以怎样交换位置呢？如果是更多数呢？ 2．今天我们是在整数范围内进行研究，这个运算律在小数范围、分数范围内还成立吗？ | 课后试着用今天的研究过程进行研究。 | 引导学生大胆猜想，扩展研究视角。 | ||||||
反思 重建 | |||||||||
课例：《减法的性质》
学校：常州市新北区薛家中心小学 | 班级：四（3） | 学科：数学 | |||
课题：减法的性质 | 执教：包琴 | 日期：2011.10.20 | |||
一、教学目标 1.在直觉猜想、自主验证、提炼概括的基础上进一步增强研究意识和形成清晰的认知结构。 2.清晰规律运用的前提条件，能灵活运用减法的运算规律解决相关的实际问题。 二、制定依据 1.教材分析 减法的运算性质在现行的苏教版教材中没有编排，只是在二年级用连减解决的实际问题和低年级的口算题组练习中有所渗透。因此，教师对于这一运算规律要不要教、怎样教、教到什么度，心中都没有把握。即使是部分教师意识到这一缺漏，借助练习进行了拓展教学，但对教学设计的思考相对缺乏整体和深入，缺少与已经学习过的部分数运算定律的沟通和类比，仅仅停留于理解和运用，而不注重研究意识的培养和研究方式的贯穿，不注重规律运用的判断和选择意识的培养，导致了这一内容在育人价值上的贫乏和窄化。 在本单元，我们将加法、乘法运算中不变规律（加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律和乘法分配律）的探索集中在一起进行呈现。又将减法、除法运算中不变规律（减法运算性质、差不变性质、除法商不变性质、除法性质）的探索集中在一起进行教学。这样的条状重组，将人为破坏的数运算规律的知识结构重新修复完整，一方面有助于教师整体把握知识间的紧密联系，整体设计学生的能力培养梯度。一方面也为学生提供了更多实践和反思机会，有利于学生整体和结构化地把握知识，为学生的类比猜想和结构思考提供可能，而且有利于学生形成主动探究的学习心态，在形成知识结构的同时建立起结构化的思维方式。 减法的运算规律教学将安排两个课时：一是连减性质，通过偶然问题引发学生对一般进行猜想，并通过分类比较突显规律简便使用的前提条件，这是规律探究教学至此的重点所在；二是差不变性质，通过天平实验引发学生根据观察进行猜想，从而揭示被减数与减数以加减方式变化有规律存在，这是学生理解的难点所在。 2.学生分析 学生在学习这一内容之前，可能已经对减法性质有了感性认识，他们中有一部分学生已经具有根据减数的特点，改变运算顺序进行巧算的直觉和敏感，但对规律形成的过程缺乏了解，对规律的表述不严密清晰，不利于形成系统而科学的研究意识和能力。更重要的是在应用的过程中，对规律的使用缺乏主动的判断和选择意识，如何根据数据特点灵活选择运算形式，是个大问题，需要培养学生对数据的敏感意识和对规律的判断选择能力。 学生已经经历了加法运算定律的“教学结构”阶段和乘法运算定律的“运用结构”阶段，对于研究的路径、研究的范围和材料的有序罗列等研究方法有了一定的认识和积累，初步具备了研究的意识和能力，但必然还有少部分学生，由于自身的惰性或能力差异，在形成猜想、分类验证和概括提炼上有困难，需要过程中教师的指导和榜样的影响。 学生学习这一内容最大的困难在于对规律的特点的把握，对规律使用的前提条件缺乏敏感度，语言的表述也是学生十分困难的地方。因此，在教学中，教师要特别注意增强学生对规律的特点把握，对规律使用的前提条件增强敏感度，帮助学生把多种分散、局部的认识，进行聚类、清晰化的处理，形成相对完整、丰富的概括，提炼和抽象出“减法运算性质”的结论表述。
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教学过程 | |||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | ||
常规 积累 | 1.凑整练习。 2.说说学过的运算律和研究的方法过程。 | 同桌一人出一个数练习。 相互说一说。 | 帮助更多学生形成自主研究的能力。 | ||
开放 式 导入 | 出示：小明买一个笔袋17元，一支钢笔13元，付了50元，应找回多少元？你能帮小明解决这个问题吗？你有几种不同的方法？ | 学生试算。 | 创设问题情境，引发学生已有的经验。 | ||
探究 减法 的 性质 | 引发猜想： 1.呈现资源，观察分析，他们的方法都有道理吗？这两种方法之间有怎样的联系和区别呢？ 相机板书： 50-17-13=50-（17+13）
2.在这个问题中，我们发现两种算法都有道理，但在平时我们规定同级运算要从左往右依次计算，不能随意改变它的运算顺序，这里却先求了两个减数的和，还使计算简便了，由此我们可以提出一个怎样大胆的猜想呢？ | 预设： ①50-17-13 ②50-（17+13） =33-13 =50-30 =20（元） =20（元） 同桌相互说一说，再指名交流。 预设： ①一种方法是一个一个减，一种方法是合在一起减； ②三个数没变，位置也没变，结果也没变，只是运算顺序改变； 学生轻声说一说，再交流。
预设： ①一个数连续减去两个数就等于一个数减去这两个数的和。 ②所有的连减运算都能改变运算顺序，结果不变。 | 在观察分析过程中进行第一次语言渗透。
通过问题情境与运算规则的矛盾冲突 ，引发学生的猜想。
在指导学生表述自己的猜想时进行第二次语言的渗透。 | ||
举例验证： 1.是不是所有的连减运算，都能够用一个数连续减去两个数或者用这个数减去这两个数的和，而结果不变呢？我们需要进行验证。比一比，谁举的类型全？
2.组织交流：我们是在怎样的数的范围里进行举例验证的？类似的例子还有很多，有没有反例存在？
3.小结：通过我们大家的努力，我们对不同位数、整十、整百数、减数为1或0的特殊情况、还有能凑整的和不能凑整的各种类型都举了大量的例子，而且都没有发现反例。 |
学生自主展开验证过程。
过程中如果学生对算式的特征还不清晰或者举的都是能凑整的单一的例子，及时指导。
小组交流：互相说说分别举了哪些类型的例子？有没有反例存在？
| 通过验证，进一步清晰减法性质的结构特点，明确规范严谨的研究过程，对从特殊发现一般的数学方法有更深的体悟。
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概括结论： 1.现在你能把我们研究得出的结论表达出来了呢？
2.交流比较，修改完善。
3.揭示课题：减法的性质 | 学生独立用文字写一写，并用字母表示，完成后相互说一说。 预设： ①连减算式中，不改变位置，改变运算顺序，结果不变； ②一个数减一个减数再减一个减数等于这个数把后两个数的和一起减去； ③连减运算中用一个数连续减去两个数或者用这个数连续减去这两个数的和，差不变。 | 帮助学生从直译、抽象表达等问题出发，感受数学结论的严谨和清晰。
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灵活 运用 | 1.这里有一些同学例举中得到的等式，哪些等式运用了减法的性质使计算简便了呢?请同学们分分类。 ①452－（52+189）=452-52-189 ②54－7－3=54－（7＋3） ③158－58－63=158－（58＋63） ④45－18－16=45－（18＋16） ⑤350－80－20=350－（80＋20） ⑥154-（26＋14）=154－26－14 2.怎样很快算出还剩多少元？ 原有189795512450用去45954834用去2548052150还剩3.如果以算式的形式出现，你能完整地写出简便计算过程吗？ 189-45-25 795-（95+480） 512-48-52 450-34-150 | 判断哪些运用规律使计算简便了？独立分一分类，再交流。
快速反应，同桌互说。
独立计算，相互交流，怎样使计算简便？运用了什么运算律？ | 通过分类判断，进一步清晰规律简便运用的前提。
增强学生对规律的特点把握，对规律使用的前提条件增强敏感度。 | ||
拓展 延伸 | 学习了减法的性质，你又有什么大胆的猜想？ | 纵向：更多数连减 横向：除法运算中能否改变运算顺序 范围：小数、分数 | 引导学生对基本研究进行拓展和变式的思考。 | ||
反思 重建 | |||||
课例：《乘法分配律》
执教者 | 孙网福 | 班 级 | 四（5）班 | 学 科 | 数 学 | |||
课 题 | 乘法分配律 | 教 时 | 1 | 日 期 | 2012.3.15 | |||
一、教学目标： 1、知道乘法分配律的产生范围、具体内容和字母表达式。 2、进一步建立、形成研究意识，学会按照步骤独立开展研究活动。 3、知道可以通过类比进行合理猜想，并能自觉对所获得的结论进行拓展性研究。 二、制定依据： 1、内容分析 乘法分配律的学习教材是通过生活中购买衣服的具体情境引入的，对于学生的学习而言，这样引入会使学生形成对乘法分配律特点的单一的关注，忽略了沟通学生之前学习的运算定律及运算律系统研究的发展过程，学生在以后的综合运用中就会缺少前提的判断。为了改善这一现象，避免在以后的运用中出现思维的混乱，我们尝试从学生已经研究的范围（同级运算）出发，交代乘法分配律在整个运算律系统的确定范围（前提），让学生思考如果在3个数的运算中既有加又有乘，可能出现几种情况？在这些可能中，哪些改变运算顺序后，结果仍旧保持不变？在分析和沟通中发现运算律的存在，激发他们主动研究的兴趣，逐步培养起学生发现问题的能力，提高学生的研究意识，同时建立清晰的运算律知识系统，形成结构意识和结构化的思维方式。 2、学生实际 知识基础：乘法分配律对于学生而言，并不是完全陌生的。在二年级学生乘法口诀时，学生就能运用拆分的方法寻找乘法口诀的结果；三年级在学习乘数是一位数的乘法时，也能把一个三位数拆成整百、整十和一位数进行计算；两位数、三位数乘两位数的竖式计算中都是乘法分配律的思想；实际运用中也有分开算和合起来算总数的经历……这里的“拆分”就是对乘法分配律的一种渗透。 能力基础：学生已经学习了加法、乘法的交换律和结合律，减法、除法的性质。不仅掌握了这些运算定律、性质的内容，而且能灵活运用这些运算定律进行巧算和解决一些实际问题，运用中学生能够体会到运算律的运用价值；更重要的是，学生具备了初步的研究意识和能力。在上学期的教学过程中，我发现全班大多数同学知道完整的研究步骤，知道用举例的方法验证猜想，知道举例验证时除了考虑一般情况外，还要考虑特殊情况，知道要思考有没有反例，知道如何正确用字母形式表示所获得的结论……（前期的铺垫中还需要进一步对以上内容进行统计，分析班级学生的能力整体情况） 能力障碍： 乘法分配律相对于交换律、结合律，它的变化更复杂多样，学生对于混合运算所表示的算式意义理解能力较弱，这会严重影响学生对乘法分配律特点的把握，学生较难发现算式前后发生的复杂变化，导致学生用文字来表达乘法分配律的内容时有障碍。 因此我们要继续深化前一阶段对归纳探究课型的研究，在帮助学生掌握乘法分配律内容的同时，培养学生的研究意识和能力。 | ||||||||
教学过程 | ||||||||
常规 积累 | 下面各题怎样算简便？ 38＋145+62+55 32×125×25 512—77—23 1200÷25÷4 364+89-64 125÷25×8 | 各3题，同桌互查交流 回顾以前学习的运算定律 （突出同级运算中存在运算律） |
回顾已有，为进一步学习做准备。 | |||||
发现并形成猜想 | 揭示研究内容： 在同级运算符号参与的运算中存在运算定律，那么，有不同级运算符号参与的运算中是否也存在运算定律呢？ 这节课我们就来研究这样的情况。 问题：如果是两种不同级的运算符号混合形成算式，会有哪几种情况呢？
今天先研究其中一种：加、乘。 想一想，有两种运算符号的算式至少需要几个数参与运算？
“放”： 在100、4、25这三个数中添上＋、×，也可以使用（ ）。 看看可以组成哪些意义不同的两级运算的式子，能不能把所有的情况都写出来？写好后说说运算顺序是怎样的。 （为了便于研究）注意：三个数的位置不变。
“收”： 呈现（2）（3）
100+4×25 100×4+25 可以改变它们的运算顺序计算吗？ 有括号的呢？
104×25表示104个25相加的和，根据乘法的意义想想125个4还能怎样计算？
根据我们前面学习的经验，运算规律中的数会不会变化。所以这么多算式哪一个能帮助我们研究规律。 板书：100×4＋25×4的计算过程
既然这里的结果相等，我们就可以用等号连接。 仔细观察等号左右的两边， 有什么相同？又有什么不同？
追问：运算顺序分别是怎样的？
小结特点：左边一种先求和再求积，右边一种先求积再求和，虽然运算顺序改变，但因为它们都算的是104个25的积，结果不变。 形成猜想： 从刚才的发现中，你能形成什么猜 想？ |
＋ — ×÷ 有序说出4种组合情况
学生独立思考并记录 学生可能： （1）改变数的位置(少数） （2）无序、有遗漏 （3）有序、全面 100+4×25 100×4+25 （100+4）×25 100×(4+25)
交流怎样有序、不遗漏地写全
独立计算 思考中发现 交流 （1）100+4×25 100×4+25 不能改变它们的运算顺序计算，否则结果会改变。 （2）收（100+4）×25， 想一想，说一说 指名交流，可能： 100个4加25个4 99个4加26个4....
同桌交流 同：数字相同、 结果相同 不同：3个数字——4个数字运算顺序不同：左边先求和再求积，右边先求积再求和， 意义不同但有联系： 左边表示两个数的和乘一个数，右边表示两个数分别去乘那一个数。 是不是只有这三个数有这样的规律？ | 沟通同级运算中的运算定律与两级运算中的运算定律之间的联系与区别，促使他们更主动地进行思考，进一步建立起结构意识和结构化的思维方式。
开放性的问题渗透了有序思维的培养；由教师统一规定三个数，只是为了便于后续交流讨论的集中性。
通过一个开放性问题，引导学生主动猜想，形成基础性资源。
渗透发现改变运算顺序后，结果不变的算理。初步感受简便。
感受乘法分配律的特点。
引导学生从一个特殊、偶然的问题出发，去归纳探究于其中的一般又是必然的规律。 | |||||
验证猜想和归纳概括结论
| “放”： 是不是所有的乘、加这样组合的算式都有这样的规律？如果换3个数，这个规律还成立吗？ 难道这仅仅是一个偶然现象吗?
要能说明我们的猜想是不是成立，接下来应该怎么办？
举例验证要注意什么呢？互相提醒
带着互相的提醒，试试看 过程中可以使用计算器来计算。 如果猜想确实成立，想一想如何下结论。
过程中指导：不符合特点的错误过程中呈现，辨析。 “收” 1、收集一些典型的例子呈现出来。
强化学生寻找反例的意识。问：举了这么多例子，还可以举很多，有没有反例存在？ 2、如何进行归纳概括。 呈现表述不清或没有结论或条件不完整的 3、揭题：乘法分配律。 |
举例验证
数量多、类型全、符合要求
可能错误： 数的位置可能会变 可能漏加括号 分别乘可能会遗漏一组 分开乘时相同的数会出错。
有能巧算的， 如125×8+125×3 指出左、右边哪一边计算容易 有特殊数0、1的 有一般情况的
尝试用字母表示 评价、分析、补充 |
让学生独立举例验证猜想正确与否，而验证的过程，也是学生逐步明晰规律变化特点的过程。
既要有可巧算的特殊事例，又要有一般事例，所选取的数范围也较广，尤其要关注那些失败的事例。
鼓励学生尝试用自己的语言进行表述。 | |||||
灵活运用乘法分配律 | 1、下面几题都运用了乘法分配律。如果你来计算，更欣赏哪几题的做法？为什么？ 43×102 =43×100+43×2 69×8+31×8 =（69+31）×8 23×（45+36）=23×45+23×46 25×8+25×6 =25×（ 8 + 6） 2、看看下面几题是用了乘法分配律简便，还是不用乘法分配律简便？ |
说明想法
61×（20+7） 指名说 129×9＋71×9 说理由 54×（23+27）49×201互说 | 感受运用乘法分配律使计算简便的前提，渗透灵活计算。 | |||||
拓展 延伸 | 今天我们研究的是乘法对加法的分配律，想一想，还可以研究哪些类似的情况？ 根据这样的研究过程、研究方法，今天回家选一种情况进行研究，明天交流。 |
乘法和减法、 除法和加法、 除法和减法 | 引导学生对已获得的基本结论作纵向延伸性研究。这样，既可以增强学生的结构意识，又为学生自主开展研究提供了内容和载体。 | |||||
实践后的思考：
本单元的新知识在以前的数学学习中都有相应的认知基础，反过来，学了本单元的新知识又可以促进学生更深入认识原来学过的知识和方法。我们在教学时，充分利用了主题图的故事性，逐步形成连贯的情境、后续的问题，使本单元的教学形成一个连贯的整体。
1.在情境中初步感知规律
数学源于生活，生活处处有数学，用学生身边事情引入新知，很好地调动学生的学习积极性，在学生交流中提取有用的信息，为下面的探究呈现素材。
2.在例举中验证规律
我们充分让学生自主活动，探究规律发现的过程。一方面组织学生写出类似的等式，帮助了学生积累感性材料，另一方面丰富了学生的表象，进一步感知了各种运算律。学生在充分感知个性创造的基础上，构建了简单的数学模型，从用符号表示规律和用含有字母的式子表示规律，使学生体会到符号的简洁性，从而发展了学生的符号感。
所有探索过程以“加法交换律”为雏形，唯一不同的是由于学生已有了探索前面例子的经验，在后续的教学中我们完全放手，稍加点拨便于引导学生完成探索过程。抓住加法交换律和加法结合律以及乘法交换律和乘法结合律的内在联系，利用学生已有知识经验，把加法交换律的学习，迁移类推到加法结合律、乘法交换律及乘法结合律的学习中来。学生在教师的点拨和引导下，逐步经历观察——感知——理解的过程，充分符合学生的认知规律。这里主要通过学生讨论、交流、汇报等环节，给学生一个自主的空间。由于“运算律”属于理性的总结和概括，比较抽象，学生并不容易理解和掌握，因此多引导学生独立发现，思考、解答，有利于学生概括出相应的运算律。
几个运算律都是从学生熟悉的实际问题的解答引入，让学生通过观察、比较和分析，找到实际问题不同解法之间的共同特点，初步感受运算规律。然后让学生根据对运算律的初步感知举出更多的例子，进一步分析、比较，发现规律，并先后用符号和字母表示出发现的规律，抽象、概括出运算律。
本单元的教学，应该说学生经历了探索、发现、反思的过程，对加法交换律和加法结合律以及乘法交换律和乘法结合律有了充分的认识和自己的理解。
关于几种运算律的特点，虽然在教学中让学生进行了观察和描述，但并未将两者放在一起对比，致使一部分学生在运用时出现模糊现象。在学完运算律后，应给学生一定的时间比较运算律的区别，加深学生的理性认识，促进学生思维灵活性的发展。
形概念教学的专题研究总结报告
整理人：吴春燕
小学阶段的形概念教学主要分四个阶段：
（1）直观认识阶段；（2）要素认识阶段；（3）类型认识阶段；（4）特征认识阶段。
一、形概念教学的问题存在
演绎概念的一般教学模式（概念揭示在前，巩固辨析在后。吴老师称之为“亡羊补牢“式）
从一个具体事例中引出概念 辨析记忆概念 运用概念解题
（问题：概念认识单一，认识过程不够清晰。）
案例1：角与直角的认识（形式抽象≠过程抽象）
1、从生活中的建筑物上抽象出角，呈现概念。（教师抽象，媒体抽象）
2、辨析各种图形，哪些是角，哪些不是角。
3、折角的过程中介绍特殊的直角。
问题：（1）生活中的角与数学中的角混淆。（2）课件演示替代学生经历抽象的过程。
案例2：物体的认识
1、对各种物体进行分类，出现为分类而分类的现象，不注意对本质特征进行提炼就直接命名。
2、辨析概念，记忆名称。
3、例举生活中的长方体、正方体、圆柱体等，
问题：（1）关注活动，不关注语言表达。（2）关注结果，不关注过程经历。
案例3：三角形的认识
1、用彩色小棒搭你喜欢的三角形。
2、对各种各样的三角形形进行分类。
3、说明等腰三角形、等边三角形的对称性。
问题：（1）定位不清晰（类型认识和特征认识合在一起）。
（2）只关注结果，不注意研究方法的教学。
存在的主要问题：
1、概念形成过程体现不够，学生对形成过程缺乏参与体验。
2、概念呈现比较狭窄单一，学生对概念内涵缺乏丰富认识。
3、教师替代学生表述概念，学生对概念表述缺乏实践机会。（只是在机械模仿和记忆）
4、概念认识定位不够清晰，学生对图形发展缺乏阶段认识。
教师对概念教学过程中的育人资源开发不够。
二、形概念知识的结构分析
（一）空间图形（一级框架）
1、图形认识与论证：图形认识 一个图形特征研究（小学阶段的特征研究主要是直观认识，实验操作验证，会计算，全画图；中学阶段的特征研究重点在逻辑证明） 两个图形关系研究。
2、图形测量与计算：线的测量与计算 面的测量与计算 体的测量与计算。
3、图形位置与变换：图形位置 图形变换。
（二）图形认识的框架（二级框架）
1、直观认识：物体或图形的外部认识。
2、要素认识：角和直角，三角形和四边形的认识（边角），物体的顶点、棱和面。
3、类型认识：图形按边角分类，物体的柱体、锥体。
4、特征认识：等腰三角形与等边三角形的认识（边角数量关系），长方形与正方形的认识（边角数量关系），平行四边形、梯形的认识（边角数量关系，边位置关系）
认识过程：从外部互内部，从要素到类型，从一般到特殊。
三、形概念教学的育人价值：
藉助于概念教学过程，可以使学生经历材料感知——辨析比较——归纳提炼——抽象命名概念的建构过程，在这个过程中：
1、可以帮助学生形成对概念内涵的丰富认识。
2、可以帮助学生提升比较和分类，概括和抽象的能力。
3、可以帮助学生提升准确简炼和严密的数学语言表达水平。
四、形概念学生学习困难分析：
1、难以理解抽象的概念语义，常会出现概念不清晰或者混乱的现象。需要在过程中进行辨析。（规范语言的及时提炼）
2、学生面对大量材料很难提取本质特点进行分类或聚类分析。需要帮助学生透过现象看本质。
3、学生很难用正确语言表述。引导学生体会、比较。
五、形概念教学的一般原则：（详见《小学数学教学新视野》P156）
六、概念形成教学结构：（详见《小学数学教学新视野》P156结构流程图）
1、分类分析的案例：《轴对称图形》（分类分析的前提是同时提供大量的材料，相当于并联呈现）
常规积累：呈现大量图片，设疑（这些是属于什么类型的对称图形，学了今天的知识你就能解释它们为什么这样漂亮）
第一部分：对称、对称轴、轴对称图形的概念。
（1）提供材料（对称与不对称，材料要丰富，不在多而在全），学生对材料对折后分类（分完自觉说说为会么这样分，语言动作的连贯）。
(2)学生表达图形对折后的感受和体验(“两边一样”、“相同”、“没有多余”、“正正好好”，完全重合的内涵)
（3）辨析（折与对折；两边一样与重合后一样；部分重合与完全重合）
（4）对称图形的命名，对称轴的命名与画法（强调直线，点划线），轴对称图形的命名。
第二部分：找对称轴（语言表达融在过程中）。
（1）折——直观找对称轴（动手操作折出对称轴）
（2）画——观察找对称轴（直观判断对称轴的位置）
（3）想——想象对称轴（感受不同位置的对称轴）
总结：再次呈现大量图片，学生想象对称轴的位置，解疑。
2、聚类分析的案例：《圆的认识》（相当于串联呈现材料）
常规积累：生活中物体的圆形的面，沿物体表面描圆。
第一环节：大量输入基础上的抽象本质。
（1）介绍圆规画圆：定点，定长，旋转圆规（或旋转纸张）
（2）介绍操场上画圆的工具：定点，定长，手推车旋转。（播放体育老师画圆录像）
（3）演示绳系红球空中画圆：定点，定长，红球旋转。
（4）聚类分析提炼抽象本质属性，命名圆心，半径。
第二环节：理解原理基础上的举一反三。
学生动手实践创造画圆的工具（图钉、绳子、铅笔旋转）
第三环节：大量观察基础上的发现规律。
（1）每个学生画两个圆：等圆，大小圆，同心圆……
（2）发现：圆心决定位置，半径决定大小。
七、形概念教学的具体建议：
（一）直观认识的案例：《认图形》。
1、要注意引导学生经历从生活中的物体形状提炼出其本质属性的抽象过程。
2、要注意与学生形成语言上的互动。既要注意引导学生用自己的语言来表述种类物体的特点，还要注意在学生语言表达的基础上进行概括提炼和抽象命名。
3、要注意在活动过程中适时地提炼学生模仿和练习语言的机会。
（1）“看一看、说一说”的活动：左边学生说物体特点，右边学生对应说特体的名称，再交换说。
（2）“摸一摸、猜一猜”的游戏：左边学生边摸边说特体特点，右边学生根据特点猜摸索的是什么物体，再交换。
（练习时名称不需要让学生多说，关键在于描述物体的特点）
（二）要素认识的案例：《角与直角的认识》。
第一部分：上位概念角的认识。
1、提供各种平面图形中的一个部分，学生对材料进行分类（相当于把后面的习题提前）
2、捕捉学生半成品资源：曲边与直边，连接与不连接。
（学生经历一级分类过程：凸显材料中直边的顶点的特征。）
3、学生经历二级分类的过程，提炼抽取本质特征并命名。
4、找生活中平面图形中的角：什么物体哪个面哪两条直边所夹的部分是角，同桌合作找）
第二部分：下位概念直角的认识。
1、对各种类型的角继续进行分类。
2、介绍三角尺上的直角，用纸折出一个直角。
3、找生活中平面图形中的直角并进行验证。
（三）图形特征认识的教学策略——长程两段式的教学策略
1、等腰三角形与等边三角形特征认识——教结构。
从图形边、角的数量关系进行研究。
从图形的对称性研究。
2、长方形与正方形的特征认识——用结构。
3、平行四边形的特征认识——用结构 和 教结构
图形边、角的数量关系 边位置关系
4、梯形的特征认识——用结构。
教学过程：
发现猜想 —— 实验验证 —— 概括结论
边、角，对称性 度量法，重叠法
[案例：长方形与正方形的认识]
教学建议：（1）注意凸显图形认识的基本方法和研究角度。
（2）注意凸显各个图形间的区别和联系。
第一环节：长方形认识的教学结构。
1、引导学生回忆图形认识的一般方法，即从边和角的角度出发去研究和发现图形不同于其他的特殊性。
2、学生从边和角的角度研究长方形的特点，形成猜想。
3、学生运用重叠法、测量法对猜想进行验证。（不完全归纳的过程）
4、小结：（1）长方形与一般四边形的区别与联系。
（2）长方形认识和研究的角度。
（3）验证猜想的多种方法。
第二环节：正方形认识的运用结构。
总结拓展：（1）长方形、正方形与一般四边形的区别与联系。
（2）反思学习过程，提炼图形认识与研究的方法结构。
（3）运用图形认识的一般方法和角度还可以研究哪些图形？（如平行四边形和梯形等）。
课例：《轴对称图形》
学校 | 常州市新北区薛家中心小学 | 学科 | 数学 | 班级 | 三（3） | 人 数 | 51 | ||||||||
课题 | 轴对称图形 | 教时 | 1 | 执教 | 钱敏 | 日期 | 2012.12.6 | ||||||||
教学目标： 1．初步认识轴对称图形，体会轴对称图形的基本特征，掌握轴对称图形的概念。 2．能准确判断一个平面图形是不是轴对称图形，并找出轴对称图形的对称轴。 3．感受生活中的对称美现象，领略轴对称图形的美妙和神奇。 4．经历和体验“材料感知—分类分析—归纳提炼—抽象命名”概念建构的过程，逐步提升学生比较和分类、概括和抽象及数学语言的表达能力。 制定依据： ★ 内容分析 “轴对称图形”属于概念类课型。不同版本的小学数学教材，把“轴对称图形”的学习被安排在不同的年级，但却都演绎了“观察发现→抽象概括→丰富体验”这一学习模式。先通过对类似于“天安门、飞机、奖杯”等对称物体的观察，以及寻找具有对称特征的物体，唤起学生对“对称”的感性体验，帮助学生明确生活中的对称现象。接着把上面的物体抽象为平面图形，引导学生通过对折发现这些图形“对折后能完全重合”，从而描述轴对称图形的概念——对折后完全重合的图形，初步感受轴对称图形的基本特征。然后运用概念判断学过的平面图形中哪些是轴对称图形，将学生零散的经验在活动中进一步清晰，丰富对轴对称图形的认识。最后通过“创造”、“找”轴对称图形，让学生进一步掌握轴对称图形的特征。通过“搜集”、“阅读和欣赏”等活动，让学生体验“对称”的科学和美学价值。 通过分析研究，我们认为如何借助已有的经验，把握概念的本质内涵，帮助学生将模糊、浅显、直观直觉提升为对轴对称图形概念的清晰认识，是本节课首要学习目标。为此我们采用“材料感知——寻找相同中的不同（分类分析）——归纳提炼——抽象命名”的教学结构，从提供大量的感性材料的基础上，让学生经历概念的形成过程。同时在过程中通过教师有目的地引导与提炼，形成对“轴对称图形”这一概念中三个关键词“对折”“完全重合”“对称轴”的理解支撑，最后形成了学生对“轴对称图形”、“对称轴”概念的内化。在课的第二环节，通过对辨析比较从而深入感知的概念，为此我们设计了让学生通过对“对称轴”找、画、想的活动递进，让学生的思维逐步从具体形象向抽象推进。最后再次引导学生回到生活，用所学知识理解生活中的美。
★ 学生实际 “对称现象”广泛地存在于日常生活中，人类创建的文明史中，例如，许多艺术作品、建筑设计中都体现了对称的风格。所以，学生对于“对称现象”并不很陌生，再加上学生的学前教育，从幼儿开始，就有机会进行折纸、剪纸等活动，有时也用“对称”来描述一些现象。尽管如此，学生对“轴对称图形”的认识依然比较模糊，还有一些偏差。首先，学生认为“两边一样”的图形，就是轴对称图形，把“对称”与“完全相同”混为一谈；其次，什么是物体的对称，什么是平面图形的对称不加区分，认为是一回事；同时，由于学生之间家庭环境、生活背景的不同，所积累的对于“折”“对折”“重合”“部分重合”“完全重合”“完全相同”等关键词的理解存在差异甚至偏差。 | |||||||||||||||
教 学 过 程 | |||||||||||||||
教学 环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | ||||||||||||
丰富感性材料（3’） | 谈话：今天老师带来了一些图片。 课件呈现图片资料：人民大会堂、故宫、巴黎埃菲尔铁塔、伦敦塔桥、印度泰姬陵、东方明珠塔、京剧脸谱、民间剪纸艺术…… 提问：看了以后，有什么感觉？图片上的这些建筑、艺术品有什么共同的特点？
| 在音乐声及教师的解说中欣赏图片。 谈自己看过以后的感受。 |
感受 “对称” 给生活带来的美！ | ||||||||||||
分类、比较 形成、概念 （12分钟） | 谈话：今天老师还带来了一些平面图形。
提问：你会把这些平面图形对折吗？ 要求：老师为每一位同学准备了这些平面图形，请大家先把这些平面图形对折，然后再把它们分分类。
|
学生边操作边思考，预设：根据图形是否能在对折后重合进行分类 |
“对折”和“完全重合”是“轴对称图形”概念中的关键词。学习活动的推进从“对折”入手，使学生的操作活动有了清晰的方向。学生在对折的过程中感知学习材料的特点，并将材料对折后进行分类分析，在寻找不同中归纳提炼出“对折后完全重合”，直接指向“轴对称图形”的本质特点。
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学生活动时捕捉并呈现“分类”的资源。
组织交流：让学生介绍对折后发现什么？按什么标准将图形分成了哪几类？ 与学生互动交流中重点解决： （1）明确“折”与“对折”； （2）明确“两边一样”与“重合后一样”；（3）明确“部分重合”与“完全重合”。
| 资源预设： （1）一类是对折后重合的，另一类是对折后不重合的。 （2）一类是对折后的两边一模一样，另一类是对折后两边不一样。 （3）一类是对称的，另一类是不对称的。 | ||||||||||||||
揭示概念：我们把这些平面图形叫做“对称图形”。这些对称图形特殊在哪里呢—我们发现两边对折以后都能找到这条“折痕”。 示范：我们可以用“点划线”来表示这条折痕，这条直线就叫“对称轴”。凡事能找到“对称轴”的平面图形我们就叫它为“轴对称图形” |
同桌描述：什么是“对称轴”“什么是轴对称图形” | ||||||||||||||
观察 操作 深入 感知 （15分钟） | 谈话：我们认识了轴对称图形，那么怎么来判断呢？关键是要找到对称轴！下面我们就一起来找一找我们认识的一些平面图形中的对称轴。
要求：动手折一折，想一想是不是轴对称图形是不是只有一条对称轴，会不会有两条或更多的对称轴呢？
呈现学生画出的不同的对称轴，质疑。
| 学生可能：对折，看看两边是否完全重合；找出对称轴。 学生先观察判断，再操作判断。 预设： （1）把平行四边形看成了“轴对称图形”； （2）三角形是不是轴对称图形产生争议。 （3）圆有许多条对称轴。 （4）正方形和正五边形的对称轴没有找全。 明确：有的特殊三角形与特殊的梯形是轴对称图形。 感悟：有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条。 | 本环节分三个层次，在判断的过程中，力求体现思维的递进性，从第一层次的先看再折，到第二层次的直接画对称轴，到第三层次找更为复杂图形的对称轴，不仅让学生不断感受“对称轴”位置的丰富性，同时让学生的思维逐步从具体形象向抽象推进。 | ||||||||||||
思考想象 拓展认识 （8分钟） |
提出要求：现在不能用折的方法来找对称轴，你能通过找两个点来帮助我们画出它们的对称轴呢？
| 学生直觉判断，画出对称轴。图1感受连接顶点与底边中点画对称轴的方法；图2不仅感受画的方法，重点在于怎样怎样依次画出所有的对称轴。 |
每一层次重视材料准备的丰富性与多样性。 组织交流不面面俱到，而是找准学生的疑难问题重点突破。 | ||||||||||||
提供一些生活中常见的图形：
提出要求：想象对折的过程，用手划出他们的对称轴。 | 学生观察想象后用划出对称轴。 预设：个别图形的对称轴条数与位置有争议。 | ||||||||||||||
开放的延伸 （5分） | 请同学们到生活中去找一找轴对称图形。 | 学生观察寻找生活中的轴对称图形。 预设：直接说某物体是轴对称图形。 学生体悟：“对称”物体，只是某一个面是“轴对称图形”。 | 让学生感受到，轴对称图形是一个平面图形，与生活中的“对称”现象是两个不同的概念。 | ||||||||||||
小结：对称是一种美，它给人平衡、匀称、圆满的感觉。人们真是利用了对称美，创造了这些奇迹。 你能想办法也创造出美丽的轴对称图形吗？ | |||||||||||||||
课例：《圆的初步认识》
学校 | 常州市新北区 薛家中心小学 | 学科 | 数学 | 班级 | 五（4） | 人数 | 47 | |||
课题 | 圆的初步认识 | 教时 | 1课时 | 执教 | 包惠萍 | 日期 | 2012-12-6 | |||
※ 教学目标： 1．使学生从本质特征上认识圆，掌握圆的特征；了解圆的各部分名称。 2．会用字母表示圆心、半径、直径；理解并掌握在同圆（或等圆）中直径与半径的关系。 3．能正确熟练地掌握用圆规画圆的操作步骤。 4．培养学生动手操作、主动探究、自主发现、交流合作的能力。 ※ 制定依据： ★ 内容分析： 圆是指平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹。教材对圆的认识分为两步来完成，第一步是低中年段在学生初步认识平面图形时就给学生圆的初步形象，随后在平面图形的单元中不断地巩固；第二步是在五年级下册对圆进行较为系统的认识。使学生对圆的各部分名称、圆的周长和面积进行深入地学习。 本段教材在对学生认识圆的过程处理上主要是认知、操作为主。圆各部分的名称和作用是直接给予学生，没有提供给学生一个充分认识、感悟圆本质的机会。使得学生不能对构成圆的本质进行了解。 基于对教材的理解，我觉得为了让学生能充分地认识圆的本质特征。应让学生经历聚类分析的过程。只有这样，才能使学生对圆的本质即定点、定长和旋转有深刻地体会。所以，在本课中我让学生通过在不同背景下画圆，对圆的本质不断地进行聚类的过程。并在此过程中不断给予学生说的机会，加深对圆本质的认知。并且，通过自主创造画圆工具的过程再次对圆的本质进行巩固。随后，通过画圆活动帮助学生丰富对圆的认识及圆各部分之间的关系与作用。 ※ ★学生实际： 学生在学习本课之前，对平面几何图形中点、线、面以及轴对称图形等基本概念已经有了初步的认识。加之“圆”这一图形在生活中应用较多，比较常见。所以，学生对“圆”有一定的感性认识，能根据实物判断是否是圆。但他们没有经历过从数学的角度认识圆。特别是认识圆这一图形的本质特征。学生在学习“圆”之前，已经对一些常见的平面图形有过较为深刻的认识，在学习的过程中也积累了一些方法，如：“折、量、画、数、比（估）、看、议”等。这些方法可以为本节课的学习打下一定的基础。 | ||||||||||
教 学 过 程 | ||||||||||
教学 环节 | 教 师 活 动 | 学 生 活 动 | 设 计 意 图 | |||||||
常 规 积 累 | 1．回忆一下，我们学习过了哪些平面图形？同桌相互说一说。 2．大家课前都找了表面有圆形的物体，能把这圆画在白纸上吗？ 一边画一边思考，圆与已经学过的三角形、四边形等平面图形有什么区别？ 交流后指出：圆是平面上的曲线图形。象三角形等都是直线图形。 3．今天，我们一起研究平面上的曲线图形——圆。（板书） | 对以前学习过的平面图形的知识进行复习与巩固并和同桌相互交流。
学生沿着生活实物上的圆进行描边。
学生把已学过得平面图形与圆的区别。 | 通过回忆以前的图形知识为本节课的认知巩固基础。
对圆的形状进行更为深刻的认识。 | |||||||
圆
的
原
理
认
识 | 一、不同情境中画圆的输入 1．在数学中有专门画圆的工具——圆规。 老师用圆规在黑板上画一个圆。观察我是怎样画的。 老师示范用圆规画圆。（先确定一个点，再拉开一定的距离，接着旋转一周） 2．你们能用圆规在纸上画一个圆吗？ 资源： 学生旋转纸来画圆。 收：① 让学生展示自己不同的画圆方法。并说一说自己的画法。 ② 请比较一下，在黑板上画圆和在纸上画圆有哪些相同和不同的地方？ 追问：为什么在黑板上画圆的时候只可以旋转圆规，在纸上画圆不仅可以旋转圆规，还可以旋转纸呢？指出：这是因为画圆的背景不同，黑板上画圆的时候，黑板是固定的不能旋转，所以，只能旋转圆规；纸上画圆，纸可以旋转，圆规也可以旋转。所以，只要旋转其中的一个就可以了。 3．刚刚是用圆规在黑板和纸上画圆。如果我想在操场上画圆，你觉得可以怎么画？ 大家可以想一想，同桌之间相互交流一下。 资源：用大圆规等。 让我们来看看体育老师是怎么画的。你可以边看录像，边思考老师是如何画圆的。 4．拿出系绳的小球，老师将用它来创作一个圆。你能想到我是怎么做的吗？（师甩动） 二、聚类分析，提炼特征 1．提问：从黑板上的画圆到纸上的画圆，到操场上的画圆，再到空中的画圆，在不同的情境里画圆，你们有没有发现相同的地方？ 请同桌交流一下各自的想法。 2．指出：虽然画圆的情境不同但都是先固定一个点，展开一定的距离，然后进行旋转。把固定的点叫做圆心。通常用字母O表示。拉开的距离，怎么表示呢？ 展示：圆心出发到圆上。 这段从圆心到圆上的距离叫半径。通常用字母r表示。 三、反思不同情境中的关联性 1．了解了圆心、半径，那你能在刚刚画圆的情境中指出圆心和半径吗？ 学生相互说一说。重点交流操场画圆和空中画圆。 2．能在自己画的圆上表示圆心和半径吗？ 过程中打开：可以画几条？ 指出：半径有无数条。同一圆中半径都相等。 3．通过对比呈现让学生体会得到这个结论的前提是需要在同一圆中。 |
学生看教师是如何画圆的，并思考老师画圆的过程。
学生尝试画圆。
看同学展示的画法并思考老师提出的问题。
学生对画圆的步骤及不同背景下画圆的情况有所了解。
听老师的归纳，从而对问题有更为清晰的认识。 思考教师提出的问题，并和同桌相互交流想法。
看录像并试着把录像中教师画圆的过程表达出来。 学生进行交流。
看老师甩球，发现圆的存在。
相互表述教师是怎样创造出这个圆的。
对教师提出的问题进行思考。
通过和同学的辨析交流认识圆的各个部分。
画半径，通过观察交流了解半径相关的知识。 | 通过学生尝试性的表述使其对画圆的三个要素有一次认识。
通过学生自己画圆，让他们对圆的特征有进一步的认识。
让学生通过观察黑板上画圆和本子上画圆明晰画圆必须要旋转。
通过让学生想象在操场上画圆，拓宽了学生对画圆的认识范围，也对画圆的三步要素有了更为清晰的认识。 利用甩球让学生对圆的认识进一步加深。特别是对定点和旋转的深刻认识。
在学生充分体验和感悟的基础上对圆各部分有本质的认识。 通过让学生画圆的半径和对比呈现不同圆的半径使学生体会同一个圆的重要性，对数学表达的严谨性有进一步认识。 | |||||||
创造 画圆 工具 体验 圆的 原理 | 放：我们了解画圆要有圆心、半径和旋转。 请大家利用提供的材料创造一个画圆的工具，并用它画一个圆。 收：展示设计的工具，你是怎样用你设计的工具画圆的？ 指出：线要绷紧；简单的方法。 思考：你能找到画圆过程中的圆心、半径吗？请同桌互说。 |
学生利用教师提供的工具进行画圆工具的创造。
通过观看同学的展示对画圆的三点进行巩固认识。
|
学生通过对画圆工具的自主设计和操作对圆的三要素有更为深刻的认识。 | |||||||
大 量 观 察
发 现 规 律 | 一、认识两个圆形成的多种情况 放：请你用圆规在纸上画两个圆。 过称中指导：老师发现有的同学画得吃力，请哪位同学来介绍一下。（注意：重心、用力点） 你还能再画两个和刚刚不同情况的圆吗？ 过程中打开：还有其它的情况吗？ 收：资源：相等的圆； 大小不同的圆； 同心圆和位置不同的圆。 二、发现圆心和半径的作用 思考：观察黑板上两个圆不同的情况你有什么发现？同桌交流一下。 交流：① 大小不同，位置不一样。 思考：那圆的位置与什么有关？大小又与什么有关呢？ 指出：圆心决定圆的位置， 半径决定圆的大小。（板书） 看来圆心、半径对圆来说是十分重要的。老师给每位同学准备了一个圆片，你能找出它的圆心、半径吗？找到后交流找的方法。 三．发现直径 很多同学用两次对折的方法找到了圆心、半径，还得到了几条折痕。（描出）观察这条折痕，你有什么发现？同桌相互说一说。 画图，对比突出三点一直线。 能在圆上再画出一条直径吗？ 打开：可以画多少条？ 同一圆中有无数条直径，都相等。对比呈现体会同一圆中 4、拓展延伸 今天我们了解了圆的各部分特征，接下来可以研究圆的……。 | 学生在本子上画圆。对教师出示的资源进行观察。
学生思考教师提出的问题并与同桌交流自己的想法。
对圆的各部分的作用进行讨论。
学生对图中的线段进行判断，并相互说一说理由。
了解圆中半径的作用。
学生尝试在圆片上找圆心和半径，并通过折痕体会与轴对称图形的关系。
了解圆中直径的特征及其与半径之间的关系。
对本节课学习的圆的知识进行延伸 | 通过展示学生的不同画法，帮助学生拓展对圆的位置、大小认识。
学生通过对出示的很多的圆的观察，理解圆心和半径对圆的位置和大小的影响。
通过判断的练习让学生对圆的半径的特征进行了解。
通过画最长线段这样一个活动，让学生体会圆中直径的特征。
让学生对圆的整体学习有一个认识。 | |||||||
直观认识图形课例：《认图形》
学校：常州市新北区薛家中心小学 | 年级：一年级 | 班级：一（9） | 人数：45人 | ||
学科：数学 | 课题：认图形 | 教师：郑丽萍 | 日期：2012.3.1 | ||
教学目标： 1、通过动手操作活动，体验平面图形与立体图形的联系与区别，丰富对平面图形的认识。 2、在分类活动中认识图形、三角形、长方形和正方形，直观认识它们的特点。 制定依据： 内容分析： 平面图形与立体图形有联系也有区别，平面图形是立体图形上的一个面。本节课是学生认识平面图形的第一课时，要求学生直观认识长方形、正方形、三角形和圆，体会长方形是长方体上的一个面，正方形是正方体上的一个面，圆形是圆柱体上的一个面，三角形是三棱柱上的一个面。因此，教材一开始就让学生先照样子画一画，再观察画出的图形，以此来让学生初步感受立体图形与平面图形的联系与区别，直观感受这些平面图形的特征，最后通过举例不断丰富学生对平面图形的认识。基于以上认识，从三个环节教学：先让学生经历平面图形的生成过程，然后将学生“移”下来的所有平面图形进行分类，在分类的过程中直观认识它们的主要特征，寻找这些平面图形与学过的立体图形之间的联系与区别，最后通过大量的图片欣赏和举例，丰富学生对平面图形的认识，增强学生的语言表达。 学生实际： 学生在一年级上学期已经认识了立体图形：长方体、正方体、圆柱体和球体。在日常生活中，也积累了一些物体表面形状的经验。但是，他们常常把两者混为一谈，“体”和“面”不分。 | |||||
教学过程 | |||||
教学环节 | 教 师 活 动 | 学 生 活 动 | 设计意图 | ||
常规积累 | 1、课前欣赏 2、今天同学们带来了很多积木，他们是什么形状的？ |
同桌交流 | 初步感受平面。 回顾旧知，巩固对立体图形的认识。 | ||
经历平面图形生成过程 | 要求：在这些积木上有很多平平的面，你能找一找，摸一摸吗？找到之后和你的同桌说一说。 教师示范：边摸边说，我在长方体积木上找到了平平的面。 揭题：我们今天就来研究这些平平的面。 （板书“面”） 放：首先，我们要把你这些平平的面从积木上移到纸上，（注意：一张白纸上移1个）想一想，可以怎样移？听清要求就动手试一试吧。 及时叫停指导：两只手怎样放，才能把这个图形画好？ 教师示范：一只手要牢牢按住积木，铅笔要紧贴着图形的边来描。 再实践：用这个好方法一起再去画一画。 过程中打开：（1）我们不仅要比谁描得好，还要来比一比比一比谁描的图形种类多？一边描一边去感觉一下哪些描起来比较容易？哪些困难？ （2）有的小朋友在一块积木上找到了不同的面，真好！ | 在积木上摸一摸平平的面 A、找一找、摸一摸，和同桌交流一下，我在什么积木上找到了平平的面。 B、指名说
学生动手操作。
一学生上台演示，其余学生认真观看。
学生继续动手描一描 | 体会平面图形的生成过程，感受“面”的来源，并通过自己动手画一画，初步感受立体图形和平面图形的联系与区别。 | ||
经 历 平 面 图 形 分 类 命 名 的 过 程 | （一）图形分类 （展台呈现学生画下来的图形，教师编号） 它们是从哪种积木上移下来的，分别是什么样子的？能把这些图形分分类吗？和同桌根据编号说说看（我把编号几几几分成了一类） （二）图形特点观察及命名 第一层次：（长方形）——教结构 一放：这类图形是从哪种积木上移下来的？它们是什么样子的？和原来的积木有什么不同吗？ 一收：交流长方形：长长方方的，是从长方体上画下来的，长方形只有一个面，而一个长方体就能找到好几个这样的面。 命名：长方形。贴出标准图形。 第二层次：（正方形、圆和三角形）——用结构 二放：那么下面这三类图形是从哪种积木上移下来的？它们是什么样子的？和原来的积木有什么不同吗？你能像刚才那样把三个问题的答案连起来完整地说一说吗。 二收：交流正方形、圆和三角形。 命名并贴出标准图形。 小结：这四种图形都是从立体图形上移下来，他们都是平平的，叫平面图形。 （三）拓展到生活中 （1）生活中也有很多这样的平面图形，你能在哪些物体的面上找到这样的图形？ 组织交流，注意学生用词。 （2）课前欣赏的画面中也有很多这样的平面图形，大家来找一找。 | 观察后和同桌交流。 学生分类(口头说、上投影动手) 长方形、正方形、三角形、圆形
同桌交流。
学生在听教师说后完整地说一说。
观察另外三类图形的特征，以及和体的区别，与同桌交流。
用一段完整连贯的话说一说。 同桌互相讨论，交流想法。
找一找生活中的平面图形，与同桌相互说说。 欣赏生活中的平面图形。 | 通过对不同图形的观察进行分类，体会图形和平面图形的联系和区别。直观了解它们的主要特点。
拓展对这几种平面图形的认识，规范和丰富学生的语言表达。 | ||
操作体验 加深 认识 | 要求：能在钉板上把今天认识的四种图形围出来吗？ 交流聚焦：为什么圆形为不出来？ | 学生动手操作后进行交流。讨论后得出：圆是曲边围成的图形。 | 通过围的过程加深对平面图形的认识，初步体会直边图形和曲边图形的差异。 | ||
拓展延伸 | 我们按照边的曲线把这些图形分成曲边图形和直边图形，这些图形是不是还可以进一步分类？我们将在二年级继续学习。 | 为后继学习设疑、铺垫。 | |||
特征认识课例: 《认识平行四边形》
学校 | 常州市新北区薛家中心小学 | 学科 | 数学 | 班级 | 四（4） | 人 数 | 46 | |||
课题 | 认识平行四边形 | 教时 | 1 | 执教 | 包惠萍 | 日期 | 2012.3.8 | |||
※ 教学目标： 1．迁移长方形、正方形的研究方法，引导学生从“边”和“角”两个纬度自主探究平行四边形的特征。 2．在创造中体会平行四边形的不稳定性。 3．根据特征发现平行四边形、长方形和正方形三者之间的关系。 ※ 制定依据： ★ 内容分析： 在本节课的学习之前，学生已经直观认识了平行四边形，初步掌握了长方形、正方形和三角形的“边”和“角”两个纬度的特征。 在这些平面图形的认识中，具有类同的结构，猜想验证，不断探究体会其特征，然后运用这些特征进行创造，进一步体会其特征的丰富性。而平行四边形的认识，是在三角形、长方形、正方形特征的基础上学习的，已经初步形成了学习的知识结构、方法结构和过程结构，所以平行四边形的学习可以迁移这些结构，并在特征认识的基础上，加强对比。和三角形的稳定性进行对比，和长方形、正方形的特征进行对比从而探讨三者之间的关系等等，这是这节课的提升。 平行四边形学完后，后续还有梯形的特征认识，同样具有共通的结构。 ★ 学生实际： 在本节课的学习之前，学生已经认识了三角形、长方形和正方形的特征。在前期学习中，学生掌握了可以从“边”和“角”两个纬度来探究特征，为本节课的学习打开了思路；学生经历了猜想—验证—结论的探究过程，为本节课的学习提供了方法和过程；学生初步体悟了长方形和正方形的关系（但前期从教材出发没有让学生体会正方形是长方形的特殊形态），这节课要重点探究三者之间的关系 应该说三者关系的感悟提升，对学生来说还是有一定挑战的。在教学中可以提出弹性的要求，让不同层次的学生都能在原有的基础上有所提升。 | ||||||||||
教 学 过 程 | ||||||||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | |||||||
常规积累 | 呈现：正方形、长方形 小结：我们可以从“边”和“角”两个纬度来研究平面图形的特征。 | 同桌互相说说其特征
| 回顾知识和学习方法，为后续学习做准备。 | |||||||
探究平行四边形的特征 | 第一层次： 猜想：平行四边形的“边”和“角”分别有什么特征。 收: 呈现学生的各种资源
第二层次: 验证:这些猜想都对吗? 收: 这些猜想有没有不正确的呢?
第三层次: 是不是所有的平行四边形都具有这些特征呢? 归纳结论: 平行四边形对边平行且相等,对角相等。 | 1.写一写 2.相互说一说
1.学生想办法验证老师准备的同样的平行四边形 2.尝试下结论
1.学生想办法验证尽可能多的平行四边形 2.尝试下结论 | 引导学生进行合理的猜想，为后续的学习做好铺垫。 这里有两次验证，第一次验证同样的平行四边形，初步尝试得出结论；第二次探究是不是所有的平行四边形都具有这些特征。在这里体现了科学的研究方法，从单一到全体，是不完全归纳法的体现。 | |||||||
运用特征创造平行四边形 | 第一层次： 你能不能根据这些特征创造一个平行四边形呢？ 收： 呈现学生的各种资源 第二层次： 小棒摆的方法 收： 平行四边形的不稳定性 第三层次： 画图的方法 收：交流画法 |
独立创造平行四边形
同桌互说：这些都是平行四边形吗？你是根据什么特征来创造的？ 同桌互说：为什么同样的四根小棒摆出的图形不一样
说说怎么画的 每人画一画 | 学生认识了平行四边形的特征后再去创造平行四边形，很好地体现了学习逻辑，体现了科学性。 在操作中体会平行四边形的不稳定性，从而感受到生活中运用平行四边形的合理性。 | |||||||
探究平行四边形、长方形、正方形三者之间的关系 | 第一层次： 我们从边和角的角度研究了正方形、长方形和平行四边形的特征，那这三者之间有什么关系呢？ 收： 三个集合圈分别代表什么图形 第二层次： 三个集合圈的位置关系 收： 呈现学生各种资源 归纳结论 | 运用集合圈进行探究操作
同桌交流
各自独立摆一摆 讨论：哪种位置关系表示了三者之间的关系 | 在关系探究中进一步深化其特征认识，并且融会贯通。集合圈的认识不仅形象表达了三者之间的关系，也为后续进一步的学习打下了基础。 | |||||||
全课总结 | 通过这节课的学习你有什么收获 小结：我们还可以用这样的方法去研究梯形的特征。 | 同桌互说 | 进一步提炼过程结构。启发学生主动运用学到的方法研究相关内容。 | |||||||
课例：《梯形的认识》
学校 | 常州市新北区薛家中心小学 | 学科 | 数学 | 班级 | 四（2） | 人 数 | 45 | |||
课题 | 梯形的认识 | 教时 | 第1教时 | 执教 | 姜博 | 日期 | 2012.3.8 | |||
※ 教学目标： 1．在画出“只有一组对边平行的四边形”的操作过程中建立梯形的直观表象，感知梯形的本质特征。 2．迁移平面图形特征认识的研究方法，引导学生从“边”和“角”两个纬度自主探究等腰梯形和直角梯形的特征。 3．在沟通与比较中感悟平面图形之间的内在关系。 ※ 制定依据： ★ 内容分析： 《梯形的认识》是小学数学苏教版实验教材第八册“平行四边形和梯形”的第二课时内容。是在学生掌握了长方形、正方形、三角形、平行四边形特征认识的基础之上学习的，是小学阶段最后一类直线型平面图形的认识。梯形的学习与其他的平面图形不同之处在于，其他的平面图形是在低年级直观认识的基础上学习的，而梯形的认识学生是初次接触。 教材分三层编排。第一层认识梯形，教材首先以生活中常见的物体为例，引导学生观察这些物体表面上的梯形，并告诉学生“像这样的四边形是梯形”，让学生对梯形有初步的直观感知；接着要求学生“想办法做一个梯形”，让学生把已经建立的梯形的表象以物化的方式表达，进一步丰富学生的感知；然后将梯形与平行四边形进行比较，引导学生发现并总结梯形的基本特征“只有一组对边平行”。第二层，通过引导学生联系平行四边形高的含义，认识梯形的高，并介绍梯形各部分的名称，让学生量出提供的梯形两条腰的长度，认识等腰梯形。第三层，通过想想做做的练习设计，引导学生进行图形的变换，感受平面图形之间的联系。
★ 学生实际： 在本课的学习之前，学生已经掌握了长方形、正方形、三角形、平行四边形等平面图形的本质特征与相互之间的关系，并获得了发现直线型平面图形特征的学习方法和活动经验。虽然在生活实际中，部分学生建立了梯形的表象，但却是模糊的，甚至是片面的，有的孩子认为，只有“像梯子状的等腰梯形”才是梯形。 | ||||||||||
教 学 过 程 | ||||||||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | |||||||
常规积累 | 呈现：平行四边形、长方形、正方形、菱形 要求：我们学习了一些特殊的四边形，同桌互相说说它们的特征以及这些图形之间的联系。 |
同桌互说 | 进入研究直线型平面图形的状态 | |||||||
梯形的产生及其本质特征的感悟 | 引入：正方形、长方形、平行四边形都是特殊的四边形，它们“两组对边平行”。那有没有“只有一组对边平行”的四边形呢？ 第一层次： 要求：老师给同学们准备了几个我们学过的平面图形，请你添一条线，形成一个只有一组对边平行的四边形。 聚焦：我们先来看这个一般的四边形，怎么添线呢？ 呈现资源（学生介绍其中的一种画法）
拓展打开： 只能平移到这个位置吗？ 只能画这条边的平行线吗? 第二层次： 要求：其他的图形呢？你能添上一条线，形成一个“只有一组对边平行的四边形”，并把它剪下来吗？ 交流： （1）聚焦三角形 （2）聚焦长方形和平行四边形 讨论：长方形和平行四边形有两组对边平行，现在只能有一组平行，怎么办。
小结命名：像这样只有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，是梯形。 教师示范画图，并介绍梯形各部分的名称。 | 尝试：想一想，试一试，画一画。
介绍想法 明确：没有平行的对边，可以选择一条底边，画出它的平行线，形成只有一组对边平行的四边形。
学生活动
感悟：三角形中，没有平行线，创造出一组，长方形、平行四边形有两组，破坏掉一组。 明确：上底、下底、腰和上顶角和下底角的名称。 |
整体切入对梯形的研究。
操作感悟，掌握方法，初步感知具有“只有一组对边平行”的图形表象。
运用方法，丰富感性材料，进一步感知具有“只有一组对边平行”的图形表象，为概念的聚类建立丰富的感性认识，同时为进一步探索梯形、特殊梯形的特征提供材料。
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特殊梯形的特征研究 | 沟通：我们是怎样研究平行四边形的特征的？ 梯形的“边”除了“一组对边平行，另一组不平行”以外，还有其他特征吗？“角”？ 要求：利用刚才得到的梯形，用我们研究平行四边形的方法也来研究一下，看谁能有新的发现。 打开：“边”除了考虑是否“平行”以外，还能考虑什么？（长度）角呢？
第一层次：——等腰梯形 呈现（等腰梯形）：发现有“边”相等的梯形。 质疑：是不是每一个梯形都能找到相等的边？ （验证一下，发现不是所有的都是。） 深入研究这个特殊的梯形，你有什么发现？ 打开：这个特殊的梯形有相等的边，那角呢？
命名：这个特殊的梯形叫等腰梯形。 第二层次：——直角梯形 启发：除了这个等腰梯形之外，看看还有特殊的梯形吗？ “边”或“角”还有特殊的情况存在吗？ 质疑：是不是每一个梯形里面都能找到直角？最多能找到几个呢？ 命名：直角梯形。 小结：根据我们刚才的研究，发现梯形中还存在着一些特殊的梯形，如直角梯形和等腰梯形。 | 回顾研究方法。
学生探索活动。
用记号表示相等的边，感受：特殊性 感悟：有相等的边和角；是轴对称图形。 表达：两腰相等，同一底上的两个角相等。
寻找梯形中的直角 感受特殊性。
| 迁移已有的发现直线型平面图形特征的学习方法和活动经验，主动研究梯形的“边”和“角”，在研究的过程中感悟特殊梯形的存在，明确等腰梯形和直角梯形的特征。 | |||||||
沟通各种图形之间的关系，并能用合适的集合圈表达关系。 | 第一层次： 提问：下面我们来创造一些特殊的梯形。想一想，在我们学过的哪些图形中添上一条线就能形成直角梯形？为了方便同学们想象，老师给每个同学准备了一份我们学过的图形，能想象的，在脑子里想象，不能的用尺推一推，想一想。 交流： （1）呈现原来图形就有直角的资源 觉得创造直角梯形怎么样？（很方便） （2）打开：没有直角的图形呢？如平行四边形呢？
提问：能创造等腰梯形吗？ 交流： （1）等腰三角形、等边三角形中添线 （2）聚焦：平行四边形呢？
小结提炼：梯形虽然是今天学习的一种新的图形，但是和我们以前学习的图形有很多的联系。
第二层次： 要求：今天我们学习了梯形、等腰梯形、直角梯形，能不能也像以前一样用集合圈来表示它们之间的关系呢？ 交流：呈现错误资源，并打开。 要求：在四边形的大家庭中，又多了新成员“梯形”，这些四边形的关系我们也能用箭头图来表示。 |
先独立思考，再同桌互相说一说。
感悟：如果图形里有直角，让这个直角保留下来。没有直角创造出直角。
先独立思考，再同桌互相说一说。 体会区别。 感悟：要创造出相等的腰，或在同一底边创造出相等的底角。
学生表达。
说明理由，明确关系 互相说一说区别和关系。 |
在观察、想象、操作、沟通的过程中感受梯形与已学图形之间的潜在联系。
体会梯形与等腰梯形、直角梯形之间的包含关系。
自主整体架构 | |||||||
拓展延伸 | 要求：整理已经学过的所有的四边形的特征，并能用集合圈来表示这些四边形之间的关系。 |
课后自主练习。 | 自主整理，整体系统认识各类四边形的之间的关系。 | |||||||
课例：《同一平面内，两条直线的位置关系》
学校 | 常州市新北区薛家中心小学 | 学科 | 数学 | 班级 | 四（2） | ||
课题 | 同一平面内，两条直线的位置关系 | 教师 | 李小英 | 日期 | 2011.11.24 | ||
一、教学目标 1．整体感悟同一平面内两条直线的位置关系，认识其中两组特殊的关系：平行与垂直。 2．学会利用分类分析和聚类抽象的方法认识概念，掌握概念学习的一般过程。 二、制定依据 1．教材分析 “平行与相交“属于”空间与图形“领域的教学内容。教材原来是按这样的线索来组织教学内容：先教学平行，引导学生联系生活情境，在识别直线相交和不相交的基础上认识平行线，学会画平行线；再教学垂直，从生活中选取两条直线相交成直角的特殊位置关系，引导学生认识垂线，学会画垂线，并结合相互垂直的关系，认识点到直线的距离及其应用。这样的安排可以帮助学生对两条直线的某一种位置关系进行比较集中和强化的认识，但同时也有可能带来以下两方面的问题：一是容易使学生对两条直线的位置关系形成单一和点状的认识，二是不利于学生参与和经历两条直线位置关系概念形成的建构过程，这样垂直和平行的概念对于学生来说就愈加抽象，更不用说学生对两条直线位置关系的整体把握了。因此，本课对这一内容进行重组，采用整体感悟的教学策略，引导学生先整体感悟同一平面内两条直线的各种位置关系，自主建构知识的整体框架，丰富对概念学习的方法结构和过程结构的认识，在此基础上再分化认识局部的平行与垂直的概念。 2．学生分析 （1）已有基础 知识基础：在学习本单元内容之前，学生已经认识了点、线段、射线和直线的有关特征，特别是对直线可以向两端无限延长的特征有了比较深刻的体验。 生活经验：在生活中对同一平面内两条直线的位置关系有一些感性的认识。 基本活动经验和能力：在学习过程中有了一些按照一定标准进行分类的经验，具有了初步的概括总结的能力。 (2)困难和障碍 虽然在实际生活中学生已经感受了“平行”与“垂直”等现象的存在，只是这种感受是肤浅的、零散的和模糊的，是能“意会”而不可“言谈”的。 在一级分类时，由于小学阶段的学生对事物的认识往往会只看表面，把两条直线分离状态的相交（垂直）看作是不相交（垂直）的状况，而忽视直线的本质属性，从而导致归类的错误。对“同一平面”的关注，因为学生缺乏对其内涵的理解，因而也会忽略，需要教师在过程中加强语言的渗透，并适时对比辨析，帮助学生建立完整的概念。 （3）提升点 激发学生丰富的感受，帮助学生经历两条直线的位置关系的形成过程，使学生对两条直线的各种位置关系形成认知的结构化，避免学生点状的认识和思维的定势。
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教 学 过 程 | |||||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | ||||
常规积累 3分 | 课前播放生活中的一些图片 出示直线、射线、线段，想一想三种线各有什么特点。 | 欣赏 说给同桌听。 | 回顾旧知，唤醒对直线特点的关注，为学生理解位置关系作孕伏。 | ||||
核心过程推进
| 尝试画出两条直线各种位置关系 | 一放 要求：（先画一条直线，这是一条直线还能继续画下去吗？为什么？如果在这同一平面内，再画一条直线，会和这条直线发生怎样的关系呢？想一想这两条直线会有哪些不同的位置关系？把你想到的画在1号纸上，比比谁画的类型最全。 过程中打开：我发现有的同学画的两条直线都是分开的，想想还有其它的位置关系吗？ 一收 收集、展示资源。
| 独立思考；在纸上画出各种位置关系，并编号。
(9)
| 引导学生在同一平面内画出两条直线的位置关系，充分利用学生的前在状态，把激发学生丰富的感受了，把多种资源呈现出来为整体感悟两条直线的位置关系搭建平台，避免学生认识的单一和思维的定式。 | |||
分类中整体感悟两条直线的位置关系 | 层次一：一级分类，揭示平行概念 二放 目的交待：为了研究的方便，老师从中收集了一些有代表性的情况（边贴纸边说）。那么在同一平面内，两条直线到底有几种不同的位置关系呢，请大家仔细观察这里的每一组两条直线的位置情况，能不能把它们分分类呢？你准备按什么标准来分。 把思考过程记录在2号纸上。 二收：出示半成品资源，加工生成 （1）交流分类情况。 回应：他是按两条直线是不是相交来分的，同意他的分法吗？有没有补充意见？ （2）引导：这几组现在看起来都不相交，是不是真的全部都不会相交呢？我们画的是两条直线，想想直线有什么特点？延长试试看，你有什么发现，原来的分类要作调整吗？ 谈话：现在这样分大家都同意吗？通过讨论大家已经形成了共识。看来有些表面上不相交的，通过延长后实际也会相交。那如果把 也无限延长，结果会怎样呢？
教师介绍： 表示法 读法 层次二：二级分类，揭示垂直概念 小放：相交的这一类，都形成了角，有没有比较特殊的情况呢？仔细观察，能不能根据角的特点继续再往下分吗？ 小收：（1）相交成直角和斜交，怎么知道是直角？有办法验证吗？ （2）揭示概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。垂直是相交中的特殊情况 要求：看看自己画的，是不是每一种位置关系都考虑到了？分类对不对？有问题的可以修改一下。并轻轻地把两条直线的位置关系完整地说一说。（贴纸出示：同一平面内两条直线的位置关系）
层次三：生活中举例 其实生活中也有平行和垂直的现象：比如说，在黑板这个平面内，长边和短边所在的直线互相垂直。你也能在身边找一找、说一说吗？
| 先想一想分类的根据，尝试分类。
分类标准预设：是否交叉、 是否接触、是否有公共点等。
预设1：不正确的 交叉：1 3 4 8 9 不交叉：2 56 7 预设2：正确的 交叉：1 3 4 5 6 8 9 不交叉：2 7
利用直线的特点，尝试延长直线并原来分类作调整。 通过延长初步感受到有时认识事物不能光看表面。
由尝试分类到延长调整分类，学生明确了两条直线可以分成相交和不相交两类，并认识到不相交的两条直线就叫互相平行。 同桌合作，学一学平行的表示方法和正确的表达。 尝试进行二级分类，分好后能跟同桌交流分类的标准。
自己动手对（1）号进行验证
仿照平行同桌互相说一说垂直的表示方法和正确的表达。 有错的修改，其他同学试着和同桌轻声地说一说两条直线的位置关系。 明确：两条直线的位置关系可以分成平行和相交两大类，相交的情况又可以分成垂直和斜交两类。 一生举例说（规范语言）其他同学也象这样用规范的语言跟同桌说说生活中的平行和垂直的现象。 | 通过引导学生分类，从而整体感悟两条直线在同一平面内的多种位置关系，理清上位概念和下位概念。并对其中的一些特殊位置关系有进一步的认识，完成概念的建构，帮助学生对直线的位置关系形成认知的结构化。
利用过程性指导，引导学生从仅仅对表面现象的关注到对事物本质属性的关注，从而提升学生分析问题、解决问题的深度。
在学生亲历了概念的形成过程后，学生会用准确的语言进行描述。 通过引导学生自己对两条直线相交、垂直和平行的各种位置情形梳理和归类，帮助学生对两条直线位置关系形成认知的结构化，避免学生点状的认识和记忆的负担。 利用清晰、准确的概念，判断生活中的平行和垂直现象。一方面检测和巩固对概念的理解，另一方面为学生准确地表达提供了言说的机会，再者让学生体会到数学并不神秘，数学就在日常生活中，就在自己身边，感受到 “平行”“垂直”与现实生活的密切联系。 | ||||
应用判断 | 1.教师出示一组平面图形，找一找，说一说。 2.纸上有很多条直线，找出相互平行或垂直的，不遗漏、不重复的像老师这样记录下来。 | 尝试用符号记录。 | 从生活中的“平行”迁移到数学图形中，体现了“数学从生活中来，又回到生活中去”的思想。让学生学会用所学的知识解决问题，培养学生观察、分析、判断等能力。同时也使学生感受到不同图形的特点，深化对这些图形的认识，为后面具体学习这些图形做好铺垫。 | ||||
总结延伸
| 今天我们认识了同一平面内，两条直线的位置关系，学习了什么是平行和垂直，那么如何画平行和垂直呢？ | 课后尝试。 | 利用已有的经验和工具尝试画平行和垂直，为正确、科学的操作方法奠定基础。 | ||||
统计专题报告
小学阶段的统计以“描述统计”为主，要引导学生经历搜集数据——分析数据的过程，分析数据又分为三个阶段：（1）把握数据特点，归类整理；（2）制表制图，了解数据的分布特征；（3）特征量的计算（求平均数、差异量等）
统计教学的基本原则：
1、要经历统计的过程，感受统计的现实意义。
2、要经历数据整理归类的过程，学会清点数据（数据小：符号记录；数据大：画“正” ）。
A、分类整理（一上），如理书包，这是确定现象，按照文具用品归类整理。
B、随机现象的数据整理（一下，课内：通过录像播放，学生自主整理，也可放在课后解决）如在11：40~12:00内，5分钟一统计，看看哪个时间段食堂里的人数最多。（感受随机现象为主，渗透画“正”记录的方法。）
C、按不同角度整理数据，如统计教师情况时可按性别、年龄、职称等归类整理（二下，体会画“正”记录在汇总结果（清点数据）时的简洁）
3、要经历统计表、统计图制作的生成过程。
分两个阶段：1、低段，主要是让学生了解、认识生成过程，会从图表读出信息。2、三年级开始，会画图，又要分两大板块（1）纵向间距的确定——A、一格表示“1”（二上）B、一格表示几（二下） C、纵向间距如何确定（四上，详见局小第二节研讨课）（2）横向组数的确定——A、分类确定组数 B、间断数据项目的确定 C、连续数据分段确定项目组数（均匀分段、不均匀分段）
所谓间断数据，指的是以整数计数的，如出生月份的统计，销售服装的件数统计等。所谓连续数据，指的是按照一定的标准去度量得到的数据，如身高、体重、气温、成绩（度量标准是考试卷）、工资等。如果连续数据中有极端数据，分组时有的组数据很少，就可以与其他组合并，这样本来均匀分段就变成了不均匀分段。
统计教学的育人价值：（1）引导学生关注现实生活中的随机现象；（2）在学习过程中，帮助学生建立数据的敏感，提升学生分析处理数据的能力；（3）引导学生把握统计过程中的一般情况和特殊情况。
课例：《条形统计图》
学校 | 常州新北区薛家中心小学 | 学科 | 数学 | 班级 | 二（4） | 人数 | 51 | ||
课题 | 条形统计图 | 教时 | 1 | 执教 | 李小英 | 日期 | 2011.12.8 | ||
※ 教学目标： 1．学生通过观察、比较、操作，经历条形统计图的生成过程。 2．了解条形统计图的要素，并会根据统计图做出合理的分析。 3．在整理、描述、分析的过程中，进一步了解统计在现实生活中的作用和意义。 ※ 制定依据： ★ 内容分析： 统计在每册教材中都涉及，但课时短，学生的理解感悟并不深刻。学生对统计内容的学习也是点状的、割裂的，对描述性统计的目的和意义的理解更是不强。因此，从一年级开始就对统计的教学进行了整体的规划。在基于教材现有的内容上，有选择、有目标的进行提升。一年级（上册）：学生利用学具对确定现象（较小数据）进行分类整理。在整理的过程中做到“一一对应”，并经历制作统计表的生成过程，明确统计表的要素。一年级（下册）：学生会用记号对不确定现象以及随机数据（较大数据）进行分类记录，明确一个符号表示一个。巩固对统计表的制作。因此，本节课教材在学生已有的统计经验和统计知识基础上，进一步认识分一分、数一数的整理数据方法，引导学生将方块—直条—方块统计图，经历生成的过程。体验每个方块表示一个，在活动过程中体会用条形统计图更加直观、清晰，让学生体会统计图逐步优化的过程及从形象到抽象的思维发展过程。 ★ 学生实际： 学生已经会用各种符号来进行分类整理的记录，能制作简单的统计表，知道了统计表的要素。本节课主要是让孩子经历条形统计图的生成过程。但是在生成的过程中，学生对于用同一种符号记录比较方便，尤其是用方块统计比较整齐，一目了然的体悟还很欠缺。如何让孩子从方块到直条，最后形成条形统计图这个过程还是有一定难度的，需要老师适当的引导和渗透，进一步提升学生的学习能力。 | |||||||||
教 学 过 程 | |||||||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | ||||||
生成条形统计图
| 第一环节：感悟方块符号表示的特点 一放： 我们食堂里的叔叔想知道同学们最喜欢吃什么水果，就在全校选了20个同学就苹果、桃子、草莓、梨子喜欢的情况进行了调查。这里有点乱，你能分类整理一下，每种水果各有几个同学喜欢吗？ 一收： 第一层次 交流统计结果，并用学生资源说明一般统计的方式。 第二层次 呈现同一种符号统计和不同符号统计——体会同一种符号的简便。 比较一下，有什么区别？你更喜欢哪一种？为什么？ 学生回答后小结：看来用同一种符号记录，不仅简便，而且还能一眼就看出谁多谁少。 第三层次 呈现各种图形表示的——体会方块统计图的排列整齐，更为直观。 呈现学生出现的资源（全是√不齐、全是□、…） 再来比较一下，在这么多种符号中，你更喜欢哪一种，为什么？ 小结：大家都提到了用□更为整齐，直观，谁高就是谁多，谁矮就是谁少。 第二环节：经历从方块—直条的形成过程。 二放： 既然大家都认为方块排列更整齐，下面就请你用方块来摆一摆每种水果的个数。 二收：黑板上呈现学生出现的资源。 问：是不是这条最多啊？ 教师根据学生的回答对图形进行调整。 追问：那怎么排一下子就能准确地看出谁多谁少呢？ 你来试一试！ 小结：摆方块时，一定要注意起点对齐，间隔统一，这样才方便我们一眼看出谁多谁少。 第三环节：形成条形统计图。 第一层次：介绍种类、数量。 把一个一个小方块堆在一起，就形成了这样的一个个直条，那么这些直条表示的是谁的数量呢？ 拓展：如果再有其他的水果呢？为了保持起点统一，可画一条横轴，表示种类 师根据学生的回答板书：横轴、种类。 数量呢？也可以不断的增加。方块合在一起看不清，为了可以看清直条数量，可以增加一个纵轴，表示数量。 板书：纵轴、数量。 那么这些数量怎么表示呢？ 追问：一格表示几？怎么看不数就知直条是几？ 师演示：写好数量后，我们就能对应着知道每种水果各有多少个了。 第二层次：介绍名称、日期、单位。 师边介绍，边补充板书。 这样就把简单的直条图形成了一张完整的条形统计图。 （板书：条形统计图） 第三层次：总结 看着这张条形统计图，你知道了什么？ 总结：通过这张条形统计图，直条长喜欢的人就多，直条短喜欢的人少一些，这样叔叔就知道怎么去买水果了。做到大家满意，还不浪费。 还知道了条形统计图的各个要素，一格表示一个，画直条的时候还要注意分布均匀。 | 学生独立完成。 学生可能出现的情况有： （1）全部都用同一种符号统计记录的。 （2）用不同符号统计记录的。
全班报结果。
同桌讨论交流。 预设： 我喜欢同一种符号表示更加方便。 √越多，数量就越多，√越少，数量就越少。
同桌交流。 预设： 我喜欢√，方便。 我喜欢□，看上去很整齐。 ……
学生独立动手操作。 预设： 起点不对齐的。 间隔不统一的。 学生讨论后回答：不是的。要在同一条线上，中间的距离还要一样的。
学生再次操作形成直条。
学生交流后回答。
学生思考。 学生回答： 要从0开始，1，2，3… 一格表示一个。
学生同桌讨论后全班交流。 我知道了苹果多，要多买点，因为喜欢的人多。 我知道了条形统计图要有名称、日期、单位、还有种类和数量。 |
让学生从多种符号的表述中聚焦到同一种符号记录。感悟：简便、美观。一下子就能看出统计情况。
多种符号中观察、比较、体悟方块的排列整齐，更为直观。
学生经历从方块到直条的形成过程，更进一步的为条形统计图的形成加深理解。
在直条图的基础上不断生成，最后形成一张完整的条形统计图。
学生通过交流，再次加深对条形统计图的认识。清晰条形统计图的要素。
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自己制作条形统计图 | 三放： 我们二年级要开设课外兴趣小组，负责的老师需要知道同学们比较喜欢哪些活动项目，现在你能不能根据这张调查记录来制成一张条形统计图，然后给老师一些建议呢？ 三收： （1）起点是0 （2）横轴种类说明 （3）数据标注和日期填写 问：看着这张条形统计图，你知道了什么？ | 学生根据调查情况，独立完成统计表，并制作条形统计图。 交流： 半成品资源辅导完成。 纵轴数字的填写。 分布要均匀 自己完善自己的统计图 |
学生独立进行条形统计图的制作过程。进一步明确条形统计图的要素。 | ||||||
拓展延伸 | 同学们刚刚我们只调查了20个同学，要是40个同学，60个呢？直条要怎么表示呢?这时候一格还可以表示多少呢？ | 学生思考。 | 拓展练习，渗透下学期的一格表示几。 | ||||||
整数概念教学长段递进性思考
20以内数的认识 | 百以内数的认识 | 千以内数的认识 | 万以内数的认识 | 大数的认识 | ||||||
认识 内容 | 认识个位、十位 0占位且不读 | 认识百位 末尾0占位且不读 十进制进率 | 千位 中间0占位且要读（连续0读一个） | 万位 中间0占位且要读（间隔0都要读） | 个级、万级 每级末尾0都不读 整数的结构体系 | |||||
学生 情况 分析 | 虽然数在生活中随处可见，但每一学段的学生对数的大小的感悟存在一定的困难 | |||||||||
对数概念的认识学前差异大；在计数活动中点物和报数之间缺乏一一对应的关系；数产生的意义过于抽象；缺乏产生数位的需求与意义理解 | 虽然有数数的生活经验但是对数大小的感悟空洞；以群计数的灵活性不够；较难理解“百位”生成过程 | 初步感受了数认识的框架结构和方法结构，运用已用的经验会读100到1000之间的数，其中对中间有0的数的读法有些困难；对新的计数单位的生成过程有初步的感悟 | 感受了初步感受了数认识的框架结构和方法结构；具有了依据类读数的初步经验；部分学生对于中间连续0的数的读法可能存在一些困难 | 能够运用数认识的方法结构来认识数生成数；建立了依据类型读写一类数的意识；懂得了生成新计数单位的方法；对于中间间隔0如何读以及含有万级的数如何读部分学生存在困难 | ||||||
递进性目标设计 | 经历从场景图中抽象出1-10各数的过程，知道可以用简单的符号来表示数。 理解1-10各数的含义，学习有序地数数，初步感悟数的大小以及单数和双数。 让学生感知生活中处处有数学，体验与同伴互相交流学习的乐趣。 | 在观察、操作和交流等活动中，直观地认识“十”，知道10个一是1个十； 初步认识数位，知道“个位”和“十位”，认识个位上用0占位的必要性； 会正确地读、写11-20各数，知道11-20各数的组成； 掌握20以内数的顺序，会比较它们的大小。 | 结合生活素材感受数的意义； 能正确读写千以内的数，掌握千以内数的组成； 认识计数单位“千”，沟通每相邻两个计数单位之间的十进关系，初步建立数系统中十进制关系的意识； 沟通两位数和三位数的联系，初步形成整体认识数概念的结构意识。 | 知道从数认识的框架结构出发认识数； 能利用数认识的方法结构主动认识万以内的数； 认识数中间0占位的必要性，掌握万以内数的构造结构，并运用这个结构生成新的数； 感知“万”的大小。 | 能利用数认识的框架结构尝试认识多位数； 掌握多位数的构造结构； 在估数的过程中发现和把握四舍五入的规律。 | |||||
内容框架
核心推进环节 | 数的现实意义 | 经历从现实生活中抽象数的过程，使学生感受数在生活中的具体意义 | ||||||||
教师创设丰富的现实情境 | 教师提供丰富的生活情境 | 教师提供丰富的生活情境 | 指导学生从身边收集有关数的素材信息。（报纸、书籍、新闻媒体……） | 学生主动从多途径发现和搜集相关数的素材信息 | ||||||
数的读写组成 | 先读十位再读个位，个位的0不读, | 从高位起，依次读（写）；想数位，读（写）数字；末尾0不要读（要占位） | 从高位起，依次读（写）；中间0要读，末尾0不要读 | 高位起，依次读（写）；想数位，读（写）数字；中间0读一个（要占位） | 先分级，四位一级；先读万级，再读个级；万级先按个级的方法读再在末尾添上一个万字。高位起，依次读（写）；中间连续0读一个，不连续都要读；每一级末尾的0都不读。 | |||||
初步感受在数的读写中0的特殊性。 | 初步感受按读法对数进行分类，知道可以分成“有0的数”和“没0的数” | 依据已有经验尝试读数，在交流的过程中逐步形成类（“没有0”、“中间0”、“末尾0”），初步体会按类读的方法，提炼读数的方法 | 启发学生利用按类读数的方法认读万以内的数，在交流中建立清晰的类型意识，聚焦“中间连续0”完善读数的方法 | 启发学生运用数认识的方法结构自觉进行分类认读，聚焦“间隔0”、“含有万级数的如何读”完善读数方法 | ||||||
新数位的生成 | 知道个位、十位的概念 初步认识数位顺序表 | 9个 十 + 1个十 =（ ）个十 → 百位 | 9个 百 + 1个百 =（ ）个百 → 千位 | 9个 千 + 1个千 =（ ）个千 → 万位 | 9个 万 + 1个万 =（ ）个万 → 十万位；9个 十万 + 1个十万 =（ ）个十万 → 百万位；9个 百万 + 1个百万 =（ ）个百万 → 千万位；万级的生成 | |||||
数的大小 感悟 | 知道数字符号所表示的意义 | |||||||||
在“按物点数”、从具体的物体抽象出数的过程中体会数的实际大小 | 通过“数””按群计数”直观感悟百以内数的大小 | 借助工具感悟千以内数的大小 | 借助想象联系生活经验感悟万以内数的大小 | 借助数位的产生类推想象感悟数的大小 | ||||||
感悟 结构 | 初步渗透数认识的框架结构 初步了解数认识的方法结构。 | 初步感受数认识的框架结构 感受数认识的方法结构 | 感受从数认识的框架结构出发认识数 掌握数认识的方法结构 | 知道从数认识的框架结构出发认识数 能利用数认识的方法结构认识万以内的数，并运用这个结构生成新的数 | 能利用数的框架结构认识大数 掌握多位数的构造结构，并主动运用这个构造结构生成新的数 | |||||
过程关注 | 明确活动开展的目的意义，提升学生学习的动机水平。 帮助学生把握知识结构，形成学生学习的主动意识。 帮助学生理解对应关系，提升学生计数的能力水平。 | 通过“比比分分，总结方法”增加思维的挑战性，突破难点，并在这一过程中培养学生的归类意识、对比意识、提炼意识。组成和读写要始终紧密结合，形成连贯动作。 | 要让学生通过比较，沟通千以内数中的认识与万以内数的认识面对类似情形时的相同与不同。使学生经历从具体到抽象再回到生活具体这一反复体验的过程。 | 类比迁移学习万级的数，并根据已有数位顺序表，生成新的计数单位，培养学生整体认识知识结构和方法结构。大数的认识内容很多不能一步到位，第一课时利用数级的概念感悟读数的方法，第二课时理解和巩固亿级的读写。 | ||||||
课例1：千以内数的认识
学校：常州市新北区薛家中心小学 | 年级：二年级 | 班级：二（4） | 人数：51 | |||
学科：数学 | 课题：千以内数的认识 | 教师：李小英 | 日期：2012.3.1 | |||
一、教学目标 1、结合生活素材感受数的实际意义,能正确读写千以内的数，掌握千以内数的组成。 2、认识计数单位“千”，沟通每相邻两个计数单位之间的十进关系，进一步发展数系统中十进制关系的意识。 3、沟通两位数和三位数的联系，初步形成整体认识数概念的结构意识。 二、制定依据 1．教材分析 整数认识的教材编排：第一次大循环：百以内数的认识，包括：10以内数的认识、20以内数的认识以及百以内数的认识；第二大循环：万以内数的认识，包括：千以内数的认识和万以内数的认识及大数的认识，本课时是整数认识的第二次大的循环。本单元中教材先后安排了近五课时的教学，分别教学认识整百数、认识几百几十、认识几百几十几，并结合着安排了相关的口算，最后教学千以内数的大小比较。为了帮助学生对数的认识由单纯的表面符号知识的把握上升到对数认识的方法结构的把握，促进学生主动运用结构来认识新的数，提升学生认数的思维水平，拟对本单元教材进行适当重组，将千以内数的意义、组成、读写等整合在一课时中进行教学，全课分成三大核心板块：一是在情境中读数，让学生感受到学习的是有意义的数；二是放到数位表中读数，让学生借助数位表经历分类读数的过程，提炼形成读数的方法；三是生成新的计数单位，让学生经历创造的过程，体验新产生的数的大小及其蕴含的丰富的现实意义。 2．学生分析 具备了什么？——学生已经经历过整数认识的第一次循环教学，在百以内数的认识中已经初步形成了分类意识，感知两位数的读法：先读十位，再读个位（从高位起，依次读），个位0不读（末尾0，不读），同时也建立了一定的“位”概念，知道满十进一；另外随着孩子与外界社会接触的机会增加，大多数孩子对千以内的数已经有所耳闻目染，在脑中或多或少有了一些模糊的认识和了解。 困难是什么？——首先，由于孩子们学习背景的差异，他们对千以内数的学前经验也存在着相当大的差异，如千以内数的接触了解、认数方法结构的主动迁移等会呈现出不同程度的差异,其次，随着数的范围不断扩增，孩子们可能利用认数的方法结构能正确的读写数，但是对这些数背后隐藏着的丰富的内涵缺乏深刻体验。 提升些什么？——通过本节课的学习，需要帮助学生初步形成数认识的方法结构，为后续学习大数的认识奠定基础；其次，借助现实生活素材，丰富学生对数的内涵的体验。 | ||||||
教学过程 | ||||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | |||
常规 积累 | 出示：读数、说组成，说说百以内数的怎么读？ 24、30、59、80、100。 板书：高位起，依次读（写）；末尾0，不要读（要占位）。 | 同桌互相读数并说一说数的组成 | 回顾前期学习内容，为新知学习作好准备。 | |||
开 放 式 导 入 | 谈话：我们已经认识了两位数和100，100已经是三位数了，那100以上的三位数有哪些？这些三位数各要怎么来读写呢？这就是这节课我们来研究的一些问题。老师在小朋友收集的三位数信息中选择了一部分。 出示： 1、小明身高138厘米。 2、绕学校操场跑一圈300米。 3、我校二年级共有学生298人。 4、报告厅能容纳580人。 5、一张沙发的价格是905元。 6、小红三分钟能跳407下绳。 7、老师的左眼近视达650度。 | 读数 （1）在情景中读数 （2）在数位表中读数 自己轻轻地读一读，并说一说组成。 | 通过谈话，帮助学生拓展数的范围。
从鲜活的现实生活中撷取典型的数据信息，让学生感受数的实际意义，同时让学生尝试读写将学生的已有基础呈现出来，为进一步推进提供资源。 | |||
分类探究数的读写及组成 | 目的交待：有的小朋友这些数都会读了，那是不是这几个数会读了，所有的三位数都会读了？如果我们把这些数按照它们的读法一类一类地搞明白，那么所有的三位数就都会读了。 放：把读法一样的数找出来写在一起，记录在数位表中。 过程中指导：写完一类大家可以空一行再写下面一类，便于我们观察。 收：第一层次：没有0的数。 呈现学生资源（1） 交流：读一读，说说组成，并和两位数的读法去比一比，怎么读，读法是怎样的？ 小结：从高位起，依次读。 第二层次：有0的数 观察：有0的数你还能继续分，把读法一样的数仍旧写在一起吗？ 并联呈现资源：你知道它们分别是怎么分的吗？同桌说一说。 聚焦末尾0的数：读一读，说说组成，联系两位数中末尾有0的数的读法，想一想三位数中末尾有0的数我们可以怎么读？ 提炼：末尾0，不要读。 聚焦中间0的数：读一读，说说组成。 提炼：中间0，要读。 强调：读数和说组成的区别。 沟通比较：刚才我们通过分类，研究了有代表性的几类三位数的读法，它们和两位数的读法相比，有什么相同和不同的地方？ 练习：学生修改分类后在每一类的后面再写一个数给同桌读一读、说一说组成。 |
学生尝试归类写数，预设： （1）没有0和有0的（多数学生） （2）有0的进行二级分类的 （个别学生）
自己读一读，说说组成，再和同桌说说读法。
学生再次归类写数。 预设： ①按0的位置分 ②按0的个数分 ③按0的读法分
同桌互动交流
读一读，说说组成。 明确：末尾0不要读；中间0要读。
学生交流并归纳： 相同：都是从高位起，依次读；末尾0，不要读。 不同：出现了中间0，要读一个。 |
依据学生认识两位数的经验组织教学，通过分类、资源的加工，帮助学生整体认识三位数的读写方法，进一步形成并掌握数认识的方法结构。
沟通两位数和三位数的联系与区别，初步培养学生整体认识数概念的结构意识。 | |||
三位数的写法及组成 | 写数说组成 2个百、3个十和5个一 ；6个百和8个一；三百零七；九百。 组织交流：写数时要注意什么？ | 学生独立在数位表中写数 交流感悟：写数也是从高位写起，遇到哪一位上一个单位也没有要用0占位。 | 通过练习，巩固三位数的读写法和组成，为新知的生成作好孕伏 | |||
数位生成 沟通进率 | 谈话：9个百再增加一个百是多少？你能在数位表中写出这个数吗？ 呈现资源，组织交流，生成千位。
追问：一千到底有多大呢？课件播放，说说一千的组成。 过程中打开：看看谁能有条理地把1000的各种组成都能说清楚。 | 学生尝试在数位表中写1000。 预设：写对和写错（百位写10）。 进一步感受满十进一。 学生借助课件进行不同的表达：一千是由一个千、10个百、100个十、1000个一组成的。 | 迁移创造“千”，沟通计数单位之间的进率，促进学生对十进制关系的进一步理解。 | |||
感知一千有多大 | 提供材料来体验一千 体验材料：一间可容纳约500人的报告厅、十张百数表、二年级一个班大约有50人、1000个点子图。 |
边看边体验 | 通过数数获得对“一千”的认识，同时回归生活，借助推想感受一千在现实生活中的丰富内涵。 | |||
拓展延伸 | 启发：10个一是十，10个十是一百，10个一百是一千，你会接着联想下去吗？今后我们还要用同样的方法来学习更大的数。 |
学生联想 |
将学习方法向更高的数位拓展…… | |||
运算律单元整体设计结构化思考
教材简析：
本单元的内容包括：加法的交换律和结合律，应用加法交换律、结合律进行简便计算，乘法的交换律和结合律，应用乘法交换律、结合律进行简便计算。
这部分内容是在学生经过三年多时间的四则运算学习，并对这些运算定律已经有一些感性认识的基础上，进一步通过一些实例来引导学生进行概括的。由于乘法的分配律不是单一的乘法运算，而是涉及到乘法和加法的运算，学生对乘法分配律的感性积累比较少，学习起来比较困难，而且加法的交换律、结合律与乘法的交换律、结合律有很多相似的地方，所以本单元只教学加法和乘法的交换律、结合律，而将乘法的分配律单独编制单元，安排在四年级下册进行教学。
学习加法和乘法的运算律，不仅有助于加深对加法、乘法计算方法的理解，还能使一些计算简便，而且在以后学习中也要经常用到。因此，这些运算律是小学数学中最基础的知识，教学中要积极引导学生对这些规律性知识进行探讨，自觉应用，并在应用中加以巩固。
学生分析：
本册教材的第三单元安排了两步混合运算，这些内容是学生学习运算律的基础。学生虽然在此前的学习中，对四则运算中的一些性质和规律有感性的认识，但这些只是对默认结果的应用，学生对规律的发现和形成过程缺乏了解，常常只是知其然而不知其所以然，更会对规律探索的方法产生以偏概全的错觉。学生对规律的特点把握比较困难，对规律适用的前提条件缺乏敏感度，规律性的语言叙述存在一定的困难。
本单元内容毕竟是属于理性的总结和概括，比较抽象，学生不易理解和掌握。因此，教材呈现学生经常经历的跳绳、踢毽等具体情境，利用学生已经掌握的知识，让学生独立解答，通过学生解答，初步发现不同算法间的联系。接着让学生举出类似的等式，并对这些等式进行分析和比较，引导学生主动地探究规律、发现规律。学生在探究运算律的过程中，体验了提出猜想、举例验证、归纳结论这样三个步骤，经历了一个相对完整的探索方法的过程。举例验证的类意识得到了强化，但是提出猜想的能力以及语言表达的能力还相对欠缺。另外，对于这些运算律怎么用使得计算简便，学生的判断能力还不强。需要通过练习来加强，尤其是数感要加强，注意解题的格式。
教材在练习中渗透和、差、积的变化规律，让学生在探索、发现和应用规律的过程中，发展合情推理和初步的演绎推理的能力。另外，我们在教学中还增加了减法的性质和除法的性质两个教学内容。学生在学习这两个内容之前，可能已经对两个性质有了感性认识，他们中有一部分学生已经具有根据减数或除数的特点，改变运算顺序进行巧算的直觉和敏感，但对规律形成的过程缺乏了解，对规律的表述不严密清晰，不利于形成系统而科学的研究意识和能力。更重要的是在应用的过程中，对规律的使用缺乏主动的判断和选择意识，如何根据数据特点灵活选择运算形式，是个大问题，需要培养学生对数据的敏感意识和对规律的判断选择能力。因此，在教学中，我们特别注意增强学生对规律的特点把握，对规律使用的前提条件增强敏感度，帮助学生把多种分散、局部的认识，进行聚类、清晰化的处理，形成相对完整、丰富的概括，提炼和抽象出“减法运算性质”、“除法运算性质”的结论表述。
单元目标：
1.培养学生的研究意识。研究意识主要包括：猜想的意识、举证的意识、分类研究的意识、确定研究范围的意识、梳理的意识等。
2.了解和掌握数运算规律的知识结构、学习方法结构和教学过程结构，为学生主动学习提供方法和工具的支撑。
3.在建立研究意识和形成认知结构的同时，能够掌握和运用这些运算规律解决相关的实际问题。
推进安排：
内 容 | 课 时 | 目 标 | 资 源 | 策 略 |
加法交换律 | 第一 课时 | 1．区分特殊与一般的差异，能根据特殊对一般进行猜想。 2．通过体验，掌握验证猜想的过程和验证的书写格式。 3．经历规律探索的全过程，掌握规律探索的一般方法结构。 | 基础性资源：开放式导入，让学生凭借已有经验解决简单的问题。 生成性资源：通过不同资源的辨析，明确验证过程的科学严谨，拒绝伪验证。同桌互相交流，概括提炼出简洁的语言表达，同时用自己喜欢的符号语言表达出规律。 | 教结构策略：在解决问题的过程中，提出探索规律的要求。 学生在教师的指导下举例（大数、特殊数、小数、分数） 尝试归纳 对比修正 完整品读 |
加法结合律 | 第二 课时 | 1．在观察的基础上独立尝试，经历归纳探究的过程，再次形成方法结构。 2．经历比较的过程，体会运用运算律可以使计算变得简便。 | 基础性资源：出示一道连加的算式，让学生尝试用不同的方法计算，大胆提出猜想。 生成性资源：学生大量举例，互动生成各类例子，尝试概括结论，并能用字母表示规律。 | 用结构策略：从学生的经验出发，进行直觉猜想。在教师的引导下经历归纳探究的过程，逐步熟悉这些步骤。
类比、迁移 |
应用加法运算律进行简便计算 | 第三 课时 | 1．通过题组对比，进一步发现运算律可以使一些计算简便，培养简算意识。 2．通过练习，养成先观察判断，再动笔计算的作业习惯，培养简算能力。 3．通过简算促进计算能力的提升，体验数学学习的乐趣。 | 文本资源：口答气球上3个数的和是多少，建立对数的敏感。 基础性资源：出示例题，学生尝试解决。 生成性资源：呈现各种解答方法，通过交流，不仅要使学生体会到不同算式的内在联系，更要使学生认识到哪种算法简便，从而了解应用加法运算律可以使一些计算简便，初步认识简便计算的方法。 | 教结构策略：通过例题的解答、交流、对比，逐渐完善这类题的解答过程，充分体验利用运算律的优越性。 用结构策略：激发学生主动尝试运用运算律进行简算。将简算意识运用到实际问题中去，感知可以根据数据的特点选择先加哪两个数。
类比、迁移 |
乘法交换律和乘法结合律 | 第四 课时 | 1．经历乘法交换律和乘法结合律的探索过程，理解并掌握规律，能用字母表示规律。 2．培养观察、比较、分析、综合和归纳、概括等思维能力。 3．增强合作意识，激发学习数学的兴趣。 | 基础性资源：通过问题，回顾上节课的学习内容和学习方法，为这节课做好铺垫。 生成性资源：通过提供的研究纸记录研究验证过程，得出自己的结论。放手让学生经历猜想—验证——结论的过程。 | 用结构策略：乘法交换律、结合律以及相关的简便计算，安排在加法交换律和结合律之后，整个教学的过程和加法类似，都是先让学生初步感受可能存在这样的运算律，然后再让学生通过举例验证，经历分析、综合、抽象的过程，得出运算律，并且用字母表示。不过探索的要求有所提高。需要学生能从学习加法交换律和结合律的方法结构中主动迁移，自主进行探索，即加法交换律、结合律为教结构，乘法交换律、结合律为用结构。
类比、迁移 |
应用乘法运算律进行简便计算 | 第五 课时 | 1．通过题组对比，进一步发现运算律可以使一些计算简便，培养简算意识。 2．通过练习，养成先观察判断，再动笔计算的作业习惯，培养简算能力。 3．通过简算促进计算能力的提升，体验数学学习的乐趣。 | 文本资源：教师补充习题和书本练习 拓展资源：书本第7、8、10题。 | 用结构策略：这部分内容教学应用乘法交换律和结合律进行一些简便计算，有些题明确提出了“用简便方法计算”，通过计算进一步掌握简便算法，巩固对乘法交换律、结合律的理解。有的通过对乘法的验算，将验算方法与乘法交换律联系起来，沟通了新旧知识的内在联系。通过题组对比，引导学生体会灵活应用乘法运算律使计算简便的方法。
类比、迁移 |
减法的性质 | 第六 课时 | 1.在直觉猜想、自主验证、提炼概括的基础上进一步增强研究意识和形成清晰的认知结构。 2.清晰规律运用的前提条件，能灵活运用减法的运算规律解决相关的实际问题。 | 文本资源：出示例题，学生尝试用不同方法解答。 基础性资源：呈现资源，观察分析，同桌相互说一说，再指名交流。 生成性资源：学生大胆提出猜想，自主展开验证过程。通过验证，进一步清晰减法性质的结构特点，明确规范验证的研究过程，对从特殊发现一般的数学方法有更深的体悟。
| 教结构策略：为学生提供了更多实践和反思机会，有利于学生整体和结构化地把握知识，为学生的类比猜想和结构思考提供可能，而且有利于学生形成主动探究的学习心态，在形成知识结构的同时建立起结构化的思维方式。
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除法的性质 | 第七 课时 | 1.在类比猜想、自主验证、提炼概括的基础上进一步增强研究意识和形成清晰的认知结构。 2.清晰规律简便使用的前提条件，能运用除法的运算规律解决相关的实际问题。 | 文本资源：复习学过的运算律，运用运算律进行简算，对除法的性质提出猜想。 生成性资源：通过猜想、验证、归纳的完整过程，既再次体验探究过程又让学生充分感悟这种规律的存在。 拓展资源：教师补充部分提高题，激发学生的解题欲望。 | 用结构策略：在学习了减法的性质之后，学生学习本课完全可以自主进行猜想验证的全过程。但必须关注学生举例中出现的问题：当遇到不能整除的情况，学生会发现余数不同，因此认为发现了反例，但实际上商还是不变的。
类比、迁移 |
课例：《加法交换律》
学校：常州市新北区薛家中心小学 | 班级：四（2） | 学科：数学 | |||||||
课题：加法交换律 | 教师：姜博 | 日期：2011.10.20 | |||||||
一、教学目标 1.区分特殊与一般的差异，根据特殊对一般进行猜想， 2.掌握举例验证的方法以及规范的书写验证过程。 3.经历探索加法交换律的全过程，提炼规律探索的一般方法结构。 二、制定依据 1.教材分析 低年级阶段教材安排了一步计算的内容，本册教材的第三单元安排了两步混合运算，这些内容是学习运算律的基础。本单元教材的内容包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律的发现、总结、以及字母表示。并初步体验运算律可以帮我们进行简便计算。而稍复杂一些的乘法分配律则安排在下册教学。这样的内容安排无疑是点状的，也是割裂的，缺乏对所有运算律的整体感知，缺乏对加减乘除运算律之间的沟通比较，更缺乏由此带来的归纳探究过程的整体感悟。因此，本单元将做以下调整：一是将加法交换律利用观察猜想作为教结构的课，用一课时完成，加法结合律采用直觉猜想让学生尝试用结构，在此基础上进行加速度，乘法交换律和结合律进行类比猜想，迁移学习，用一课时完成。二是进行适当补充，教学减法的性质和除法的性质。三是把不变规律在课堂内完成，而共变规律结合相关练习和拓展，放到课外完成。 加法的运算规律教学作为教学结构阶段，而“加法交换律”是这个教学结构阶段的起始点，所以就显尤为重要。小学数学教材中的规律性知识体系中，加减乘除四种运算中的定律和性质都可以成为育人的载体和丰富的资源。加减乘除四种运算之间本身就存在着紧密联系：第一，减法是加法的逆运算，除法是减法的简便运算；第二，乘法具有与加法相类比的运算定律，除法与减法之间也有相类比的运算性质：第三，乘法与加减法之间有运算定律，除法与加减法之间也有运算性质。因此加法是其它运算教学的基础，而加法交换律则是规律性知识学习的起点内容，这一教学内容是学生建立起结构意识和结构化思维方式的关键，所以通过对“加法交换律”运用探究式的教学结构“提出问题，引发猜想，验证猜想，概括归纳，拓展延伸”开展教学，促使学生在这个运算定律的“教结构”的过程中，知道基本的规律性学习的结构和探究规律的一般方法和步骤，使学生形成初步探究规律性知识的能力和意识。从猜想到形成结论的验证的步骤，以及验证的格式，举例验证的要求，使学生知道验证时要有代表性（小学阶段学生运用不完全归纳法，主要采用举例验证的方法对规律性的知识进行验证）初步形成运算定律研究的方法结构（猜想、验证、归纳概括、延伸）；帮助学生初步建立结构意识和结构化的思维方式，为后续的主动研究其他的运算定律充分作准备。期望通过实践与研究改变以往让学生理解、记忆定律、运用定律进行规律性知识的教学方式，体现数学规律学习的重要教育价值，即培养学生的研究意识和能力。 2.学生分析 学生能熟练地进行一步运算和两步混合运算，在运算的过程中，不少同学已经初步感知到有运算规律的存在，但都是从个别现象中得出的。对于学生来说，很容易将其上升为规律，而缺乏科学严谨的归纳探究的过程。学生举例验证的时候往往只关注数据的不同，缺乏类的意识也就很难做到全面。归纳结论时，对于规律的表象学生是比较容易发现和理解的，但语言的叙述上可能会缺少严谨和完整，需要在教师的指导下逐步学会从描述现象上升为表述本质。 | |||||||||
教 学 过 程 | |||||||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | ||||||
常规 积累 | 口算： 32＋4= 1000＋10= 32＋150= 9＋7= 0＋799= 2000＋256= 150＋32= 7＋9= | 独立口算，校对结果 | 从常见的现象入手发现蕴含的特殊现象。 | ||||||
提出 问题
形成 猜想 | 1.初步感知加法交换题的特点 32+150=182 9＋7=16 150+32=182 7＋9=16 提问：仔细观察等式左右两边的式子有什么特点？ 指出：像这样两个结果相等的加法算式可以在中间用等号连接，写成一个等式。板书：32+150=150+32 9＋7=7＋9 2.比较表述差异，并介绍猜想 提问：比一比这两种说法，有什么不同？哪一种说法有道理，为什么？
回应：仅从这两题我们还不能说所有的加法算式交换两个加数的位置和都不变，所以这还只是我们提出的一个猜想。 （板书：提出猜想）
3.这个猜想是否成立呢？还需要进一步举例子加以验证。（板书：举例验证） | 观察并尝试表述特点。 预设： 交换32和150的位置，和不变。 交换两个加数的位置，和不变。
比较不同表述之间的区别。
| 通过观察和言说初步感知并尝试表述加法交换题的特征。
通过比较不同的叙述方式，帮助学生理解特殊和一般的区别，使学生明晰结论与猜想的区别。
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验证 猜想 | 谈话：如何验证呢？我们可以再写一些这样的算式，看看是否依然存在这样的规律？如果每人写十个，全班就有四百多个例子，在一定程度上就可以证明这个规律的存在。
第一层次：规范验证格式 1.呈现资源1，组织学生辨析 指出：举例时要满足等式成立的特征要求 2.呈现资源2、3、4、5组织学生比较验证格式，说说有什么不同，有什么想说的？ 指出：验证时，只有过程和结论都有了，才更有说服力。
第二层次：打开研究思路 1.提问：只举一个例子就能证明猜想成立吗？
2.呈现资源 提问：它举了不少例子，这样可以吗？ 打开1：如果举的都是10以内的数，那么只能验证在10以内两个加数的位置交换，和不变的规律是成立的。想一想，还可以举哪些类型？
打开2：有的同学不仅注意列举的类型不同，还关注到了0和1这样一些特殊的数。
第三层次：介绍反例的意义 在过程中有没有发现不成立的情况，如果有，就是找到了反例，就可以证明这个规律不成立。（板书：反例） | 尝试验证。 预设： 1.A＋B=C＋D 2.A＋B=B＋A 3.A＋B=C 4.A＋B=C B＋A=C B＋A=C A＋B=B＋A 5.A＋B=C B＋A=C A＋B=B＋A
观察比较几个验证的过程，从验证的角度看哪个比较有说服力。 修改完善验证格式，继续按规范验证。 预设： 1.只列举一个事例 2.列举事例多，但类型单一 3.能列举不同类型，但属于无意识
交流想法。 感悟：一个例子不足以证明猜想成立。
同桌互说。 有意识分类列举一般情况。 感悟：举例时要自觉地分类列举各种情况，从不同的角度举例，所举的例子尽可能的全面，涉及的类型尽可能的广。
自觉调整，例举特殊情况。 感悟：举例时要考虑一般和特殊两种情况，那么举例就更具有代表性。
知道：猜想不一定正确，可以通过举反例加以否定。
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通过不同资源的辨析，明确验证过程的科学严谨，不能是伪验证。
渗透不完全归纳的验证方法，指导学生进行规范的研究记录。
逐步形成分类例举和寻找反例的意识。知道要关注特殊数的举例。
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归纳 结论 | 1.提问：我们从不同的角度举了很多例子进行验证，并且没有出现反例，看来我们的猜想是正确的。可以下怎样的结论呢？试着写一写。（板书：归纳结论）
2.呈现资源，引导修正。 指出：要用比较简洁、准确、严密的文字语言表达结论。 出示课题：加法交换律 3.打开：你能用简洁的数学符号表示加法交换律吗？试一试。 指出：可以用不同的数学符号语言表达结论，一般用字母来表示：a＋b=b＋a
4. 梳理规律探究的步骤。 今天我们一起研究了加法中存在的一种运算规律——加法交换律。回忆一下，我们是通过哪几个步骤进行研究的？举例验证时要注意什么？ | 独立尝试写结论。 预设： 1.前提交代不清楚 2.能用文字完整表达结论 3.用“条件—结论—条件”的形式表达
讨论修正，知道用条件、结论表述结论的表达方式。
独立尝试。 预设： 甲数＋乙数=乙数＋甲数 ○＋□=□＋○ a＋b=b＋a
尝试提炼方法结构：提出猜想——举例验证——归纳结论 说说举例中的注意点：格式规范、例举全面、关注反例 | 从学生的基础出发提高学生对规律的表达能力和用字母表达的抽象过程。 初步感知完整规律表述应该包含条件和结论。
回顾反思体验学习全过程，形成探索规律的一般方法结构，为后续学习做铺垫。 | ||||||
拓展 延伸 | 1．学习了两个数的加法交换律，如果是三个数相加，任意交换两个加数的位置，结果会怎样呢？想一想，可以怎样交换位置呢？如果是更多数呢？ 2．今天我们是在整数范围内进行研究，这个运算律在小数范围、分数范围内还成立吗？ | 课后试着用今天的研究过程进行研究。 | 引导学生大胆猜想，扩展研究视角。 | ||||||
反思 重建 | |||||||||
课例：《减法的性质》
学校：常州市新北区薛家中心小学 | 班级：四（3） | 学科：数学 | |||
课题：减法的性质 | 执教：包琴 | 日期：2011.10.20 | |||
一、教学目标 1.在直觉猜想、自主验证、提炼概括的基础上进一步增强研究意识和形成清晰的认知结构。 2.清晰规律运用的前提条件，能灵活运用减法的运算规律解决相关的实际问题。 二、制定依据 1.教材分析 减法的运算性质在现行的苏教版教材中没有编排，只是在二年级用连减解决的实际问题和低年级的口算题组练习中有所渗透。因此，教师对于这一运算规律要不要教、怎样教、教到什么度，心中都没有把握。即使是部分教师意识到这一缺漏，借助练习进行了拓展教学，但对教学设计的思考相对缺乏整体和深入，缺少与已经学习过的部分数运算定律的沟通和类比，仅仅停留于理解和运用，而不注重研究意识的培养和研究方式的贯穿，不注重规律运用的判断和选择意识的培养，导致了这一内容在育人价值上的贫乏和窄化。 在本单元，我们将加法、乘法运算中不变规律（加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律和乘法分配律）的探索集中在一起进行呈现。又将减法、除法运算中不变规律（减法运算性质、差不变性质、除法商不变性质、除法性质）的探索集中在一起进行教学。这样的条状重组，将人为破坏的数运算规律的知识结构重新修复完整，一方面有助于教师整体把握知识间的紧密联系，整体设计学生的能力培养梯度。一方面也为学生提供了更多实践和反思机会，有利于学生整体和结构化地把握知识，为学生的类比猜想和结构思考提供可能，而且有利于学生形成主动探究的学习心态，在形成知识结构的同时建立起结构化的思维方式。 减法的运算规律教学将安排两个课时：一是连减性质，通过偶然问题引发学生对一般进行猜想，并通过分类比较突显规律简便使用的前提条件，这是规律探究教学至此的重点所在；二是差不变性质，通过天平实验引发学生根据观察进行猜想，从而揭示被减数与减数以加减方式变化有规律存在，这是学生理解的难点所在。 2.学生分析 学生在学习这一内容之前，可能已经对减法性质有了感性认识，他们中有一部分学生已经具有根据减数的特点，改变运算顺序进行巧算的直觉和敏感，但对规律形成的过程缺乏了解，对规律的表述不严密清晰，不利于形成系统而科学的研究意识和能力。更重要的是在应用的过程中，对规律的使用缺乏主动的判断和选择意识，如何根据数据特点灵活选择运算形式，是个大问题，需要培养学生对数据的敏感意识和对规律的判断选择能力。 学生已经经历了加法运算定律的“教学结构”阶段和乘法运算定律的“运用结构”阶段，对于研究的路径、研究的范围和材料的有序罗列等研究方法有了一定的认识和积累，初步具备了研究的意识和能力，但必然还有少部分学生，由于自身的惰性或能力差异，在形成猜想、分类验证和概括提炼上有困难，需要过程中教师的指导和榜样的影响。 学生学习这一内容最大的困难在于对规律的特点的把握，对规律使用的前提条件缺乏敏感度，语言的表述也是学生十分困难的地方。因此，在教学中，教师要特别注意增强学生对规律的特点把握，对规律使用的前提条件增强敏感度，帮助学生把多种分散、局部的认识，进行聚类、清晰化的处理，形成相对完整、丰富的概括，提炼和抽象出“减法运算性质”的结论表述。
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教学过程 | |||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | ||
常规 积累 | 1.凑整练习。 2.说说学过的运算律和研究的方法过程。 | 同桌一人出一个数练习。 相互说一说。 | 帮助更多学生形成自主研究的能力。 | ||
开放 式 导入 | 出示：小明买一个笔袋17元，一支钢笔13元，付了50元，应找回多少元？你能帮小明解决这个问题吗？你有几种不同的方法？ | 学生试算。 | 创设问题情境，引发学生已有的经验。 | ||
探究 减法 的 性质 | 引发猜想： 1.呈现资源，观察分析，他们的方法都有道理吗？这两种方法之间有怎样的联系和区别呢？ 相机板书： 50-17-13=50-（17+13）
2.在这个问题中，我们发现两种算法都有道理，但在平时我们规定同级运算要从左往右依次计算，不能随意改变它的运算顺序，这里却先求了两个减数的和，还使计算简便了，由此我们可以提出一个怎样大胆的猜想呢？ | 预设： ①50-17-13 ②50-（17+13） =33-13 =50-30 =20（元） =20（元） 同桌相互说一说，再指名交流。 预设： ①一种方法是一个一个减，一种方法是合在一起减； ②三个数没变，位置也没变，结果也没变，只是运算顺序改变； 学生轻声说一说，再交流。
预设： ①一个数连续减去两个数就等于一个数减去这两个数的和。 ②所有的连减运算都能改变运算顺序，结果不变。 | 在观察分析过程中进行第一次语言渗透。
通过问题情境与运算规则的矛盾冲突 ，引发学生的猜想。
在指导学生表述自己的猜想时进行第二次语言的渗透。 | ||
举例验证： 1.是不是所有的连减运算，都能够用一个数连续减去两个数或者用这个数减去这两个数的和，而结果不变呢？我们需要进行验证。比一比，谁举的类型全？
2.组织交流：我们是在怎样的数的范围里进行举例验证的？类似的例子还有很多，有没有反例存在？
3.小结：通过我们大家的努力，我们对不同位数、整十、整百数、减数为1或0的特殊情况、还有能凑整的和不能凑整的各种类型都举了大量的例子，而且都没有发现反例。 |
学生自主展开验证过程。
过程中如果学生对算式的特征还不清晰或者举的都是能凑整的单一的例子，及时指导。
小组交流：互相说说分别举了哪些类型的例子？有没有反例存在？
| 通过验证，进一步清晰减法性质的结构特点，明确规范严谨的研究过程，对从特殊发现一般的数学方法有更深的体悟。
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概括结论： 1.现在你能把我们研究得出的结论表达出来了呢？
2.交流比较，修改完善。
3.揭示课题：减法的性质 | 学生独立用文字写一写，并用字母表示，完成后相互说一说。 预设： ①连减算式中，不改变位置，改变运算顺序，结果不变； ②一个数减一个减数再减一个减数等于这个数把后两个数的和一起减去； ③连减运算中用一个数连续减去两个数或者用这个数连续减去这两个数的和，差不变。 | 帮助学生从直译、抽象表达等问题出发，感受数学结论的严谨和清晰。
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灵活 运用 | 1.这里有一些同学例举中得到的等式，哪些等式运用了减法的性质使计算简便了呢?请同学们分分类。 ①452－（52+189）=452-52-189 ②54－7－3=54－（7＋3） ③158－58－63=158－（58＋63） ④45－18－16=45－（18＋16） ⑤350－80－20=350－（80＋20） ⑥154-（26＋14）=154－26－14 2.怎样很快算出还剩多少元？ 原有189795512450用去45954834用去2548052150还剩3.如果以算式的形式出现，你能完整地写出简便计算过程吗？ 189-45-25 795-（95+480） 512-48-52 450-34-150 | 判断哪些运用规律使计算简便了？独立分一分类，再交流。
快速反应，同桌互说。
独立计算，相互交流，怎样使计算简便？运用了什么运算律？ | 通过分类判断，进一步清晰规律简便运用的前提。
增强学生对规律的特点把握，对规律使用的前提条件增强敏感度。 | ||
拓展 延伸 | 学习了减法的性质，你又有什么大胆的猜想？ | 纵向：更多数连减 横向：除法运算中能否改变运算顺序 范围：小数、分数 | 引导学生对基本研究进行拓展和变式的思考。 | ||
反思 重建 | |||||
课例：《乘法分配律》
执教者 | 孙网福 | 班 级 | 四（5）班 | 学 科 | 数 学 | |||
课 题 | 乘法分配律 | 教 时 | 1 | 日 期 | 2012.3.15 | |||
一、教学目标： 1、知道乘法分配律的产生范围、具体内容和字母表达式。 2、进一步建立、形成研究意识，学会按照步骤独立开展研究活动。 3、知道可以通过类比进行合理猜想，并能自觉对所获得的结论进行拓展性研究。 二、制定依据： 1、内容分析 乘法分配律的学习教材是通过生活中购买衣服的具体情境引入的，对于学生的学习而言，这样引入会使学生形成对乘法分配律特点的单一的关注，忽略了沟通学生之前学习的运算定律及运算律系统研究的发展过程，学生在以后的综合运用中就会缺少前提的判断。为了改善这一现象，避免在以后的运用中出现思维的混乱，我们尝试从学生已经研究的范围（同级运算）出发，交代乘法分配律在整个运算律系统的确定范围（前提），让学生思考如果在3个数的运算中既有加又有乘，可能出现几种情况？在这些可能中，哪些改变运算顺序后，结果仍旧保持不变？在分析和沟通中发现运算律的存在，激发他们主动研究的兴趣，逐步培养起学生发现问题的能力，提高学生的研究意识，同时建立清晰的运算律知识系统，形成结构意识和结构化的思维方式。 2、学生实际 知识基础：乘法分配律对于学生而言，并不是完全陌生的。在二年级学生乘法口诀时，学生就能运用拆分的方法寻找乘法口诀的结果；三年级在学习乘数是一位数的乘法时，也能把一个三位数拆成整百、整十和一位数进行计算；两位数、三位数乘两位数的竖式计算中都是乘法分配律的思想；实际运用中也有分开算和合起来算总数的经历……这里的“拆分”就是对乘法分配律的一种渗透。 能力基础：学生已经学习了加法、乘法的交换律和结合律，减法、除法的性质。不仅掌握了这些运算定律、性质的内容，而且能灵活运用这些运算定律进行巧算和解决一些实际问题，运用中学生能够体会到运算律的运用价值；更重要的是，学生具备了初步的研究意识和能力。在上学期的教学过程中，我发现全班大多数同学知道完整的研究步骤，知道用举例的方法验证猜想，知道举例验证时除了考虑一般情况外，还要考虑特殊情况，知道要思考有没有反例，知道如何正确用字母形式表示所获得的结论……（前期的铺垫中还需要进一步对以上内容进行统计，分析班级学生的能力整体情况） 能力障碍： 乘法分配律相对于交换律、结合律，它的变化更复杂多样，学生对于混合运算所表示的算式意义理解能力较弱，这会严重影响学生对乘法分配律特点的把握，学生较难发现算式前后发生的复杂变化，导致学生用文字来表达乘法分配律的内容时有障碍。 因此我们要继续深化前一阶段对归纳探究课型的研究，在帮助学生掌握乘法分配律内容的同时，培养学生的研究意识和能力。 | ||||||||
教学过程 | ||||||||
常规 积累 | 下面各题怎样算简便？ 38＋145+62+55 32×125×25 512—77—23 1200÷25÷4 364+89-64 125÷25×8 | 各3题，同桌互查交流 回顾以前学习的运算定律 （突出同级运算中存在运算律） |
回顾已有，为进一步学习做准备。 | |||||
发现并形成猜想 | 揭示研究内容： 在同级运算符号参与的运算中存在运算定律，那么，有不同级运算符号参与的运算中是否也存在运算定律呢？ 这节课我们就来研究这样的情况。 问题：如果是两种不同级的运算符号混合形成算式，会有哪几种情况呢？
今天先研究其中一种：加、乘。 想一想，有两种运算符号的算式至少需要几个数参与运算？
“放”： 在100、4、25这三个数中添上＋、×，也可以使用（ ）。 看看可以组成哪些意义不同的两级运算的式子，能不能把所有的情况都写出来？写好后说说运算顺序是怎样的。 （为了便于研究）注意：三个数的位置不变。
“收”： 呈现（2）（3）
100+4×25 100×4+25 可以改变它们的运算顺序计算吗？ 有括号的呢？
104×25表示104个25相加的和，根据乘法的意义想想125个4还能怎样计算？
根据我们前面学习的经验，运算规律中的数会不会变化。所以这么多算式哪一个能帮助我们研究规律。 板书：100×4＋25×4的计算过程
既然这里的结果相等，我们就可以用等号连接。 仔细观察等号左右的两边， 有什么相同？又有什么不同？
追问：运算顺序分别是怎样的？
小结特点：左边一种先求和再求积，右边一种先求积再求和，虽然运算顺序改变，但因为它们都算的是104个25的积，结果不变。 形成猜想： 从刚才的发现中，你能形成什么猜 想？ |
＋ — ×÷ 有序说出4种组合情况
学生独立思考并记录 学生可能： （1）改变数的位置(少数） （2）无序、有遗漏 （3）有序、全面 100+4×25 100×4+25 （100+4）×25 100×(4+25)
交流怎样有序、不遗漏地写全
独立计算 思考中发现 交流 （1）100+4×25 100×4+25 不能改变它们的运算顺序计算，否则结果会改变。 （2）收（100+4）×25， 想一想，说一说 指名交流，可能： 100个4加25个4 99个4加26个4....
同桌交流 同：数字相同、 结果相同 不同：3个数字——4个数字运算顺序不同：左边先求和再求积，右边先求积再求和， 意义不同但有联系： 左边表示两个数的和乘一个数，右边表示两个数分别去乘那一个数。 是不是只有这三个数有这样的规律？ | 沟通同级运算中的运算定律与两级运算中的运算定律之间的联系与区别，促使他们更主动地进行思考，进一步建立起结构意识和结构化的思维方式。
开放性的问题渗透了有序思维的培养；由教师统一规定三个数，只是为了便于后续交流讨论的集中性。
通过一个开放性问题，引导学生主动猜想，形成基础性资源。
渗透发现改变运算顺序后，结果不变的算理。初步感受简便。
感受乘法分配律的特点。
引导学生从一个特殊、偶然的问题出发，去归纳探究于其中的一般又是必然的规律。 | |||||
验证猜想和归纳概括结论
| “放”： 是不是所有的乘、加这样组合的算式都有这样的规律？如果换3个数，这个规律还成立吗？ 难道这仅仅是一个偶然现象吗?
要能说明我们的猜想是不是成立，接下来应该怎么办？
举例验证要注意什么呢？互相提醒
带着互相的提醒，试试看 过程中可以使用计算器来计算。 如果猜想确实成立，想一想如何下结论。
过程中指导：不符合特点的错误过程中呈现，辨析。 “收” 1、收集一些典型的例子呈现出来。
强化学生寻找反例的意识。问：举了这么多例子，还可以举很多，有没有反例存在？ 2、如何进行归纳概括。 呈现表述不清或没有结论或条件不完整的 3、揭题：乘法分配律。 |
举例验证
数量多、类型全、符合要求
可能错误： 数的位置可能会变 可能漏加括号 分别乘可能会遗漏一组 分开乘时相同的数会出错。
有能巧算的， 如125×8+125×3 指出左、右边哪一边计算容易 有特殊数0、1的 有一般情况的
尝试用字母表示 评价、分析、补充 |
让学生独立举例验证猜想正确与否，而验证的过程，也是学生逐步明晰规律变化特点的过程。
既要有可巧算的特殊事例，又要有一般事例，所选取的数范围也较广，尤其要关注那些失败的事例。
鼓励学生尝试用自己的语言进行表述。 | |||||
灵活运用乘法分配律 | 1、下面几题都运用了乘法分配律。如果你来计算，更欣赏哪几题的做法？为什么？ 43×102 =43×100+43×2 69×8+31×8 =（69+31）×8 23×（45+36）=23×45+23×46 25×8+25×6 =25×（ 8 + 6） 2、看看下面几题是用了乘法分配律简便，还是不用乘法分配律简便？ |
说明想法
61×（20+7） 指名说 129×9＋71×9 说理由 54×（23+27）49×201互说 | 感受运用乘法分配律使计算简便的前提，渗透灵活计算。 | |||||
拓展 延伸 | 今天我们研究的是乘法对加法的分配律，想一想，还可以研究哪些类似的情况？ 根据这样的研究过程、研究方法，今天回家选一种情况进行研究，明天交流。 |
乘法和减法、 除法和加法、 除法和减法 | 引导学生对已获得的基本结论作纵向延伸性研究。这样，既可以增强学生的结构意识，又为学生自主开展研究提供了内容和载体。 | |||||
实践后的思考：
本单元的新知识在以前的数学学习中都有相应的认知基础，反过来，学了本单元的新知识又可以促进学生更深入认识原来学过的知识和方法。我们在教学时，充分利用了主题图的故事性，逐步形成连贯的情境、后续的问题，使本单元的教学形成一个连贯的整体。
1.在情境中初步感知规律
数学源于生活，生活处处有数学，用学生身边事情引入新知，很好地调动学生的学习积极性，在学生交流中提取有用的信息，为下面的探究呈现素材。
2.在例举中验证规律
我们充分让学生自主活动，探究规律发现的过程。一方面组织学生写出类似的等式，帮助了学生积累感性材料，另一方面丰富了学生的表象，进一步感知了各种运算律。学生在充分感知个性创造的基础上，构建了简单的数学模型，从用符号表示规律和用含有字母的式子表示规律，使学生体会到符号的简洁性，从而发展了学生的符号感。
所有探索过程以“加法交换律”为雏形，唯一不同的是由于学生已有了探索前面例子的经验，在后续的教学中我们完全放手，稍加点拨便于引导学生完成探索过程。抓住加法交换律和加法结合律以及乘法交换律和乘法结合律的内在联系，利用学生已有知识经验，把加法交换律的学习，迁移类推到加法结合律、乘法交换律及乘法结合律的学习中来。学生在教师的点拨和引导下，逐步经历观察——感知——理解的过程，充分符合学生的认知规律。这里主要通过学生讨论、交流、汇报等环节，给学生一个自主的空间。由于“运算律”属于理性的总结和概括，比较抽象，学生并不容易理解和掌握，因此多引导学生独立发现，思考、解答，有利于学生概括出相应的运算律。
几个运算律都是从学生熟悉的实际问题的解答引入，让学生通过观察、比较和分析，找到实际问题不同解法之间的共同特点，初步感受运算规律。然后让学生根据对运算律的初步感知举出更多的例子，进一步分析、比较，发现规律，并先后用符号和字母表示出发现的规律，抽象、概括出运算律。
本单元的教学，应该说学生经历了探索、发现、反思的过程，对加法交换律和加法结合律以及乘法交换律和乘法结合律有了充分的认识和自己的理解。
关于几种运算律的特点，虽然在教学中让学生进行了观察和描述，但并未将两者放在一起对比，致使一部分学生在运用时出现模糊现象。在学完运算律后，应给学生一定的时间比较运算律的区别，加深学生的理性认识，促进学生思维灵活性的发展。
形概念教学的专题研究总结报告
整理人：吴春燕
小学阶段的形概念教学主要分四个阶段：
（1）直观认识阶段；（2）要素认识阶段；（3）类型认识阶段；（4）特征认识阶段。
一、形概念教学的问题存在
演绎概念的一般教学模式（概念揭示在前，巩固辨析在后。吴老师称之为“亡羊补牢“式）
从一个具体事例中引出概念 辨析记忆概念 运用概念解题
（问题：概念认识单一，认识过程不够清晰。）
案例1：角与直角的认识（形式抽象≠过程抽象）
1、从生活中的建筑物上抽象出角，呈现概念。（教师抽象，媒体抽象）
2、辨析各种图形，哪些是角，哪些不是角。
3、折角的过程中介绍特殊的直角。
问题：（1）生活中的角与数学中的角混淆。（2）课件演示替代学生经历抽象的过程。
案例2：物体的认识
1、对各种物体进行分类，出现为分类而分类的现象，不注意对本质特征进行提炼就直接命名。
2、辨析概念，记忆名称。
3、例举生活中的长方体、正方体、圆柱体等，
问题：（1）关注活动，不关注语言表达。（2）关注结果，不关注过程经历。
案例3：三角形的认识
1、用彩色小棒搭你喜欢的三角形。
2、对各种各样的三角形形进行分类。
3、说明等腰三角形、等边三角形的对称性。
问题：（1）定位不清晰（类型认识和特征认识合在一起）。
（2）只关注结果，不注意研究方法的教学。
存在的主要问题：
1、概念形成过程体现不够，学生对形成过程缺乏参与体验。
2、概念呈现比较狭窄单一，学生对概念内涵缺乏丰富认识。
3、教师替代学生表述概念，学生对概念表述缺乏实践机会。（只是在机械模仿和记忆）
4、概念认识定位不够清晰，学生对图形发展缺乏阶段认识。
教师对概念教学过程中的育人资源开发不够。
二、形概念知识的结构分析
（一）空间图形（一级框架）
1、图形认识与论证：图形认识 一个图形特征研究（小学阶段的特征研究主要是直观认识，实验操作验证，会计算，全画图；中学阶段的特征研究重点在逻辑证明） 两个图形关系研究。
2、图形测量与计算：线的测量与计算 面的测量与计算 体的测量与计算。
3、图形位置与变换：图形位置 图形变换。
（二）图形认识的框架（二级框架）
1、直观认识：物体或图形的外部认识。
2、要素认识：角和直角，三角形和四边形的认识（边角），物体的顶点、棱和面。
3、类型认识：图形按边角分类，物体的柱体、锥体。
4、特征认识：等腰三角形与等边三角形的认识（边角数量关系），长方形与正方形的认识（边角数量关系），平行四边形、梯形的认识（边角数量关系，边位置关系）
认识过程：从外部互内部，从要素到类型，从一般到特殊。
三、形概念教学的育人价值：
藉助于概念教学过程，可以使学生经历材料感知——辨析比较——归纳提炼——抽象命名概念的建构过程，在这个过程中：
1、可以帮助学生形成对概念内涵的丰富认识。
2、可以帮助学生提升比较和分类，概括和抽象的能力。
3、可以帮助学生提升准确简炼和严密的数学语言表达水平。
四、形概念学生学习困难分析：
1、难以理解抽象的概念语义，常会出现概念不清晰或者混乱的现象。需要在过程中进行辨析。（规范语言的及时提炼）
2、学生面对大量材料很难提取本质特点进行分类或聚类分析。需要帮助学生透过现象看本质。
3、学生很难用正确语言表述。引导学生体会、比较。
五、形概念教学的一般原则：（详见《小学数学教学新视野》P156）
六、概念形成教学结构：（详见《小学数学教学新视野》P156结构流程图）
1、分类分析的案例：《轴对称图形》（分类分析的前提是同时提供大量的材料，相当于并联呈现）
常规积累：呈现大量图片，设疑（这些是属于什么类型的对称图形，学了今天的知识你就能解释它们为什么这样漂亮）
第一部分：对称、对称轴、轴对称图形的概念。
（1）提供材料（对称与不对称，材料要丰富，不在多而在全），学生对材料对折后分类（分完自觉说说为会么这样分，语言动作的连贯）。
(2)学生表达图形对折后的感受和体验(“两边一样”、“相同”、“没有多余”、“正正好好”，完全重合的内涵)
（3）辨析（折与对折；两边一样与重合后一样；部分重合与完全重合）
（4）对称图形的命名，对称轴的命名与画法（强调直线，点划线），轴对称图形的命名。
第二部分：找对称轴（语言表达融在过程中）。
（1）折——直观找对称轴（动手操作折出对称轴）
（2）画——观察找对称轴（直观判断对称轴的位置）
（3）想——想象对称轴（感受不同位置的对称轴）
总结：再次呈现大量图片，学生想象对称轴的位置，解疑。
2、聚类分析的案例：《圆的认识》（相当于串联呈现材料）
常规积累：生活中物体的圆形的面，沿物体表面描圆。
第一环节：大量输入基础上的抽象本质。
（1）介绍圆规画圆：定点，定长，旋转圆规（或旋转纸张）
（2）介绍操场上画圆的工具：定点，定长，手推车旋转。（播放体育老师画圆录像）
（3）演示绳系红球空中画圆：定点，定长，红球旋转。
（4）聚类分析提炼抽象本质属性，命名圆心，半径。
第二环节：理解原理基础上的举一反三。
学生动手实践创造画圆的工具（图钉、绳子、铅笔旋转）
第三环节：大量观察基础上的发现规律。
（1）每个学生画两个圆：等圆，大小圆，同心圆……
（2）发现：圆心决定位置，半径决定大小。
七、形概念教学的具体建议：
（一）直观认识的案例：《认图形》。
1、要注意引导学生经历从生活中的物体形状提炼出其本质属性的抽象过程。
2、要注意与学生形成语言上的互动。既要注意引导学生用自己的语言来表述种类物体的特点，还要注意在学生语言表达的基础上进行概括提炼和抽象命名。
3、要注意在活动过程中适时地提炼学生模仿和练习语言的机会。
（1）“看一看、说一说”的活动：左边学生说物体特点，右边学生对应说特体的名称，再交换说。
（2）“摸一摸、猜一猜”的游戏：左边学生边摸边说特体特点，右边学生根据特点猜摸索的是什么物体，再交换。
（练习时名称不需要让学生多说，关键在于描述物体的特点）
（二）要素认识的案例：《角与直角的认识》。
第一部分：上位概念角的认识。
1、提供各种平面图形中的一个部分，学生对材料进行分类（相当于把后面的习题提前）
2、捕捉学生半成品资源：曲边与直边，连接与不连接。
（学生经历一级分类过程：凸显材料中直边的顶点的特征。）
3、学生经历二级分类的过程，提炼抽取本质特征并命名。
4、找生活中平面图形中的角：什么物体哪个面哪两条直边所夹的部分是角，同桌合作找）
第二部分：下位概念直角的认识。
1、对各种类型的角继续进行分类。
2、介绍三角尺上的直角，用纸折出一个直角。
3、找生活中平面图形中的直角并进行验证。
（三）图形特征认识的教学策略——长程两段式的教学策略
1、等腰三角形与等边三角形特征认识——教结构。
从图形边、角的数量关系进行研究。
从图形的对称性研究。
2、长方形与正方形的特征认识——用结构。
3、平行四边形的特征认识——用结构 和 教结构
图形边、角的数量关系 边位置关系
4、梯形的特征认识——用结构。
教学过程：
发现猜想 —— 实验验证 —— 概括结论
边、角，对称性 度量法，重叠法
[案例：长方形与正方形的认识]
教学建议：（1）注意凸显图形认识的基本方法和研究角度。
（2）注意凸显各个图形间的区别和联系。
第一环节：长方形认识的教学结构。
1、引导学生回忆图形认识的一般方法，即从边和角的角度出发去研究和发现图形不同于其他的特殊性。
2、学生从边和角的角度研究长方形的特点，形成猜想。
3、学生运用重叠法、测量法对猜想进行验证。（不完全归纳的过程）
4、小结：（1）长方形与一般四边形的区别与联系。
（2）长方形认识和研究的角度。
（3）验证猜想的多种方法。
第二环节：正方形认识的运用结构。
总结拓展：（1）长方形、正方形与一般四边形的区别与联系。
（2）反思学习过程，提炼图形认识与研究的方法结构。
（3）运用图形认识的一般方法和角度还可以研究哪些图形？（如平行四边形和梯形等）。
课例：《轴对称图形》
学校 | 常州市新北区薛家中心小学 | 学科 | 数学 | 班级 | 三（3） | 人 数 | 51 | ||||||||
课题 | 轴对称图形 | 教时 | 1 | 执教 | 钱敏 | 日期 | 2012.12.6 | ||||||||
教学目标： 1．初步认识轴对称图形，体会轴对称图形的基本特征，掌握轴对称图形的概念。 2．能准确判断一个平面图形是不是轴对称图形，并找出轴对称图形的对称轴。 3．感受生活中的对称美现象，领略轴对称图形的美妙和神奇。 4．经历和体验“材料感知—分类分析—归纳提炼—抽象命名”概念建构的过程，逐步提升学生比较和分类、概括和抽象及数学语言的表达能力。 制定依据： ★ 内容分析 “轴对称图形”属于概念类课型。不同版本的小学数学教材，把“轴对称图形”的学习被安排在不同的年级，但却都演绎了“观察发现→抽象概括→丰富体验”这一学习模式。先通过对类似于“天安门、飞机、奖杯”等对称物体的观察，以及寻找具有对称特征的物体，唤起学生对“对称”的感性体验，帮助学生明确生活中的对称现象。接着把上面的物体抽象为平面图形，引导学生通过对折发现这些图形“对折后能完全重合”，从而描述轴对称图形的概念——对折后完全重合的图形，初步感受轴对称图形的基本特征。然后运用概念判断学过的平面图形中哪些是轴对称图形，将学生零散的经验在活动中进一步清晰，丰富对轴对称图形的认识。最后通过“创造”、“找”轴对称图形，让学生进一步掌握轴对称图形的特征。通过“搜集”、“阅读和欣赏”等活动，让学生体验“对称”的科学和美学价值。 通过分析研究，我们认为如何借助已有的经验，把握概念的本质内涵，帮助学生将模糊、浅显、直观直觉提升为对轴对称图形概念的清晰认识，是本节课首要学习目标。为此我们采用“材料感知——寻找相同中的不同（分类分析）——归纳提炼——抽象命名”的教学结构，从提供大量的感性材料的基础上，让学生经历概念的形成过程。同时在过程中通过教师有目的地引导与提炼，形成对“轴对称图形”这一概念中三个关键词“对折”“完全重合”“对称轴”的理解支撑，最后形成了学生对“轴对称图形”、“对称轴”概念的内化。在课的第二环节，通过对辨析比较从而深入感知的概念，为此我们设计了让学生通过对“对称轴”找、画、想的活动递进，让学生的思维逐步从具体形象向抽象推进。最后再次引导学生回到生活，用所学知识理解生活中的美。
★ 学生实际 “对称现象”广泛地存在于日常生活中，人类创建的文明史中，例如，许多艺术作品、建筑设计中都体现了对称的风格。所以，学生对于“对称现象”并不很陌生，再加上学生的学前教育，从幼儿开始，就有机会进行折纸、剪纸等活动，有时也用“对称”来描述一些现象。尽管如此，学生对“轴对称图形”的认识依然比较模糊，还有一些偏差。首先，学生认为“两边一样”的图形，就是轴对称图形，把“对称”与“完全相同”混为一谈；其次，什么是物体的对称，什么是平面图形的对称不加区分，认为是一回事；同时，由于学生之间家庭环境、生活背景的不同，所积累的对于“折”“对折”“重合”“部分重合”“完全重合”“完全相同”等关键词的理解存在差异甚至偏差。 | |||||||||||||||
教 学 过 程 | |||||||||||||||
教学 环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | ||||||||||||
丰富感性材料（3’） | 谈话：今天老师带来了一些图片。 课件呈现图片资料：人民大会堂、故宫、巴黎埃菲尔铁塔、伦敦塔桥、印度泰姬陵、东方明珠塔、京剧脸谱、民间剪纸艺术…… 提问：看了以后，有什么感觉？图片上的这些建筑、艺术品有什么共同的特点？
| 在音乐声及教师的解说中欣赏图片。 谈自己看过以后的感受。 |
感受 “对称” 给生活带来的美！ | ||||||||||||
分类、比较 形成、概念 （12分钟） | 谈话：今天老师还带来了一些平面图形。
提问：你会把这些平面图形对折吗？ 要求：老师为每一位同学准备了这些平面图形，请大家先把这些平面图形对折，然后再把它们分分类。
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学生边操作边思考，预设：根据图形是否能在对折后重合进行分类 |
“对折”和“完全重合”是“轴对称图形”概念中的关键词。学习活动的推进从“对折”入手，使学生的操作活动有了清晰的方向。学生在对折的过程中感知学习材料的特点，并将材料对折后进行分类分析，在寻找不同中归纳提炼出“对折后完全重合”，直接指向“轴对称图形”的本质特点。
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学生活动时捕捉并呈现“分类”的资源。
组织交流：让学生介绍对折后发现什么？按什么标准将图形分成了哪几类？ 与学生互动交流中重点解决： （1）明确“折”与“对折”； （2）明确“两边一样”与“重合后一样”；（3）明确“部分重合”与“完全重合”。
| 资源预设： （1）一类是对折后重合的，另一类是对折后不重合的。 （2）一类是对折后的两边一模一样，另一类是对折后两边不一样。 （3）一类是对称的，另一类是不对称的。 | ||||||||||||||
揭示概念：我们把这些平面图形叫做“对称图形”。这些对称图形特殊在哪里呢—我们发现两边对折以后都能找到这条“折痕”。 示范：我们可以用“点划线”来表示这条折痕，这条直线就叫“对称轴”。凡事能找到“对称轴”的平面图形我们就叫它为“轴对称图形” |
同桌描述：什么是“对称轴”“什么是轴对称图形” | ||||||||||||||
观察 操作 深入 感知 （15分钟） | 谈话：我们认识了轴对称图形，那么怎么来判断呢？关键是要找到对称轴！下面我们就一起来找一找我们认识的一些平面图形中的对称轴。
要求：动手折一折，想一想是不是轴对称图形是不是只有一条对称轴，会不会有两条或更多的对称轴呢？
呈现学生画出的不同的对称轴，质疑。
| 学生可能：对折，看看两边是否完全重合；找出对称轴。 学生先观察判断，再操作判断。 预设： （1）把平行四边形看成了“轴对称图形”； （2）三角形是不是轴对称图形产生争议。 （3）圆有许多条对称轴。 （4）正方形和正五边形的对称轴没有找全。 明确：有的特殊三角形与特殊的梯形是轴对称图形。 感悟：有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条。 | 本环节分三个层次，在判断的过程中，力求体现思维的递进性，从第一层次的先看再折，到第二层次的直接画对称轴，到第三层次找更为复杂图形的对称轴，不仅让学生不断感受“对称轴”位置的丰富性，同时让学生的思维逐步从具体形象向抽象推进。 | ||||||||||||
思考想象 拓展认识 （8分钟） |
提出要求：现在不能用折的方法来找对称轴，你能通过找两个点来帮助我们画出它们的对称轴呢？
| 学生直觉判断，画出对称轴。图1感受连接顶点与底边中点画对称轴的方法；图2不仅感受画的方法，重点在于怎样怎样依次画出所有的对称轴。 |
每一层次重视材料准备的丰富性与多样性。 组织交流不面面俱到，而是找准学生的疑难问题重点突破。 | ||||||||||||
提供一些生活中常见的图形：
提出要求：想象对折的过程，用手划出他们的对称轴。 | 学生观察想象后用划出对称轴。 预设：个别图形的对称轴条数与位置有争议。 | ||||||||||||||
开放的延伸 （5分） | 请同学们到生活中去找一找轴对称图形。 | 学生观察寻找生活中的轴对称图形。 预设：直接说某物体是轴对称图形。 学生体悟：“对称”物体，只是某一个面是“轴对称图形”。 | 让学生感受到，轴对称图形是一个平面图形，与生活中的“对称”现象是两个不同的概念。 | ||||||||||||
小结：对称是一种美，它给人平衡、匀称、圆满的感觉。人们真是利用了对称美，创造了这些奇迹。 你能想办法也创造出美丽的轴对称图形吗？ | |||||||||||||||
课例：《圆的初步认识》
学校 | 常州市新北区 薛家中心小学 | 学科 | 数学 | 班级 | 五（4） | 人数 | 47 | |||
课题 | 圆的初步认识 | 教时 | 1课时 | 执教 | 包惠萍 | 日期 | 2012-12-6 | |||
※ 教学目标： 1．使学生从本质特征上认识圆，掌握圆的特征；了解圆的各部分名称。 2．会用字母表示圆心、半径、直径；理解并掌握在同圆（或等圆）中直径与半径的关系。 3．能正确熟练地掌握用圆规画圆的操作步骤。 4．培养学生动手操作、主动探究、自主发现、交流合作的能力。 ※ 制定依据： ★ 内容分析： 圆是指平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹。教材对圆的认识分为两步来完成，第一步是低中年段在学生初步认识平面图形时就给学生圆的初步形象，随后在平面图形的单元中不断地巩固；第二步是在五年级下册对圆进行较为系统的认识。使学生对圆的各部分名称、圆的周长和面积进行深入地学习。 本段教材在对学生认识圆的过程处理上主要是认知、操作为主。圆各部分的名称和作用是直接给予学生，没有提供给学生一个充分认识、感悟圆本质的机会。使得学生不能对构成圆的本质进行了解。 基于对教材的理解，我觉得为了让学生能充分地认识圆的本质特征。应让学生经历聚类分析的过程。只有这样，才能使学生对圆的本质即定点、定长和旋转有深刻地体会。所以，在本课中我让学生通过在不同背景下画圆，对圆的本质不断地进行聚类的过程。并在此过程中不断给予学生说的机会，加深对圆本质的认知。并且，通过自主创造画圆工具的过程再次对圆的本质进行巩固。随后，通过画圆活动帮助学生丰富对圆的认识及圆各部分之间的关系与作用。 ※ ★学生实际： 学生在学习本课之前，对平面几何图形中点、线、面以及轴对称图形等基本概念已经有了初步的认识。加之“圆”这一图形在生活中应用较多，比较常见。所以，学生对“圆”有一定的感性认识，能根据实物判断是否是圆。但他们没有经历过从数学的角度认识圆。特别是认识圆这一图形的本质特征。学生在学习“圆”之前，已经对一些常见的平面图形有过较为深刻的认识，在学习的过程中也积累了一些方法，如：“折、量、画、数、比（估）、看、议”等。这些方法可以为本节课的学习打下一定的基础。 | ||||||||||
教 学 过 程 | ||||||||||
教学 环节 | 教 师 活 动 | 学 生 活 动 | 设 计 意 图 | |||||||
常 规 积 累 | 1．回忆一下，我们学习过了哪些平面图形？同桌相互说一说。 2．大家课前都找了表面有圆形的物体，能把这圆画在白纸上吗？ 一边画一边思考，圆与已经学过的三角形、四边形等平面图形有什么区别？ 交流后指出：圆是平面上的曲线图形。象三角形等都是直线图形。 3．今天，我们一起研究平面上的曲线图形——圆。（板书） | 对以前学习过的平面图形的知识进行复习与巩固并和同桌相互交流。
学生沿着生活实物上的圆进行描边。
学生把已学过得平面图形与圆的区别。 | 通过回忆以前的图形知识为本节课的认知巩固基础。
对圆的形状进行更为深刻的认识。 | |||||||
圆
的
原
理
认
识 | 一、不同情境中画圆的输入 1．在数学中有专门画圆的工具——圆规。 老师用圆规在黑板上画一个圆。观察我是怎样画的。 老师示范用圆规画圆。（先确定一个点，再拉开一定的距离，接着旋转一周） 2．你们能用圆规在纸上画一个圆吗？ 资源： 学生旋转纸来画圆。 收：① 让学生展示自己不同的画圆方法。并说一说自己的画法。 ② 请比较一下，在黑板上画圆和在纸上画圆有哪些相同和不同的地方？ 追问：为什么在黑板上画圆的时候只可以旋转圆规，在纸上画圆不仅可以旋转圆规，还可以旋转纸呢？指出：这是因为画圆的背景不同，黑板上画圆的时候，黑板是固定的不能旋转，所以，只能旋转圆规；纸上画圆，纸可以旋转，圆规也可以旋转。所以，只要旋转其中的一个就可以了。 3．刚刚是用圆规在黑板和纸上画圆。如果我想在操场上画圆，你觉得可以怎么画？ 大家可以想一想，同桌之间相互交流一下。 资源：用大圆规等。 让我们来看看体育老师是怎么画的。你可以边看录像，边思考老师是如何画圆的。 4．拿出系绳的小球，老师将用它来创作一个圆。你能想到我是怎么做的吗？（师甩动） 二、聚类分析，提炼特征 1．提问：从黑板上的画圆到纸上的画圆，到操场上的画圆，再到空中的画圆，在不同的情境里画圆，你们有没有发现相同的地方？ 请同桌交流一下各自的想法。 2．指出：虽然画圆的情境不同但都是先固定一个点，展开一定的距离，然后进行旋转。把固定的点叫做圆心。通常用字母O表示。拉开的距离，怎么表示呢？ 展示：圆心出发到圆上。 这段从圆心到圆上的距离叫半径。通常用字母r表示。 三、反思不同情境中的关联性 1．了解了圆心、半径，那你能在刚刚画圆的情境中指出圆心和半径吗？ 学生相互说一说。重点交流操场画圆和空中画圆。 2．能在自己画的圆上表示圆心和半径吗？ 过程中打开：可以画几条？ 指出：半径有无数条。同一圆中半径都相等。 3．通过对比呈现让学生体会得到这个结论的前提是需要在同一圆中。 |
学生看教师是如何画圆的，并思考老师画圆的过程。
学生尝试画圆。
看同学展示的画法并思考老师提出的问题。
学生对画圆的步骤及不同背景下画圆的情况有所了解。
听老师的归纳，从而对问题有更为清晰的认识。 思考教师提出的问题，并和同桌相互交流想法。
看录像并试着把录像中教师画圆的过程表达出来。 学生进行交流。
看老师甩球，发现圆的存在。
相互表述教师是怎样创造出这个圆的。
对教师提出的问题进行思考。
通过和同学的辨析交流认识圆的各个部分。
画半径，通过观察交流了解半径相关的知识。 | 通过学生尝试性的表述使其对画圆的三个要素有一次认识。
通过学生自己画圆，让他们对圆的特征有进一步的认识。
让学生通过观察黑板上画圆和本子上画圆明晰画圆必须要旋转。
通过让学生想象在操场上画圆，拓宽了学生对画圆的认识范围，也对画圆的三步要素有了更为清晰的认识。 利用甩球让学生对圆的认识进一步加深。特别是对定点和旋转的深刻认识。
在学生充分体验和感悟的基础上对圆各部分有本质的认识。 通过让学生画圆的半径和对比呈现不同圆的半径使学生体会同一个圆的重要性，对数学表达的严谨性有进一步认识。 | |||||||
创造 画圆 工具 体验 圆的 原理 | 放：我们了解画圆要有圆心、半径和旋转。 请大家利用提供的材料创造一个画圆的工具，并用它画一个圆。 收：展示设计的工具，你是怎样用你设计的工具画圆的？ 指出：线要绷紧；简单的方法。 思考：你能找到画圆过程中的圆心、半径吗？请同桌互说。 |
学生利用教师提供的工具进行画圆工具的创造。
通过观看同学的展示对画圆的三点进行巩固认识。
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学生通过对画圆工具的自主设计和操作对圆的三要素有更为深刻的认识。 | |||||||
大 量 观 察
发 现 规 律 | 一、认识两个圆形成的多种情况 放：请你用圆规在纸上画两个圆。 过称中指导：老师发现有的同学画得吃力，请哪位同学来介绍一下。（注意：重心、用力点） 你还能再画两个和刚刚不同情况的圆吗？ 过程中打开：还有其它的情况吗？ 收：资源：相等的圆； 大小不同的圆； 同心圆和位置不同的圆。 二、发现圆心和半径的作用 思考：观察黑板上两个圆不同的情况你有什么发现？同桌交流一下。 交流：① 大小不同，位置不一样。 思考：那圆的位置与什么有关？大小又与什么有关呢？ 指出：圆心决定圆的位置， 半径决定圆的大小。（板书） 看来圆心、半径对圆来说是十分重要的。老师给每位同学准备了一个圆片，你能找出它的圆心、半径吗？找到后交流找的方法。 三．发现直径 很多同学用两次对折的方法找到了圆心、半径，还得到了几条折痕。（描出）观察这条折痕，你有什么发现？同桌相互说一说。 画图，对比突出三点一直线。 能在圆上再画出一条直径吗？ 打开：可以画多少条？ 同一圆中有无数条直径，都相等。对比呈现体会同一圆中 4、拓展延伸 今天我们了解了圆的各部分特征，接下来可以研究圆的……。 | 学生在本子上画圆。对教师出示的资源进行观察。
学生思考教师提出的问题并与同桌交流自己的想法。
对圆的各部分的作用进行讨论。
学生对图中的线段进行判断，并相互说一说理由。
了解圆中半径的作用。
学生尝试在圆片上找圆心和半径，并通过折痕体会与轴对称图形的关系。
了解圆中直径的特征及其与半径之间的关系。
对本节课学习的圆的知识进行延伸 | 通过展示学生的不同画法，帮助学生拓展对圆的位置、大小认识。
学生通过对出示的很多的圆的观察，理解圆心和半径对圆的位置和大小的影响。
通过判断的练习让学生对圆的半径的特征进行了解。
通过画最长线段这样一个活动，让学生体会圆中直径的特征。
让学生对圆的整体学习有一个认识。 | |||||||
直观认识图形课例：《认图形》
学校：常州市新北区薛家中心小学 | 年级：一年级 | 班级：一（9） | 人数：45人 | ||
学科：数学 | 课题：认图形 | 教师：郑丽萍 | 日期：2012.3.1 | ||
教学目标： 1、通过动手操作活动，体验平面图形与立体图形的联系与区别，丰富对平面图形的认识。 2、在分类活动中认识图形、三角形、长方形和正方形，直观认识它们的特点。 制定依据： 内容分析： 平面图形与立体图形有联系也有区别，平面图形是立体图形上的一个面。本节课是学生认识平面图形的第一课时，要求学生直观认识长方形、正方形、三角形和圆，体会长方形是长方体上的一个面，正方形是正方体上的一个面，圆形是圆柱体上的一个面，三角形是三棱柱上的一个面。因此，教材一开始就让学生先照样子画一画，再观察画出的图形，以此来让学生初步感受立体图形与平面图形的联系与区别，直观感受这些平面图形的特征，最后通过举例不断丰富学生对平面图形的认识。基于以上认识，从三个环节教学：先让学生经历平面图形的生成过程，然后将学生“移”下来的所有平面图形进行分类，在分类的过程中直观认识它们的主要特征，寻找这些平面图形与学过的立体图形之间的联系与区别，最后通过大量的图片欣赏和举例，丰富学生对平面图形的认识，增强学生的语言表达。 学生实际： 学生在一年级上学期已经认识了立体图形：长方体、正方体、圆柱体和球体。在日常生活中，也积累了一些物体表面形状的经验。但是，他们常常把两者混为一谈，“体”和“面”不分。 | |||||
教学过程 | |||||
教学环节 | 教 师 活 动 | 学 生 活 动 | 设计意图 | ||
常规积累 | 1、课前欣赏 2、今天同学们带来了很多积木，他们是什么形状的？ |
同桌交流 | 初步感受平面。 回顾旧知，巩固对立体图形的认识。 | ||
经历平面图形生成过程 | 要求：在这些积木上有很多平平的面，你能找一找，摸一摸吗？找到之后和你的同桌说一说。 教师示范：边摸边说，我在长方体积木上找到了平平的面。 揭题：我们今天就来研究这些平平的面。 （板书“面”） 放：首先，我们要把你这些平平的面从积木上移到纸上，（注意：一张白纸上移1个）想一想，可以怎样移？听清要求就动手试一试吧。 及时叫停指导：两只手怎样放，才能把这个图形画好？ 教师示范：一只手要牢牢按住积木，铅笔要紧贴着图形的边来描。 再实践：用这个好方法一起再去画一画。 过程中打开：（1）我们不仅要比谁描得好，还要来比一比比一比谁描的图形种类多？一边描一边去感觉一下哪些描起来比较容易？哪些困难？ （2）有的小朋友在一块积木上找到了不同的面，真好！ | 在积木上摸一摸平平的面 A、找一找、摸一摸，和同桌交流一下，我在什么积木上找到了平平的面。 B、指名说
学生动手操作。
一学生上台演示，其余学生认真观看。
学生继续动手描一描 | 体会平面图形的生成过程，感受“面”的来源，并通过自己动手画一画，初步感受立体图形和平面图形的联系与区别。 | ||
经 历 平 面 图 形 分 类 命 名 的 过 程 | （一）图形分类 （展台呈现学生画下来的图形，教师编号） 它们是从哪种积木上移下来的，分别是什么样子的？能把这些图形分分类吗？和同桌根据编号说说看（我把编号几几几分成了一类） （二）图形特点观察及命名 第一层次：（长方形）——教结构 一放：这类图形是从哪种积木上移下来的？它们是什么样子的？和原来的积木有什么不同吗？ 一收：交流长方形：长长方方的，是从长方体上画下来的，长方形只有一个面，而一个长方体就能找到好几个这样的面。 命名：长方形。贴出标准图形。 第二层次：（正方形、圆和三角形）——用结构 二放：那么下面这三类图形是从哪种积木上移下来的？它们是什么样子的？和原来的积木有什么不同吗？你能像刚才那样把三个问题的答案连起来完整地说一说吗。 二收：交流正方形、圆和三角形。 命名并贴出标准图形。 小结：这四种图形都是从立体图形上移下来，他们都是平平的，叫平面图形。 （三）拓展到生活中 （1）生活中也有很多这样的平面图形，你能在哪些物体的面上找到这样的图形？ 组织交流，注意学生用词。 （2）课前欣赏的画面中也有很多这样的平面图形，大家来找一找。 | 观察后和同桌交流。 学生分类(口头说、上投影动手) 长方形、正方形、三角形、圆形
同桌交流。
学生在听教师说后完整地说一说。
观察另外三类图形的特征，以及和体的区别，与同桌交流。
用一段完整连贯的话说一说。 同桌互相讨论，交流想法。
找一找生活中的平面图形，与同桌相互说说。 欣赏生活中的平面图形。 | 通过对不同图形的观察进行分类，体会图形和平面图形的联系和区别。直观了解它们的主要特点。
拓展对这几种平面图形的认识，规范和丰富学生的语言表达。 | ||
操作体验 加深 认识 | 要求：能在钉板上把今天认识的四种图形围出来吗？ 交流聚焦：为什么圆形为不出来？ | 学生动手操作后进行交流。讨论后得出：圆是曲边围成的图形。 | 通过围的过程加深对平面图形的认识，初步体会直边图形和曲边图形的差异。 | ||
拓展延伸 | 我们按照边的曲线把这些图形分成曲边图形和直边图形，这些图形是不是还可以进一步分类？我们将在二年级继续学习。 | 为后继学习设疑、铺垫。 | |||
特征认识课例: 《认识平行四边形》
学校 | 常州市新北区薛家中心小学 | 学科 | 数学 | 班级 | 四（4） | 人 数 | 46 | |||
课题 | 认识平行四边形 | 教时 | 1 | 执教 | 包惠萍 | 日期 | 2012.3.8 | |||
※ 教学目标： 1．迁移长方形、正方形的研究方法，引导学生从“边”和“角”两个纬度自主探究平行四边形的特征。 2．在创造中体会平行四边形的不稳定性。 3．根据特征发现平行四边形、长方形和正方形三者之间的关系。 ※ 制定依据： ★ 内容分析： 在本节课的学习之前，学生已经直观认识了平行四边形，初步掌握了长方形、正方形和三角形的“边”和“角”两个纬度的特征。 在这些平面图形的认识中，具有类同的结构，猜想验证，不断探究体会其特征，然后运用这些特征进行创造，进一步体会其特征的丰富性。而平行四边形的认识，是在三角形、长方形、正方形特征的基础上学习的，已经初步形成了学习的知识结构、方法结构和过程结构，所以平行四边形的学习可以迁移这些结构，并在特征认识的基础上，加强对比。和三角形的稳定性进行对比，和长方形、正方形的特征进行对比从而探讨三者之间的关系等等，这是这节课的提升。 平行四边形学完后，后续还有梯形的特征认识，同样具有共通的结构。 ★ 学生实际： 在本节课的学习之前，学生已经认识了三角形、长方形和正方形的特征。在前期学习中，学生掌握了可以从“边”和“角”两个纬度来探究特征，为本节课的学习打开了思路；学生经历了猜想—验证—结论的探究过程，为本节课的学习提供了方法和过程；学生初步体悟了长方形和正方形的关系（但前期从教材出发没有让学生体会正方形是长方形的特殊形态），这节课要重点探究三者之间的关系 应该说三者关系的感悟提升，对学生来说还是有一定挑战的。在教学中可以提出弹性的要求，让不同层次的学生都能在原有的基础上有所提升。 | ||||||||||
教 学 过 程 | ||||||||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | |||||||
常规积累 | 呈现：正方形、长方形 小结：我们可以从“边”和“角”两个纬度来研究平面图形的特征。 | 同桌互相说说其特征
| 回顾知识和学习方法，为后续学习做准备。 | |||||||
探究平行四边形的特征 | 第一层次： 猜想：平行四边形的“边”和“角”分别有什么特征。 收: 呈现学生的各种资源
第二层次: 验证:这些猜想都对吗? 收: 这些猜想有没有不正确的呢?
第三层次: 是不是所有的平行四边形都具有这些特征呢? 归纳结论: 平行四边形对边平行且相等,对角相等。 | 1.写一写 2.相互说一说
1.学生想办法验证老师准备的同样的平行四边形 2.尝试下结论
1.学生想办法验证尽可能多的平行四边形 2.尝试下结论 | 引导学生进行合理的猜想，为后续的学习做好铺垫。 这里有两次验证，第一次验证同样的平行四边形，初步尝试得出结论；第二次探究是不是所有的平行四边形都具有这些特征。在这里体现了科学的研究方法，从单一到全体，是不完全归纳法的体现。 | |||||||
运用特征创造平行四边形 | 第一层次： 你能不能根据这些特征创造一个平行四边形呢？ 收： 呈现学生的各种资源 第二层次： 小棒摆的方法 收： 平行四边形的不稳定性 第三层次： 画图的方法 收：交流画法 |
独立创造平行四边形
同桌互说：这些都是平行四边形吗？你是根据什么特征来创造的？ 同桌互说：为什么同样的四根小棒摆出的图形不一样
说说怎么画的 每人画一画 | 学生认识了平行四边形的特征后再去创造平行四边形，很好地体现了学习逻辑，体现了科学性。 在操作中体会平行四边形的不稳定性，从而感受到生活中运用平行四边形的合理性。 | |||||||
探究平行四边形、长方形、正方形三者之间的关系 | 第一层次： 我们从边和角的角度研究了正方形、长方形和平行四边形的特征，那这三者之间有什么关系呢？ 收： 三个集合圈分别代表什么图形 第二层次： 三个集合圈的位置关系 收： 呈现学生各种资源 归纳结论 | 运用集合圈进行探究操作
同桌交流
各自独立摆一摆 讨论：哪种位置关系表示了三者之间的关系 | 在关系探究中进一步深化其特征认识，并且融会贯通。集合圈的认识不仅形象表达了三者之间的关系，也为后续进一步的学习打下了基础。 | |||||||
全课总结 | 通过这节课的学习你有什么收获 小结：我们还可以用这样的方法去研究梯形的特征。 | 同桌互说 | 进一步提炼过程结构。启发学生主动运用学到的方法研究相关内容。 | |||||||
课例：《梯形的认识》
学校 | 常州市新北区薛家中心小学 | 学科 | 数学 | 班级 | 四（2） | 人 数 | 45 | |||
课题 | 梯形的认识 | 教时 | 第1教时 | 执教 | 姜博 | 日期 | 2012.3.8 | |||
※ 教学目标： 1．在画出“只有一组对边平行的四边形”的操作过程中建立梯形的直观表象，感知梯形的本质特征。 2．迁移平面图形特征认识的研究方法，引导学生从“边”和“角”两个纬度自主探究等腰梯形和直角梯形的特征。 3．在沟通与比较中感悟平面图形之间的内在关系。 ※ 制定依据： ★ 内容分析： 《梯形的认识》是小学数学苏教版实验教材第八册“平行四边形和梯形”的第二课时内容。是在学生掌握了长方形、正方形、三角形、平行四边形特征认识的基础之上学习的，是小学阶段最后一类直线型平面图形的认识。梯形的学习与其他的平面图形不同之处在于，其他的平面图形是在低年级直观认识的基础上学习的，而梯形的认识学生是初次接触。 教材分三层编排。第一层认识梯形，教材首先以生活中常见的物体为例，引导学生观察这些物体表面上的梯形，并告诉学生“像这样的四边形是梯形”，让学生对梯形有初步的直观感知；接着要求学生“想办法做一个梯形”，让学生把已经建立的梯形的表象以物化的方式表达，进一步丰富学生的感知；然后将梯形与平行四边形进行比较，引导学生发现并总结梯形的基本特征“只有一组对边平行”。第二层，通过引导学生联系平行四边形高的含义，认识梯形的高，并介绍梯形各部分的名称，让学生量出提供的梯形两条腰的长度，认识等腰梯形。第三层，通过想想做做的练习设计，引导学生进行图形的变换，感受平面图形之间的联系。
★ 学生实际： 在本课的学习之前，学生已经掌握了长方形、正方形、三角形、平行四边形等平面图形的本质特征与相互之间的关系，并获得了发现直线型平面图形特征的学习方法和活动经验。虽然在生活实际中，部分学生建立了梯形的表象，但却是模糊的，甚至是片面的，有的孩子认为，只有“像梯子状的等腰梯形”才是梯形。 | ||||||||||
教 学 过 程 | ||||||||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | |||||||
常规积累 | 呈现：平行四边形、长方形、正方形、菱形 要求：我们学习了一些特殊的四边形，同桌互相说说它们的特征以及这些图形之间的联系。 |
同桌互说 | 进入研究直线型平面图形的状态 | |||||||
梯形的产生及其本质特征的感悟 | 引入：正方形、长方形、平行四边形都是特殊的四边形，它们“两组对边平行”。那有没有“只有一组对边平行”的四边形呢？ 第一层次： 要求：老师给同学们准备了几个我们学过的平面图形，请你添一条线，形成一个只有一组对边平行的四边形。 聚焦：我们先来看这个一般的四边形，怎么添线呢？ 呈现资源（学生介绍其中的一种画法）
拓展打开： 只能平移到这个位置吗？ 只能画这条边的平行线吗? 第二层次： 要求：其他的图形呢？你能添上一条线，形成一个“只有一组对边平行的四边形”，并把它剪下来吗？ 交流： （1）聚焦三角形 （2）聚焦长方形和平行四边形 讨论：长方形和平行四边形有两组对边平行，现在只能有一组平行，怎么办。
小结命名：像这样只有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，是梯形。 教师示范画图，并介绍梯形各部分的名称。 | 尝试：想一想，试一试，画一画。
介绍想法 明确：没有平行的对边，可以选择一条底边，画出它的平行线，形成只有一组对边平行的四边形。
学生活动
感悟：三角形中，没有平行线，创造出一组，长方形、平行四边形有两组，破坏掉一组。 明确：上底、下底、腰和上顶角和下底角的名称。 |
整体切入对梯形的研究。
操作感悟，掌握方法，初步感知具有“只有一组对边平行”的图形表象。
运用方法，丰富感性材料，进一步感知具有“只有一组对边平行”的图形表象，为概念的聚类建立丰富的感性认识，同时为进一步探索梯形、特殊梯形的特征提供材料。
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特殊梯形的特征研究 | 沟通：我们是怎样研究平行四边形的特征的？ 梯形的“边”除了“一组对边平行，另一组不平行”以外，还有其他特征吗？“角”？ 要求：利用刚才得到的梯形，用我们研究平行四边形的方法也来研究一下，看谁能有新的发现。 打开：“边”除了考虑是否“平行”以外，还能考虑什么？（长度）角呢？
第一层次：——等腰梯形 呈现（等腰梯形）：发现有“边”相等的梯形。 质疑：是不是每一个梯形都能找到相等的边？ （验证一下，发现不是所有的都是。） 深入研究这个特殊的梯形，你有什么发现？ 打开：这个特殊的梯形有相等的边，那角呢？
命名：这个特殊的梯形叫等腰梯形。 第二层次：——直角梯形 启发：除了这个等腰梯形之外，看看还有特殊的梯形吗？ “边”或“角”还有特殊的情况存在吗？ 质疑：是不是每一个梯形里面都能找到直角？最多能找到几个呢？ 命名：直角梯形。 小结：根据我们刚才的研究，发现梯形中还存在着一些特殊的梯形，如直角梯形和等腰梯形。 | 回顾研究方法。
学生探索活动。
用记号表示相等的边，感受：特殊性 感悟：有相等的边和角；是轴对称图形。 表达：两腰相等，同一底上的两个角相等。
寻找梯形中的直角 感受特殊性。
| 迁移已有的发现直线型平面图形特征的学习方法和活动经验，主动研究梯形的“边”和“角”，在研究的过程中感悟特殊梯形的存在，明确等腰梯形和直角梯形的特征。 | |||||||
沟通各种图形之间的关系，并能用合适的集合圈表达关系。 | 第一层次： 提问：下面我们来创造一些特殊的梯形。想一想，在我们学过的哪些图形中添上一条线就能形成直角梯形？为了方便同学们想象，老师给每个同学准备了一份我们学过的图形，能想象的，在脑子里想象，不能的用尺推一推，想一想。 交流： （1）呈现原来图形就有直角的资源 觉得创造直角梯形怎么样？（很方便） （2）打开：没有直角的图形呢？如平行四边形呢？
提问：能创造等腰梯形吗？ 交流： （1）等腰三角形、等边三角形中添线 （2）聚焦：平行四边形呢？
小结提炼：梯形虽然是今天学习的一种新的图形，但是和我们以前学习的图形有很多的联系。
第二层次： 要求：今天我们学习了梯形、等腰梯形、直角梯形，能不能也像以前一样用集合圈来表示它们之间的关系呢？ 交流：呈现错误资源，并打开。 要求：在四边形的大家庭中，又多了新成员“梯形”，这些四边形的关系我们也能用箭头图来表示。 |
先独立思考，再同桌互相说一说。
感悟：如果图形里有直角，让这个直角保留下来。没有直角创造出直角。
先独立思考，再同桌互相说一说。 体会区别。 感悟：要创造出相等的腰，或在同一底边创造出相等的底角。
学生表达。
说明理由，明确关系 互相说一说区别和关系。 |
在观察、想象、操作、沟通的过程中感受梯形与已学图形之间的潜在联系。
体会梯形与等腰梯形、直角梯形之间的包含关系。
自主整体架构 | |||||||
拓展延伸 | 要求：整理已经学过的所有的四边形的特征，并能用集合圈来表示这些四边形之间的关系。 |
课后自主练习。 | 自主整理，整体系统认识各类四边形的之间的关系。 | |||||||
课例：《同一平面内，两条直线的位置关系》
学校 | 常州市新北区薛家中心小学 | 学科 | 数学 | 班级 | 四（2） | ||
课题 | 同一平面内，两条直线的位置关系 | 教师 | 李小英 | 日期 | 2011.11.24 | ||
一、教学目标 1．整体感悟同一平面内两条直线的位置关系，认识其中两组特殊的关系：平行与垂直。 2．学会利用分类分析和聚类抽象的方法认识概念，掌握概念学习的一般过程。 二、制定依据 1．教材分析 “平行与相交“属于”空间与图形“领域的教学内容。教材原来是按这样的线索来组织教学内容：先教学平行，引导学生联系生活情境，在识别直线相交和不相交的基础上认识平行线，学会画平行线；再教学垂直，从生活中选取两条直线相交成直角的特殊位置关系，引导学生认识垂线，学会画垂线，并结合相互垂直的关系，认识点到直线的距离及其应用。这样的安排可以帮助学生对两条直线的某一种位置关系进行比较集中和强化的认识，但同时也有可能带来以下两方面的问题：一是容易使学生对两条直线的位置关系形成单一和点状的认识，二是不利于学生参与和经历两条直线位置关系概念形成的建构过程，这样垂直和平行的概念对于学生来说就愈加抽象，更不用说学生对两条直线位置关系的整体把握了。因此，本课对这一内容进行重组，采用整体感悟的教学策略，引导学生先整体感悟同一平面内两条直线的各种位置关系，自主建构知识的整体框架，丰富对概念学习的方法结构和过程结构的认识，在此基础上再分化认识局部的平行与垂直的概念。 2．学生分析 （1）已有基础 知识基础：在学习本单元内容之前，学生已经认识了点、线段、射线和直线的有关特征，特别是对直线可以向两端无限延长的特征有了比较深刻的体验。 生活经验：在生活中对同一平面内两条直线的位置关系有一些感性的认识。 基本活动经验和能力：在学习过程中有了一些按照一定标准进行分类的经验，具有了初步的概括总结的能力。 (2)困难和障碍 虽然在实际生活中学生已经感受了“平行”与“垂直”等现象的存在，只是这种感受是肤浅的、零散的和模糊的，是能“意会”而不可“言谈”的。 在一级分类时，由于小学阶段的学生对事物的认识往往会只看表面，把两条直线分离状态的相交（垂直）看作是不相交（垂直）的状况，而忽视直线的本质属性，从而导致归类的错误。对“同一平面”的关注，因为学生缺乏对其内涵的理解，因而也会忽略，需要教师在过程中加强语言的渗透，并适时对比辨析，帮助学生建立完整的概念。 （3）提升点 激发学生丰富的感受，帮助学生经历两条直线的位置关系的形成过程，使学生对两条直线的各种位置关系形成认知的结构化，避免学生点状的认识和思维的定势。
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教 学 过 程 | |||||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | ||||
常规积累 3分 | 课前播放生活中的一些图片 出示直线、射线、线段，想一想三种线各有什么特点。 | 欣赏 说给同桌听。 | 回顾旧知，唤醒对直线特点的关注，为学生理解位置关系作孕伏。 | ||||
核心过程推进
| 尝试画出两条直线各种位置关系 | 一放 要求：（先画一条直线，这是一条直线还能继续画下去吗？为什么？如果在这同一平面内，再画一条直线，会和这条直线发生怎样的关系呢？想一想这两条直线会有哪些不同的位置关系？把你想到的画在1号纸上，比比谁画的类型最全。 过程中打开：我发现有的同学画的两条直线都是分开的，想想还有其它的位置关系吗？ 一收 收集、展示资源。
| 独立思考；在纸上画出各种位置关系，并编号。
(9)
| 引导学生在同一平面内画出两条直线的位置关系，充分利用学生的前在状态，把激发学生丰富的感受了，把多种资源呈现出来为整体感悟两条直线的位置关系搭建平台，避免学生认识的单一和思维的定式。 | |||
分类中整体感悟两条直线的位置关系 | 层次一：一级分类，揭示平行概念 二放 目的交待：为了研究的方便，老师从中收集了一些有代表性的情况（边贴纸边说）。那么在同一平面内，两条直线到底有几种不同的位置关系呢，请大家仔细观察这里的每一组两条直线的位置情况，能不能把它们分分类呢？你准备按什么标准来分。 把思考过程记录在2号纸上。 二收：出示半成品资源，加工生成 （1）交流分类情况。 回应：他是按两条直线是不是相交来分的，同意他的分法吗？有没有补充意见？ （2）引导：这几组现在看起来都不相交，是不是真的全部都不会相交呢？我们画的是两条直线，想想直线有什么特点？延长试试看，你有什么发现，原来的分类要作调整吗？ 谈话：现在这样分大家都同意吗？通过讨论大家已经形成了共识。看来有些表面上不相交的，通过延长后实际也会相交。那如果把 也无限延长，结果会怎样呢？
教师介绍： 表示法 读法 层次二：二级分类，揭示垂直概念 小放：相交的这一类，都形成了角，有没有比较特殊的情况呢？仔细观察，能不能根据角的特点继续再往下分吗？ 小收：（1）相交成直角和斜交，怎么知道是直角？有办法验证吗？ （2）揭示概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。垂直是相交中的特殊情况 要求：看看自己画的，是不是每一种位置关系都考虑到了？分类对不对？有问题的可以修改一下。并轻轻地把两条直线的位置关系完整地说一说。（贴纸出示：同一平面内两条直线的位置关系）
层次三：生活中举例 其实生活中也有平行和垂直的现象：比如说，在黑板这个平面内，长边和短边所在的直线互相垂直。你也能在身边找一找、说一说吗？
| 先想一想分类的根据，尝试分类。
分类标准预设：是否交叉、 是否接触、是否有公共点等。
预设1：不正确的 交叉：1 3 4 8 9 不交叉：2 56 7 预设2：正确的 交叉：1 3 4 5 6 8 9 不交叉：2 7
利用直线的特点，尝试延长直线并原来分类作调整。 通过延长初步感受到有时认识事物不能光看表面。
由尝试分类到延长调整分类，学生明确了两条直线可以分成相交和不相交两类，并认识到不相交的两条直线就叫互相平行。 同桌合作，学一学平行的表示方法和正确的表达。 尝试进行二级分类，分好后能跟同桌交流分类的标准。
自己动手对（1）号进行验证
仿照平行同桌互相说一说垂直的表示方法和正确的表达。 有错的修改，其他同学试着和同桌轻声地说一说两条直线的位置关系。 明确：两条直线的位置关系可以分成平行和相交两大类，相交的情况又可以分成垂直和斜交两类。 一生举例说（规范语言）其他同学也象这样用规范的语言跟同桌说说生活中的平行和垂直的现象。 | 通过引导学生分类，从而整体感悟两条直线在同一平面内的多种位置关系，理清上位概念和下位概念。并对其中的一些特殊位置关系有进一步的认识，完成概念的建构，帮助学生对直线的位置关系形成认知的结构化。
利用过程性指导，引导学生从仅仅对表面现象的关注到对事物本质属性的关注，从而提升学生分析问题、解决问题的深度。
在学生亲历了概念的形成过程后，学生会用准确的语言进行描述。 通过引导学生自己对两条直线相交、垂直和平行的各种位置情形梳理和归类，帮助学生对两条直线位置关系形成认知的结构化，避免学生点状的认识和记忆的负担。 利用清晰、准确的概念，判断生活中的平行和垂直现象。一方面检测和巩固对概念的理解，另一方面为学生准确地表达提供了言说的机会，再者让学生体会到数学并不神秘，数学就在日常生活中，就在自己身边，感受到 “平行”“垂直”与现实生活的密切联系。 | ||||
应用判断 | 1.教师出示一组平面图形，找一找，说一说。 2.纸上有很多条直线，找出相互平行或垂直的，不遗漏、不重复的像老师这样记录下来。 | 尝试用符号记录。 | 从生活中的“平行”迁移到数学图形中，体现了“数学从生活中来，又回到生活中去”的思想。让学生学会用所学的知识解决问题，培养学生观察、分析、判断等能力。同时也使学生感受到不同图形的特点，深化对这些图形的认识，为后面具体学习这些图形做好铺垫。 | ||||
总结延伸
| 今天我们认识了同一平面内，两条直线的位置关系，学习了什么是平行和垂直，那么如何画平行和垂直呢？ | 课后尝试。 | 利用已有的经验和工具尝试画平行和垂直，为正确、科学的操作方法奠定基础。 | ||||
统计专题报告
小学阶段的统计以“描述统计”为主，要引导学生经历搜集数据——分析数据的过程，分析数据又分为三个阶段：（1）把握数据特点，归类整理；（2）制表制图，了解数据的分布特征；（3）特征量的计算（求平均数、差异量等）
统计教学的基本原则：
1、要经历统计的过程，感受统计的现实意义。
2、要经历数据整理归类的过程，学会清点数据（数据小：符号记录；数据大：画“正” ）。
A、分类整理（一上），如理书包，这是确定现象，按照文具用品归类整理。
B、随机现象的数据整理（一下，课内：通过录像播放，学生自主整理，也可放在课后解决）如在11：40~12:00内，5分钟一统计，看看哪个时间段食堂里的人数最多。（感受随机现象为主，渗透画“正”记录的方法。）
C、按不同角度整理数据，如统计教师情况时可按性别、年龄、职称等归类整理（二下，体会画“正”记录在汇总结果（清点数据）时的简洁）
3、要经历统计表、统计图制作的生成过程。
分两个阶段：1、低段，主要是让学生了解、认识生成过程，会从图表读出信息。2、三年级开始，会画图，又要分两大板块（1）纵向间距的确定——A、一格表示“1”（二上）B、一格表示几（二下） C、纵向间距如何确定（四上，详见局小第二节研讨课）（2）横向组数的确定——A、分类确定组数 B、间断数据项目的确定 C、连续数据分段确定项目组数（均匀分段、不均匀分段）
所谓间断数据，指的是以整数计数的，如出生月份的统计，销售服装的件数统计等。所谓连续数据，指的是按照一定的标准去度量得到的数据，如身高、体重、气温、成绩（度量标准是考试卷）、工资等。如果连续数据中有极端数据，分组时有的组数据很少，就可以与其他组合并，这样本来均匀分段就变成了不均匀分段。
统计教学的育人价值：（1）引导学生关注现实生活中的随机现象；（2）在学习过程中，帮助学生建立数据的敏感，提升学生分析处理数据的能力；（3）引导学生把握统计过程中的一般情况和特殊情况。
课例：《条形统计图》
学校 | 常州新北区薛家中心小学 | 学科 | 数学 | 班级 | 二（4） | 人数 | 51 | ||
课题 | 条形统计图 | 教时 | 1 | 执教 | 李小英 | 日期 | 2011.12.8 | ||
※ 教学目标： 1．学生通过观察、比较、操作，经历条形统计图的生成过程。 2．了解条形统计图的要素，并会根据统计图做出合理的分析。 3．在整理、描述、分析的过程中，进一步了解统计在现实生活中的作用和意义。 ※ 制定依据： ★ 内容分析： 统计在每册教材中都涉及，但课时短，学生的理解感悟并不深刻。学生对统计内容的学习也是点状的、割裂的，对描述性统计的目的和意义的理解更是不强。因此，从一年级开始就对统计的教学进行了整体的规划。在基于教材现有的内容上，有选择、有目标的进行提升。一年级（上册）：学生利用学具对确定现象（较小数据）进行分类整理。在整理的过程中做到“一一对应”，并经历制作统计表的生成过程，明确统计表的要素。一年级（下册）：学生会用记号对不确定现象以及随机数据（较大数据）进行分类记录，明确一个符号表示一个。巩固对统计表的制作。因此，本节课教材在学生已有的统计经验和统计知识基础上，进一步认识分一分、数一数的整理数据方法，引导学生将方块—直条—方块统计图，经历生成的过程。体验每个方块表示一个，在活动过程中体会用条形统计图更加直观、清晰，让学生体会统计图逐步优化的过程及从形象到抽象的思维发展过程。 ★ 学生实际： 学生已经会用各种符号来进行分类整理的记录，能制作简单的统计表，知道了统计表的要素。本节课主要是让孩子经历条形统计图的生成过程。但是在生成的过程中，学生对于用同一种符号记录比较方便，尤其是用方块统计比较整齐，一目了然的体悟还很欠缺。如何让孩子从方块到直条，最后形成条形统计图这个过程还是有一定难度的，需要老师适当的引导和渗透，进一步提升学生的学习能力。 | |||||||||
教 学 过 程 | |||||||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | ||||||
生成条形统计图
| 第一环节：感悟方块符号表示的特点 一放： 我们食堂里的叔叔想知道同学们最喜欢吃什么水果，就在全校选了20个同学就苹果、桃子、草莓、梨子喜欢的情况进行了调查。这里有点乱，你能分类整理一下，每种水果各有几个同学喜欢吗？ 一收： 第一层次 交流统计结果，并用学生资源说明一般统计的方式。 第二层次 呈现同一种符号统计和不同符号统计——体会同一种符号的简便。 比较一下，有什么区别？你更喜欢哪一种？为什么？ 学生回答后小结：看来用同一种符号记录，不仅简便，而且还能一眼就看出谁多谁少。 第三层次 呈现各种图形表示的——体会方块统计图的排列整齐，更为直观。 呈现学生出现的资源（全是√不齐、全是□、…） 再来比较一下，在这么多种符号中，你更喜欢哪一种，为什么？ 小结：大家都提到了用□更为整齐，直观，谁高就是谁多，谁矮就是谁少。 第二环节：经历从方块—直条的形成过程。 二放： 既然大家都认为方块排列更整齐，下面就请你用方块来摆一摆每种水果的个数。 二收：黑板上呈现学生出现的资源。 问：是不是这条最多啊？ 教师根据学生的回答对图形进行调整。 追问：那怎么排一下子就能准确地看出谁多谁少呢？ 你来试一试！ 小结：摆方块时，一定要注意起点对齐，间隔统一，这样才方便我们一眼看出谁多谁少。 第三环节：形成条形统计图。 第一层次：介绍种类、数量。 把一个一个小方块堆在一起，就形成了这样的一个个直条，那么这些直条表示的是谁的数量呢？ 拓展：如果再有其他的水果呢？为了保持起点统一，可画一条横轴，表示种类 师根据学生的回答板书：横轴、种类。 数量呢？也可以不断的增加。方块合在一起看不清，为了可以看清直条数量，可以增加一个纵轴，表示数量。 板书：纵轴、数量。 那么这些数量怎么表示呢？ 追问：一格表示几？怎么看不数就知直条是几？ 师演示：写好数量后，我们就能对应着知道每种水果各有多少个了。 第二层次：介绍名称、日期、单位。 师边介绍，边补充板书。 这样就把简单的直条图形成了一张完整的条形统计图。 （板书：条形统计图） 第三层次：总结 看着这张条形统计图，你知道了什么？ 总结：通过这张条形统计图，直条长喜欢的人就多，直条短喜欢的人少一些，这样叔叔就知道怎么去买水果了。做到大家满意，还不浪费。 还知道了条形统计图的各个要素，一格表示一个，画直条的时候还要注意分布均匀。 | 学生独立完成。 学生可能出现的情况有： （1）全部都用同一种符号统计记录的。 （2）用不同符号统计记录的。
全班报结果。
同桌讨论交流。 预设： 我喜欢同一种符号表示更加方便。 √越多，数量就越多，√越少，数量就越少。
同桌交流。 预设： 我喜欢√，方便。 我喜欢□，看上去很整齐。 ……
学生独立动手操作。 预设： 起点不对齐的。 间隔不统一的。 学生讨论后回答：不是的。要在同一条线上，中间的距离还要一样的。
学生再次操作形成直条。
学生交流后回答。
学生思考。 学生回答： 要从0开始，1，2，3… 一格表示一个。
学生同桌讨论后全班交流。 我知道了苹果多，要多买点，因为喜欢的人多。 我知道了条形统计图要有名称、日期、单位、还有种类和数量。 |
让学生从多种符号的表述中聚焦到同一种符号记录。感悟：简便、美观。一下子就能看出统计情况。
多种符号中观察、比较、体悟方块的排列整齐，更为直观。
学生经历从方块到直条的形成过程，更进一步的为条形统计图的形成加深理解。
在直条图的基础上不断生成，最后形成一张完整的条形统计图。
学生通过交流，再次加深对条形统计图的认识。清晰条形统计图的要素。
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自己制作条形统计图 | 三放： 我们二年级要开设课外兴趣小组，负责的老师需要知道同学们比较喜欢哪些活动项目，现在你能不能根据这张调查记录来制成一张条形统计图，然后给老师一些建议呢？ 三收： （1）起点是0 （2）横轴种类说明 （3）数据标注和日期填写 问：看着这张条形统计图，你知道了什么？ | 学生根据调查情况，独立完成统计表，并制作条形统计图。 交流： 半成品资源辅导完成。 纵轴数字的填写。 分布要均匀 自己完善自己的统计图 |
学生独立进行条形统计图的制作过程。进一步明确条形统计图的要素。 | ||||||
拓展延伸 | 同学们刚刚我们只调查了20个同学，要是40个同学，60个呢？直条要怎么表示呢?这时候一格还可以表示多少呢？ | 学生思考。 | 拓展练习，渗透下学期的一格表示几。 | ||||||
整数概念教学长段递进性思考
20以内数的认识 | 百以内数的认识 | 千以内数的认识 | 万以内数的认识 | 大数的认识 | ||||||
认识 内容 | 认识个位、十位 0占位且不读 | 认识百位 末尾0占位且不读 十进制进率 | 千位 中间0占位且要读（连续0读一个） | 万位 中间0占位且要读（间隔0都要读） | 个级、万级 每级末尾0都不读 整数的结构体系 | |||||
学生 情况 分析 | 虽然数在生活中随处可见，但每一学段的学生对数的大小的感悟存在一定的困难 | |||||||||
对数概念的认识学前差异大；在计数活动中点物和报数之间缺乏一一对应的关系；数产生的意义过于抽象；缺乏产生数位的需求与意义理解 | 虽然有数数的生活经验但是对数大小的感悟空洞；以群计数的灵活性不够；较难理解“百位”生成过程 | 初步感受了数认识的框架结构和方法结构，运用已用的经验会读100到1000之间的数，其中对中间有0的数的读法有些困难；对新的计数单位的生成过程有初步的感悟 | 感受了初步感受了数认识的框架结构和方法结构；具有了依据类读数的初步经验；部分学生对于中间连续0的数的读法可能存在一些困难 | 能够运用数认识的方法结构来认识数生成数；建立了依据类型读写一类数的意识；懂得了生成新计数单位的方法；对于中间间隔0如何读以及含有万级的数如何读部分学生存在困难 | ||||||
递进性目标设计 | 经历从场景图中抽象出1-10各数的过程，知道可以用简单的符号来表示数。 理解1-10各数的含义，学习有序地数数，初步感悟数的大小以及单数和双数。 让学生感知生活中处处有数学，体验与同伴互相交流学习的乐趣。 | 在观察、操作和交流等活动中，直观地认识“十”，知道10个一是1个十； 初步认识数位，知道“个位”和“十位”，认识个位上用0占位的必要性； 会正确地读、写11-20各数，知道11-20各数的组成； 掌握20以内数的顺序，会比较它们的大小。 | 结合生活素材感受数的意义； 能正确读写千以内的数，掌握千以内数的组成； 认识计数单位“千”，沟通每相邻两个计数单位之间的十进关系，初步建立数系统中十进制关系的意识； 沟通两位数和三位数的联系，初步形成整体认识数概念的结构意识。 | 知道从数认识的框架结构出发认识数； 能利用数认识的方法结构主动认识万以内的数； 认识数中间0占位的必要性，掌握万以内数的构造结构，并运用这个结构生成新的数； 感知“万”的大小。 | 能利用数认识的框架结构尝试认识多位数； 掌握多位数的构造结构； 在估数的过程中发现和把握四舍五入的规律。 | |||||
内容框架
核心推进环节 | 数的现实意义 | 经历从现实生活中抽象数的过程，使学生感受数在生活中的具体意义 | ||||||||
教师创设丰富的现实情境 | 教师提供丰富的生活情境 | 教师提供丰富的生活情境 | 指导学生从身边收集有关数的素材信息。（报纸、书籍、新闻媒体……） | 学生主动从多途径发现和搜集相关数的素材信息 | ||||||
数的读写组成 | 先读十位再读个位，个位的0不读, | 从高位起，依次读（写）；想数位，读（写）数字；末尾0不要读（要占位） | 从高位起，依次读（写）；中间0要读，末尾0不要读 | 高位起，依次读（写）；想数位，读（写）数字；中间0读一个（要占位） | 先分级，四位一级；先读万级，再读个级；万级先按个级的方法读再在末尾添上一个万字。高位起，依次读（写）；中间连续0读一个，不连续都要读；每一级末尾的0都不读。 | |||||
初步感受在数的读写中0的特殊性。 | 初步感受按读法对数进行分类，知道可以分成“有0的数”和“没0的数” | 依据已有经验尝试读数，在交流的过程中逐步形成类（“没有0”、“中间0”、“末尾0”），初步体会按类读的方法，提炼读数的方法 | 启发学生利用按类读数的方法认读万以内的数，在交流中建立清晰的类型意识，聚焦“中间连续0”完善读数的方法 | 启发学生运用数认识的方法结构自觉进行分类认读，聚焦“间隔0”、“含有万级数的如何读”完善读数方法 | ||||||
新数位的生成 | 知道个位、十位的概念 初步认识数位顺序表 | 9个 十 + 1个十 =（ ）个十 → 百位 | 9个 百 + 1个百 =（ ）个百 → 千位 | 9个 千 + 1个千 =（ ）个千 → 万位 | 9个 万 + 1个万 =（ ）个万 → 十万位；9个 十万 + 1个十万 =（ ）个十万 → 百万位；9个 百万 + 1个百万 =（ ）个百万 → 千万位；万级的生成 | |||||
数的大小 感悟 | 知道数字符号所表示的意义 | |||||||||
在“按物点数”、从具体的物体抽象出数的过程中体会数的实际大小 | 通过“数””按群计数”直观感悟百以内数的大小 | 借助工具感悟千以内数的大小 | 借助想象联系生活经验感悟万以内数的大小 | 借助数位的产生类推想象感悟数的大小 | ||||||
感悟 结构 | 初步渗透数认识的框架结构 初步了解数认识的方法结构。 | 初步感受数认识的框架结构 感受数认识的方法结构 | 感受从数认识的框架结构出发认识数 掌握数认识的方法结构 | 知道从数认识的框架结构出发认识数 能利用数认识的方法结构认识万以内的数，并运用这个结构生成新的数 | 能利用数的框架结构认识大数 掌握多位数的构造结构，并主动运用这个构造结构生成新的数 | |||||
过程关注 | 明确活动开展的目的意义，提升学生学习的动机水平。 帮助学生把握知识结构，形成学生学习的主动意识。 帮助学生理解对应关系，提升学生计数的能力水平。 | 通过“比比分分，总结方法”增加思维的挑战性，突破难点，并在这一过程中培养学生的归类意识、对比意识、提炼意识。组成和读写要始终紧密结合，形成连贯动作。 | 要让学生通过比较，沟通千以内数中的认识与万以内数的认识面对类似情形时的相同与不同。使学生经历从具体到抽象再回到生活具体这一反复体验的过程。 | 类比迁移学习万级的数，并根据已有数位顺序表，生成新的计数单位，培养学生整体认识知识结构和方法结构。大数的认识内容很多不能一步到位，第一课时利用数级的概念感悟读数的方法，第二课时理解和巩固亿级的读写。 | ||||||
课例1：千以内数的认识
学校：常州市新北区薛家中心小学 | 年级：二年级 | 班级：二（4） | 人数：51 | |||
学科：数学 | 课题：千以内数的认识 | 教师：李小英 | 日期：2012.3.1 | |||
一、教学目标 1、结合生活素材感受数的实际意义,能正确读写千以内的数，掌握千以内数的组成。 2、认识计数单位“千”，沟通每相邻两个计数单位之间的十进关系，进一步发展数系统中十进制关系的意识。 3、沟通两位数和三位数的联系，初步形成整体认识数概念的结构意识。 二、制定依据 1．教材分析 整数认识的教材编排：第一次大循环：百以内数的认识，包括：10以内数的认识、20以内数的认识以及百以内数的认识；第二大循环：万以内数的认识，包括：千以内数的认识和万以内数的认识及大数的认识，本课时是整数认识的第二次大的循环。本单元中教材先后安排了近五课时的教学，分别教学认识整百数、认识几百几十、认识几百几十几，并结合着安排了相关的口算，最后教学千以内数的大小比较。为了帮助学生对数的认识由单纯的表面符号知识的把握上升到对数认识的方法结构的把握，促进学生主动运用结构来认识新的数，提升学生认数的思维水平，拟对本单元教材进行适当重组，将千以内数的意义、组成、读写等整合在一课时中进行教学，全课分成三大核心板块：一是在情境中读数，让学生感受到学习的是有意义的数；二是放到数位表中读数，让学生借助数位表经历分类读数的过程，提炼形成读数的方法；三是生成新的计数单位，让学生经历创造的过程，体验新产生的数的大小及其蕴含的丰富的现实意义。 2．学生分析 具备了什么？——学生已经经历过整数认识的第一次循环教学，在百以内数的认识中已经初步形成了分类意识，感知两位数的读法：先读十位，再读个位（从高位起，依次读），个位0不读（末尾0，不读），同时也建立了一定的“位”概念，知道满十进一；另外随着孩子与外界社会接触的机会增加，大多数孩子对千以内的数已经有所耳闻目染，在脑中或多或少有了一些模糊的认识和了解。 困难是什么？——首先，由于孩子们学习背景的差异，他们对千以内数的学前经验也存在着相当大的差异，如千以内数的接触了解、认数方法结构的主动迁移等会呈现出不同程度的差异,其次，随着数的范围不断扩增，孩子们可能利用认数的方法结构能正确的读写数，但是对这些数背后隐藏着的丰富的内涵缺乏深刻体验。 提升些什么？——通过本节课的学习，需要帮助学生初步形成数认识的方法结构，为后续学习大数的认识奠定基础；其次，借助现实生活素材，丰富学生对数的内涵的体验。 | ||||||
教学过程 | ||||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | |||
常规 积累 | 出示：读数、说组成，说说百以内数的怎么读？ 24、30、59、80、100。 板书：高位起，依次读（写）；末尾0，不要读（要占位）。 | 同桌互相读数并说一说数的组成 | 回顾前期学习内容，为新知学习作好准备。 | |||
开 放 式 导 入 | 谈话：我们已经认识了两位数和100，100已经是三位数了，那100以上的三位数有哪些？这些三位数各要怎么来读写呢？这就是这节课我们来研究的一些问题。老师在小朋友收集的三位数信息中选择了一部分。 出示： 1、小明身高138厘米。 2、绕学校操场跑一圈300米。 3、我校二年级共有学生298人。 4、报告厅能容纳580人。 5、一张沙发的价格是905元。 6、小红三分钟能跳407下绳。 7、老师的左眼近视达650度。 | 读数 （1）在情景中读数 （2）在数位表中读数 自己轻轻地读一读，并说一说组成。 | 通过谈话，帮助学生拓展数的范围。
从鲜活的现实生活中撷取典型的数据信息，让学生感受数的实际意义，同时让学生尝试读写将学生的已有基础呈现出来，为进一步推进提供资源。 | |||
分类探究数的读写及组成 | 目的交待：有的小朋友这些数都会读了，那是不是这几个数会读了，所有的三位数都会读了？如果我们把这些数按照它们的读法一类一类地搞明白，那么所有的三位数就都会读了。 放：把读法一样的数找出来写在一起，记录在数位表中。 过程中指导：写完一类大家可以空一行再写下面一类，便于我们观察。 收：第一层次：没有0的数。 呈现学生资源（1） 交流：读一读，说说组成，并和两位数的读法去比一比，怎么读，读法是怎样的？ 小结：从高位起，依次读。 第二层次：有0的数 观察：有0的数你还能继续分，把读法一样的数仍旧写在一起吗？ 并联呈现资源：你知道它们分别是怎么分的吗？同桌说一说。 聚焦末尾0的数：读一读，说说组成，联系两位数中末尾有0的数的读法，想一想三位数中末尾有0的数我们可以怎么读？ 提炼：末尾0，不要读。 聚焦中间0的数：读一读，说说组成。 提炼：中间0，要读。 强调：读数和说组成的区别。 沟通比较：刚才我们通过分类，研究了有代表性的几类三位数的读法，它们和两位数的读法相比，有什么相同和不同的地方？ 练习：学生修改分类后在每一类的后面再写一个数给同桌读一读、说一说组成。 |
学生尝试归类写数，预设： （1）没有0和有0的（多数学生） （2）有0的进行二级分类的 （个别学生）
自己读一读，说说组成，再和同桌说说读法。
学生再次归类写数。 预设： ①按0的位置分 ②按0的个数分 ③按0的读法分
同桌互动交流
读一读，说说组成。 明确：末尾0不要读；中间0要读。
学生交流并归纳： 相同：都是从高位起，依次读；末尾0，不要读。 不同：出现了中间0，要读一个。 |
依据学生认识两位数的经验组织教学，通过分类、资源的加工，帮助学生整体认识三位数的读写方法，进一步形成并掌握数认识的方法结构。
沟通两位数和三位数的联系与区别，初步培养学生整体认识数概念的结构意识。 | |||
三位数的写法及组成 | 写数说组成 2个百、3个十和5个一 ；6个百和8个一；三百零七；九百。 组织交流：写数时要注意什么？ | 学生独立在数位表中写数 交流感悟：写数也是从高位写起，遇到哪一位上一个单位也没有要用0占位。 | 通过练习，巩固三位数的读写法和组成，为新知的生成作好孕伏 | |||
数位生成 沟通进率 | 谈话：9个百再增加一个百是多少？你能在数位表中写出这个数吗？ 呈现资源，组织交流，生成千位。
追问：一千到底有多大呢？课件播放，说说一千的组成。 过程中打开：看看谁能有条理地把1000的各种组成都能说清楚。 | 学生尝试在数位表中写1000。 预设：写对和写错（百位写10）。 进一步感受满十进一。 学生借助课件进行不同的表达：一千是由一个千、10个百、100个十、1000个一组成的。 | 迁移创造“千”，沟通计数单位之间的进率，促进学生对十进制关系的进一步理解。 | |||
感知一千有多大 | 提供材料来体验一千 体验材料：一间可容纳约500人的报告厅、十张百数表、二年级一个班大约有50人、1000个点子图。 |
边看边体验 | 通过数数获得对“一千”的认识，同时回归生活，借助推想感受一千在现实生活中的丰富内涵。 | |||
拓展延伸 | 启发：10个一是十，10个十是一百，10个一百是一千，你会接着联想下去吗？今后我们还要用同样的方法来学习更大的数。 |
学生联想 |
将学习方法向更高的数位拓展…… | |||
运算律单元整体设计结构化思考
教材简析：
本单元的内容包括：加法的交换律和结合律，应用加法交换律、结合律进行简便计算，乘法的交换律和结合律，应用乘法交换律、结合律进行简便计算。
这部分内容是在学生经过三年多时间的四则运算学习，并对这些运算定律已经有一些感性认识的基础上，进一步通过一些实例来引导学生进行概括的。由于乘法的分配律不是单一的乘法运算，而是涉及到乘法和加法的运算，学生对乘法分配律的感性积累比较少，学习起来比较困难，而且加法的交换律、结合律与乘法的交换律、结合律有很多相似的地方，所以本单元只教学加法和乘法的交换律、结合律，而将乘法的分配律单独编制单元，安排在四年级下册进行教学。
学习加法和乘法的运算律，不仅有助于加深对加法、乘法计算方法的理解，还能使一些计算简便，而且在以后学习中也要经常用到。因此，这些运算律是小学数学中最基础的知识，教学中要积极引导学生对这些规律性知识进行探讨，自觉应用，并在应用中加以巩固。
学生分析：
本册教材的第三单元安排了两步混合运算，这些内容是学生学习运算律的基础。学生虽然在此前的学习中，对四则运算中的一些性质和规律有感性的认识，但这些只是对默认结果的应用，学生对规律的发现和形成过程缺乏了解，常常只是知其然而不知其所以然，更会对规律探索的方法产生以偏概全的错觉。学生对规律的特点把握比较困难，对规律适用的前提条件缺乏敏感度，规律性的语言叙述存在一定的困难。
本单元内容毕竟是属于理性的总结和概括，比较抽象，学生不易理解和掌握。因此，教材呈现学生经常经历的跳绳、踢毽等具体情境，利用学生已经掌握的知识，让学生独立解答，通过学生解答，初步发现不同算法间的联系。接着让学生举出类似的等式，并对这些等式进行分析和比较，引导学生主动地探究规律、发现规律。学生在探究运算律的过程中，体验了提出猜想、举例验证、归纳结论这样三个步骤，经历了一个相对完整的探索方法的过程。举例验证的类意识得到了强化，但是提出猜想的能力以及语言表达的能力还相对欠缺。另外，对于这些运算律怎么用使得计算简便，学生的判断能力还不强。需要通过练习来加强，尤其是数感要加强，注意解题的格式。
教材在练习中渗透和、差、积的变化规律，让学生在探索、发现和应用规律的过程中，发展合情推理和初步的演绎推理的能力。另外，我们在教学中还增加了减法的性质和除法的性质两个教学内容。学生在学习这两个内容之前，可能已经对两个性质有了感性认识，他们中有一部分学生已经具有根据减数或除数的特点，改变运算顺序进行巧算的直觉和敏感，但对规律形成的过程缺乏了解，对规律的表述不严密清晰，不利于形成系统而科学的研究意识和能力。更重要的是在应用的过程中，对规律的使用缺乏主动的判断和选择意识，如何根据数据特点灵活选择运算形式，是个大问题，需要培养学生对数据的敏感意识和对规律的判断选择能力。因此，在教学中，我们特别注意增强学生对规律的特点把握，对规律使用的前提条件增强敏感度，帮助学生把多种分散、局部的认识，进行聚类、清晰化的处理，形成相对完整、丰富的概括，提炼和抽象出“减法运算性质”、“除法运算性质”的结论表述。
单元目标：
1.培养学生的研究意识。研究意识主要包括：猜想的意识、举证的意识、分类研究的意识、确定研究范围的意识、梳理的意识等。
2.了解和掌握数运算规律的知识结构、学习方法结构和教学过程结构，为学生主动学习提供方法和工具的支撑。
3.在建立研究意识和形成认知结构的同时，能够掌握和运用这些运算规律解决相关的实际问题。
推进安排：
内 容 | 课 时 | 目 标 | 资 源 | 策 略 |
加法交换律 | 第一 课时 | 1．区分特殊与一般的差异，能根据特殊对一般进行猜想。 2．通过体验，掌握验证猜想的过程和验证的书写格式。 3．经历规律探索的全过程，掌握规律探索的一般方法结构。 | 基础性资源：开放式导入，让学生凭借已有经验解决简单的问题。 生成性资源：通过不同资源的辨析，明确验证过程的科学严谨，拒绝伪验证。同桌互相交流，概括提炼出简洁的语言表达，同时用自己喜欢的符号语言表达出规律。 | 教结构策略：在解决问题的过程中，提出探索规律的要求。 学生在教师的指导下举例（大数、特殊数、小数、分数） 尝试归纳 对比修正 完整品读 |
加法结合律 | 第二 课时 | 1．在观察的基础上独立尝试，经历归纳探究的过程，再次形成方法结构。 2．经历比较的过程，体会运用运算律可以使计算变得简便。 | 基础性资源：出示一道连加的算式，让学生尝试用不同的方法计算，大胆提出猜想。 生成性资源：学生大量举例，互动生成各类例子，尝试概括结论，并能用字母表示规律。 | 用结构策略：从学生的经验出发，进行直觉猜想。在教师的引导下经历归纳探究的过程，逐步熟悉这些步骤。
类比、迁移 |
应用加法运算律进行简便计算 | 第三 课时 | 1．通过题组对比，进一步发现运算律可以使一些计算简便，培养简算意识。 2．通过练习，养成先观察判断，再动笔计算的作业习惯，培养简算能力。 3．通过简算促进计算能力的提升，体验数学学习的乐趣。 | 文本资源：口答气球上3个数的和是多少，建立对数的敏感。 基础性资源：出示例题，学生尝试解决。 生成性资源：呈现各种解答方法，通过交流，不仅要使学生体会到不同算式的内在联系，更要使学生认识到哪种算法简便，从而了解应用加法运算律可以使一些计算简便，初步认识简便计算的方法。 | 教结构策略：通过例题的解答、交流、对比，逐渐完善这类题的解答过程，充分体验利用运算律的优越性。 用结构策略：激发学生主动尝试运用运算律进行简算。将简算意识运用到实际问题中去，感知可以根据数据的特点选择先加哪两个数。
类比、迁移 |
乘法交换律和乘法结合律 | 第四 课时 | 1．经历乘法交换律和乘法结合律的探索过程，理解并掌握规律，能用字母表示规律。 2．培养观察、比较、分析、综合和归纳、概括等思维能力。 3．增强合作意识，激发学习数学的兴趣。 | 基础性资源：通过问题，回顾上节课的学习内容和学习方法，为这节课做好铺垫。 生成性资源：通过提供的研究纸记录研究验证过程，得出自己的结论。放手让学生经历猜想—验证——结论的过程。 | 用结构策略：乘法交换律、结合律以及相关的简便计算，安排在加法交换律和结合律之后，整个教学的过程和加法类似，都是先让学生初步感受可能存在这样的运算律，然后再让学生通过举例验证，经历分析、综合、抽象的过程，得出运算律，并且用字母表示。不过探索的要求有所提高。需要学生能从学习加法交换律和结合律的方法结构中主动迁移，自主进行探索，即加法交换律、结合律为教结构，乘法交换律、结合律为用结构。
类比、迁移 |
应用乘法运算律进行简便计算 | 第五 课时 | 1．通过题组对比，进一步发现运算律可以使一些计算简便，培养简算意识。 2．通过练习，养成先观察判断，再动笔计算的作业习惯，培养简算能力。 3．通过简算促进计算能力的提升，体验数学学习的乐趣。 | 文本资源：教师补充习题和书本练习 拓展资源：书本第7、8、10题。 | 用结构策略：这部分内容教学应用乘法交换律和结合律进行一些简便计算，有些题明确提出了“用简便方法计算”，通过计算进一步掌握简便算法，巩固对乘法交换律、结合律的理解。有的通过对乘法的验算，将验算方法与乘法交换律联系起来，沟通了新旧知识的内在联系。通过题组对比，引导学生体会灵活应用乘法运算律使计算简便的方法。
类比、迁移 |
减法的性质 | 第六 课时 | 1.在直觉猜想、自主验证、提炼概括的基础上进一步增强研究意识和形成清晰的认知结构。 2.清晰规律运用的前提条件，能灵活运用减法的运算规律解决相关的实际问题。 | 文本资源：出示例题，学生尝试用不同方法解答。 基础性资源：呈现资源，观察分析，同桌相互说一说，再指名交流。 生成性资源：学生大胆提出猜想，自主展开验证过程。通过验证，进一步清晰减法性质的结构特点，明确规范验证的研究过程，对从特殊发现一般的数学方法有更深的体悟。
| 教结构策略：为学生提供了更多实践和反思机会，有利于学生整体和结构化地把握知识，为学生的类比猜想和结构思考提供可能，而且有利于学生形成主动探究的学习心态，在形成知识结构的同时建立起结构化的思维方式。
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除法的性质 | 第七 课时 | 1.在类比猜想、自主验证、提炼概括的基础上进一步增强研究意识和形成清晰的认知结构。 2.清晰规律简便使用的前提条件，能运用除法的运算规律解决相关的实际问题。 | 文本资源：复习学过的运算律，运用运算律进行简算，对除法的性质提出猜想。 生成性资源：通过猜想、验证、归纳的完整过程，既再次体验探究过程又让学生充分感悟这种规律的存在。 拓展资源：教师补充部分提高题，激发学生的解题欲望。 | 用结构策略：在学习了减法的性质之后，学生学习本课完全可以自主进行猜想验证的全过程。但必须关注学生举例中出现的问题：当遇到不能整除的情况，学生会发现余数不同，因此认为发现了反例，但实际上商还是不变的。
类比、迁移 |
课例：《加法交换律》
学校：常州市新北区薛家中心小学 | 班级：四（2） | 学科：数学 | |||||||
课题：加法交换律 | 教师：姜博 | 日期：2011.10.20 | |||||||
一、教学目标 1.区分特殊与一般的差异，根据特殊对一般进行猜想， 2.掌握举例验证的方法以及规范的书写验证过程。 3.经历探索加法交换律的全过程，提炼规律探索的一般方法结构。 二、制定依据 1.教材分析 低年级阶段教材安排了一步计算的内容，本册教材的第三单元安排了两步混合运算，这些内容是学习运算律的基础。本单元教材的内容包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律的发现、总结、以及字母表示。并初步体验运算律可以帮我们进行简便计算。而稍复杂一些的乘法分配律则安排在下册教学。这样的内容安排无疑是点状的，也是割裂的，缺乏对所有运算律的整体感知，缺乏对加减乘除运算律之间的沟通比较，更缺乏由此带来的归纳探究过程的整体感悟。因此，本单元将做以下调整：一是将加法交换律利用观察猜想作为教结构的课，用一课时完成，加法结合律采用直觉猜想让学生尝试用结构，在此基础上进行加速度，乘法交换律和结合律进行类比猜想，迁移学习，用一课时完成。二是进行适当补充，教学减法的性质和除法的性质。三是把不变规律在课堂内完成，而共变规律结合相关练习和拓展，放到课外完成。 加法的运算规律教学作为教学结构阶段，而“加法交换律”是这个教学结构阶段的起始点，所以就显尤为重要。小学数学教材中的规律性知识体系中，加减乘除四种运算中的定律和性质都可以成为育人的载体和丰富的资源。加减乘除四种运算之间本身就存在着紧密联系：第一，减法是加法的逆运算，除法是减法的简便运算；第二，乘法具有与加法相类比的运算定律，除法与减法之间也有相类比的运算性质：第三，乘法与加减法之间有运算定律，除法与加减法之间也有运算性质。因此加法是其它运算教学的基础，而加法交换律则是规律性知识学习的起点内容，这一教学内容是学生建立起结构意识和结构化思维方式的关键，所以通过对“加法交换律”运用探究式的教学结构“提出问题，引发猜想，验证猜想，概括归纳，拓展延伸”开展教学，促使学生在这个运算定律的“教结构”的过程中，知道基本的规律性学习的结构和探究规律的一般方法和步骤，使学生形成初步探究规律性知识的能力和意识。从猜想到形成结论的验证的步骤，以及验证的格式，举例验证的要求，使学生知道验证时要有代表性（小学阶段学生运用不完全归纳法，主要采用举例验证的方法对规律性的知识进行验证）初步形成运算定律研究的方法结构（猜想、验证、归纳概括、延伸）；帮助学生初步建立结构意识和结构化的思维方式，为后续的主动研究其他的运算定律充分作准备。期望通过实践与研究改变以往让学生理解、记忆定律、运用定律进行规律性知识的教学方式，体现数学规律学习的重要教育价值，即培养学生的研究意识和能力。 2.学生分析 学生能熟练地进行一步运算和两步混合运算，在运算的过程中，不少同学已经初步感知到有运算规律的存在，但都是从个别现象中得出的。对于学生来说，很容易将其上升为规律，而缺乏科学严谨的归纳探究的过程。学生举例验证的时候往往只关注数据的不同，缺乏类的意识也就很难做到全面。归纳结论时，对于规律的表象学生是比较容易发现和理解的，但语言的叙述上可能会缺少严谨和完整，需要在教师的指导下逐步学会从描述现象上升为表述本质。 | |||||||||
教 学 过 程 | |||||||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | ||||||
常规 积累 | 口算： 32＋4= 1000＋10= 32＋150= 9＋7= 0＋799= 2000＋256= 150＋32= 7＋9= | 独立口算，校对结果 | 从常见的现象入手发现蕴含的特殊现象。 | ||||||
提出 问题
形成 猜想 | 1.初步感知加法交换题的特点 32+150=182 9＋7=16 150+32=182 7＋9=16 提问：仔细观察等式左右两边的式子有什么特点？ 指出：像这样两个结果相等的加法算式可以在中间用等号连接，写成一个等式。板书：32+150=150+32 9＋7=7＋9 2.比较表述差异，并介绍猜想 提问：比一比这两种说法，有什么不同？哪一种说法有道理，为什么？
回应：仅从这两题我们还不能说所有的加法算式交换两个加数的位置和都不变，所以这还只是我们提出的一个猜想。 （板书：提出猜想）
3.这个猜想是否成立呢？还需要进一步举例子加以验证。（板书：举例验证） | 观察并尝试表述特点。 预设： 交换32和150的位置，和不变。 交换两个加数的位置，和不变。
比较不同表述之间的区别。
| 通过观察和言说初步感知并尝试表述加法交换题的特征。
通过比较不同的叙述方式，帮助学生理解特殊和一般的区别，使学生明晰结论与猜想的区别。
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验证 猜想 | 谈话：如何验证呢？我们可以再写一些这样的算式，看看是否依然存在这样的规律？如果每人写十个，全班就有四百多个例子，在一定程度上就可以证明这个规律的存在。
第一层次：规范验证格式 1.呈现资源1，组织学生辨析 指出：举例时要满足等式成立的特征要求 2.呈现资源2、3、4、5组织学生比较验证格式，说说有什么不同，有什么想说的？ 指出：验证时，只有过程和结论都有了，才更有说服力。
第二层次：打开研究思路 1.提问：只举一个例子就能证明猜想成立吗？
2.呈现资源 提问：它举了不少例子，这样可以吗？ 打开1：如果举的都是10以内的数，那么只能验证在10以内两个加数的位置交换，和不变的规律是成立的。想一想，还可以举哪些类型？
打开2：有的同学不仅注意列举的类型不同，还关注到了0和1这样一些特殊的数。
第三层次：介绍反例的意义 在过程中有没有发现不成立的情况，如果有，就是找到了反例，就可以证明这个规律不成立。（板书：反例） | 尝试验证。 预设： 1.A＋B=C＋D 2.A＋B=B＋A 3.A＋B=C 4.A＋B=C B＋A=C B＋A=C A＋B=B＋A 5.A＋B=C B＋A=C A＋B=B＋A
观察比较几个验证的过程，从验证的角度看哪个比较有说服力。 修改完善验证格式，继续按规范验证。 预设： 1.只列举一个事例 2.列举事例多，但类型单一 3.能列举不同类型，但属于无意识
交流想法。 感悟：一个例子不足以证明猜想成立。
同桌互说。 有意识分类列举一般情况。 感悟：举例时要自觉地分类列举各种情况，从不同的角度举例，所举的例子尽可能的全面，涉及的类型尽可能的广。
自觉调整，例举特殊情况。 感悟：举例时要考虑一般和特殊两种情况，那么举例就更具有代表性。
知道：猜想不一定正确，可以通过举反例加以否定。
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通过不同资源的辨析，明确验证过程的科学严谨，不能是伪验证。
渗透不完全归纳的验证方法，指导学生进行规范的研究记录。
逐步形成分类例举和寻找反例的意识。知道要关注特殊数的举例。
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归纳 结论 | 1.提问：我们从不同的角度举了很多例子进行验证，并且没有出现反例，看来我们的猜想是正确的。可以下怎样的结论呢？试着写一写。（板书：归纳结论）
2.呈现资源，引导修正。 指出：要用比较简洁、准确、严密的文字语言表达结论。 出示课题：加法交换律 3.打开：你能用简洁的数学符号表示加法交换律吗？试一试。 指出：可以用不同的数学符号语言表达结论，一般用字母来表示：a＋b=b＋a
4. 梳理规律探究的步骤。 今天我们一起研究了加法中存在的一种运算规律——加法交换律。回忆一下，我们是通过哪几个步骤进行研究的？举例验证时要注意什么？ | 独立尝试写结论。 预设： 1.前提交代不清楚 2.能用文字完整表达结论 3.用“条件—结论—条件”的形式表达
讨论修正，知道用条件、结论表述结论的表达方式。
独立尝试。 预设： 甲数＋乙数=乙数＋甲数 ○＋□=□＋○ a＋b=b＋a
尝试提炼方法结构：提出猜想——举例验证——归纳结论 说说举例中的注意点：格式规范、例举全面、关注反例 | 从学生的基础出发提高学生对规律的表达能力和用字母表达的抽象过程。 初步感知完整规律表述应该包含条件和结论。
回顾反思体验学习全过程，形成探索规律的一般方法结构，为后续学习做铺垫。 | ||||||
拓展 延伸 | 1．学习了两个数的加法交换律，如果是三个数相加，任意交换两个加数的位置，结果会怎样呢？想一想，可以怎样交换位置呢？如果是更多数呢？ 2．今天我们是在整数范围内进行研究，这个运算律在小数范围、分数范围内还成立吗？ | 课后试着用今天的研究过程进行研究。 | 引导学生大胆猜想，扩展研究视角。 | ||||||
反思 重建 | |||||||||
课例：《减法的性质》
学校：常州市新北区薛家中心小学 | 班级：四（3） | 学科：数学 | |||
课题：减法的性质 | 执教：包琴 | 日期：2011.10.20 | |||
一、教学目标 1.在直觉猜想、自主验证、提炼概括的基础上进一步增强研究意识和形成清晰的认知结构。 2.清晰规律运用的前提条件，能灵活运用减法的运算规律解决相关的实际问题。 二、制定依据 1.教材分析 减法的运算性质在现行的苏教版教材中没有编排，只是在二年级用连减解决的实际问题和低年级的口算题组练习中有所渗透。因此，教师对于这一运算规律要不要教、怎样教、教到什么度，心中都没有把握。即使是部分教师意识到这一缺漏，借助练习进行了拓展教学，但对教学设计的思考相对缺乏整体和深入，缺少与已经学习过的部分数运算定律的沟通和类比，仅仅停留于理解和运用，而不注重研究意识的培养和研究方式的贯穿，不注重规律运用的判断和选择意识的培养，导致了这一内容在育人价值上的贫乏和窄化。 在本单元，我们将加法、乘法运算中不变规律（加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律和乘法分配律）的探索集中在一起进行呈现。又将减法、除法运算中不变规律（减法运算性质、差不变性质、除法商不变性质、除法性质）的探索集中在一起进行教学。这样的条状重组，将人为破坏的数运算规律的知识结构重新修复完整，一方面有助于教师整体把握知识间的紧密联系，整体设计学生的能力培养梯度。一方面也为学生提供了更多实践和反思机会，有利于学生整体和结构化地把握知识，为学生的类比猜想和结构思考提供可能，而且有利于学生形成主动探究的学习心态，在形成知识结构的同时建立起结构化的思维方式。 减法的运算规律教学将安排两个课时：一是连减性质，通过偶然问题引发学生对一般进行猜想，并通过分类比较突显规律简便使用的前提条件，这是规律探究教学至此的重点所在；二是差不变性质，通过天平实验引发学生根据观察进行猜想，从而揭示被减数与减数以加减方式变化有规律存在，这是学生理解的难点所在。 2.学生分析 学生在学习这一内容之前，可能已经对减法性质有了感性认识，他们中有一部分学生已经具有根据减数的特点，改变运算顺序进行巧算的直觉和敏感，但对规律形成的过程缺乏了解，对规律的表述不严密清晰，不利于形成系统而科学的研究意识和能力。更重要的是在应用的过程中，对规律的使用缺乏主动的判断和选择意识，如何根据数据特点灵活选择运算形式，是个大问题，需要培养学生对数据的敏感意识和对规律的判断选择能力。 学生已经经历了加法运算定律的“教学结构”阶段和乘法运算定律的“运用结构”阶段，对于研究的路径、研究的范围和材料的有序罗列等研究方法有了一定的认识和积累，初步具备了研究的意识和能力，但必然还有少部分学生，由于自身的惰性或能力差异，在形成猜想、分类验证和概括提炼上有困难，需要过程中教师的指导和榜样的影响。 学生学习这一内容最大的困难在于对规律的特点的把握，对规律使用的前提条件缺乏敏感度，语言的表述也是学生十分困难的地方。因此，在教学中，教师要特别注意增强学生对规律的特点把握，对规律使用的前提条件增强敏感度，帮助学生把多种分散、局部的认识，进行聚类、清晰化的处理，形成相对完整、丰富的概括，提炼和抽象出“减法运算性质”的结论表述。
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教学过程 | |||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | ||
常规 积累 | 1.凑整练习。 2.说说学过的运算律和研究的方法过程。 | 同桌一人出一个数练习。 相互说一说。 | 帮助更多学生形成自主研究的能力。 | ||
开放 式 导入 | 出示：小明买一个笔袋17元，一支钢笔13元，付了50元，应找回多少元？你能帮小明解决这个问题吗？你有几种不同的方法？ | 学生试算。 | 创设问题情境，引发学生已有的经验。 | ||
探究 减法 的 性质 | 引发猜想： 1.呈现资源，观察分析，他们的方法都有道理吗？这两种方法之间有怎样的联系和区别呢？ 相机板书： 50-17-13=50-（17+13）
2.在这个问题中，我们发现两种算法都有道理，但在平时我们规定同级运算要从左往右依次计算，不能随意改变它的运算顺序，这里却先求了两个减数的和，还使计算简便了，由此我们可以提出一个怎样大胆的猜想呢？ | 预设： ①50-17-13 ②50-（17+13） =33-13 =50-30 =20（元） =20（元） 同桌相互说一说，再指名交流。 预设： ①一种方法是一个一个减，一种方法是合在一起减； ②三个数没变，位置也没变，结果也没变，只是运算顺序改变； 学生轻声说一说，再交流。
预设： ①一个数连续减去两个数就等于一个数减去这两个数的和。 ②所有的连减运算都能改变运算顺序，结果不变。 | 在观察分析过程中进行第一次语言渗透。
通过问题情境与运算规则的矛盾冲突 ，引发学生的猜想。
在指导学生表述自己的猜想时进行第二次语言的渗透。 | ||
举例验证： 1.是不是所有的连减运算，都能够用一个数连续减去两个数或者用这个数减去这两个数的和，而结果不变呢？我们需要进行验证。比一比，谁举的类型全？
2.组织交流：我们是在怎样的数的范围里进行举例验证的？类似的例子还有很多，有没有反例存在？
3.小结：通过我们大家的努力，我们对不同位数、整十、整百数、减数为1或0的特殊情况、还有能凑整的和不能凑整的各种类型都举了大量的例子，而且都没有发现反例。 |
学生自主展开验证过程。
过程中如果学生对算式的特征还不清晰或者举的都是能凑整的单一的例子，及时指导。
小组交流：互相说说分别举了哪些类型的例子？有没有反例存在？
| 通过验证，进一步清晰减法性质的结构特点，明确规范严谨的研究过程，对从特殊发现一般的数学方法有更深的体悟。
| |||
概括结论： 1.现在你能把我们研究得出的结论表达出来了呢？
2.交流比较，修改完善。
3.揭示课题：减法的性质 | 学生独立用文字写一写，并用字母表示，完成后相互说一说。 预设： ①连减算式中，不改变位置，改变运算顺序，结果不变； ②一个数减一个减数再减一个减数等于这个数把后两个数的和一起减去； ③连减运算中用一个数连续减去两个数或者用这个数连续减去这两个数的和，差不变。 | 帮助学生从直译、抽象表达等问题出发，感受数学结论的严谨和清晰。
| |||
灵活 运用 | 1.这里有一些同学例举中得到的等式，哪些等式运用了减法的性质使计算简便了呢?请同学们分分类。 ①452－（52+189）=452-52-189 ②54－7－3=54－（7＋3） ③158－58－63=158－（58＋63） ④45－18－16=45－（18＋16） ⑤350－80－20=350－（80＋20） ⑥154-（26＋14）=154－26－14 2.怎样很快算出还剩多少元？ 原有189795512450用去45954834用去2548052150还剩3.如果以算式的形式出现，你能完整地写出简便计算过程吗？ 189-45-25 795-（95+480） 512-48-52 450-34-150 | 判断哪些运用规律使计算简便了？独立分一分类，再交流。
快速反应，同桌互说。
独立计算，相互交流，怎样使计算简便？运用了什么运算律？ | 通过分类判断，进一步清晰规律简便运用的前提。
增强学生对规律的特点把握，对规律使用的前提条件增强敏感度。 | ||
拓展 延伸 | 学习了减法的性质，你又有什么大胆的猜想？ | 纵向：更多数连减 横向：除法运算中能否改变运算顺序 范围：小数、分数 | 引导学生对基本研究进行拓展和变式的思考。 | ||
反思 重建 | |||||
课例：《乘法分配律》
执教者 | 孙网福 | 班 级 | 四（5）班 | 学 科 | 数 学 | |||
课 题 | 乘法分配律 | 教 时 | 1 | 日 期 | 2012.3.15 | |||
一、教学目标： 1、知道乘法分配律的产生范围、具体内容和字母表达式。 2、进一步建立、形成研究意识，学会按照步骤独立开展研究活动。 3、知道可以通过类比进行合理猜想，并能自觉对所获得的结论进行拓展性研究。 二、制定依据： 1、内容分析 乘法分配律的学习教材是通过生活中购买衣服的具体情境引入的，对于学生的学习而言，这样引入会使学生形成对乘法分配律特点的单一的关注，忽略了沟通学生之前学习的运算定律及运算律系统研究的发展过程，学生在以后的综合运用中就会缺少前提的判断。为了改善这一现象，避免在以后的运用中出现思维的混乱，我们尝试从学生已经研究的范围（同级运算）出发，交代乘法分配律在整个运算律系统的确定范围（前提），让学生思考如果在3个数的运算中既有加又有乘，可能出现几种情况？在这些可能中，哪些改变运算顺序后，结果仍旧保持不变？在分析和沟通中发现运算律的存在，激发他们主动研究的兴趣，逐步培养起学生发现问题的能力，提高学生的研究意识，同时建立清晰的运算律知识系统，形成结构意识和结构化的思维方式。 2、学生实际 知识基础：乘法分配律对于学生而言，并不是完全陌生的。在二年级学生乘法口诀时，学生就能运用拆分的方法寻找乘法口诀的结果；三年级在学习乘数是一位数的乘法时，也能把一个三位数拆成整百、整十和一位数进行计算；两位数、三位数乘两位数的竖式计算中都是乘法分配律的思想；实际运用中也有分开算和合起来算总数的经历……这里的“拆分”就是对乘法分配律的一种渗透。 能力基础：学生已经学习了加法、乘法的交换律和结合律，减法、除法的性质。不仅掌握了这些运算定律、性质的内容，而且能灵活运用这些运算定律进行巧算和解决一些实际问题，运用中学生能够体会到运算律的运用价值；更重要的是，学生具备了初步的研究意识和能力。在上学期的教学过程中，我发现全班大多数同学知道完整的研究步骤，知道用举例的方法验证猜想，知道举例验证时除了考虑一般情况外，还要考虑特殊情况，知道要思考有没有反例，知道如何正确用字母形式表示所获得的结论……（前期的铺垫中还需要进一步对以上内容进行统计，分析班级学生的能力整体情况） 能力障碍： 乘法分配律相对于交换律、结合律，它的变化更复杂多样，学生对于混合运算所表示的算式意义理解能力较弱，这会严重影响学生对乘法分配律特点的把握，学生较难发现算式前后发生的复杂变化，导致学生用文字来表达乘法分配律的内容时有障碍。 因此我们要继续深化前一阶段对归纳探究课型的研究，在帮助学生掌握乘法分配律内容的同时，培养学生的研究意识和能力。 | ||||||||
教学过程 | ||||||||
常规 积累 | 下面各题怎样算简便？ 38＋145+62+55 32×125×25 512—77—23 1200÷25÷4 364+89-64 125÷25×8 | 各3题，同桌互查交流 回顾以前学习的运算定律 （突出同级运算中存在运算律） |
回顾已有，为进一步学习做准备。 | |||||
发现并形成猜想 | 揭示研究内容： 在同级运算符号参与的运算中存在运算定律，那么，有不同级运算符号参与的运算中是否也存在运算定律呢？ 这节课我们就来研究这样的情况。 问题：如果是两种不同级的运算符号混合形成算式，会有哪几种情况呢？
今天先研究其中一种：加、乘。 想一想，有两种运算符号的算式至少需要几个数参与运算？
“放”： 在100、4、25这三个数中添上＋、×，也可以使用（ ）。 看看可以组成哪些意义不同的两级运算的式子，能不能把所有的情况都写出来？写好后说说运算顺序是怎样的。 （为了便于研究）注意：三个数的位置不变。
“收”： 呈现（2）（3）
100+4×25 100×4+25 可以改变它们的运算顺序计算吗？ 有括号的呢？
104×25表示104个25相加的和，根据乘法的意义想想125个4还能怎样计算？
根据我们前面学习的经验，运算规律中的数会不会变化。所以这么多算式哪一个能帮助我们研究规律。 板书：100×4＋25×4的计算过程
既然这里的结果相等，我们就可以用等号连接。 仔细观察等号左右的两边， 有什么相同？又有什么不同？
追问：运算顺序分别是怎样的？
小结特点：左边一种先求和再求积，右边一种先求积再求和，虽然运算顺序改变，但因为它们都算的是104个25的积，结果不变。 形成猜想： 从刚才的发现中，你能形成什么猜 想？ |
＋ — ×÷ 有序说出4种组合情况
学生独立思考并记录 学生可能： （1）改变数的位置(少数） （2）无序、有遗漏 （3）有序、全面 100+4×25 100×4+25 （100+4）×25 100×(4+25)
交流怎样有序、不遗漏地写全
独立计算 思考中发现 交流 （1）100+4×25 100×4+25 不能改变它们的运算顺序计算，否则结果会改变。 （2）收（100+4）×25， 想一想，说一说 指名交流，可能： 100个4加25个4 99个4加26个4....
同桌交流 同：数字相同、 结果相同 不同：3个数字——4个数字运算顺序不同：左边先求和再求积，右边先求积再求和， 意义不同但有联系： 左边表示两个数的和乘一个数，右边表示两个数分别去乘那一个数。 是不是只有这三个数有这样的规律？ | 沟通同级运算中的运算定律与两级运算中的运算定律之间的联系与区别，促使他们更主动地进行思考，进一步建立起结构意识和结构化的思维方式。
开放性的问题渗透了有序思维的培养；由教师统一规定三个数，只是为了便于后续交流讨论的集中性。
通过一个开放性问题，引导学生主动猜想，形成基础性资源。
渗透发现改变运算顺序后，结果不变的算理。初步感受简便。
感受乘法分配律的特点。
引导学生从一个特殊、偶然的问题出发，去归纳探究于其中的一般又是必然的规律。 | |||||
验证猜想和归纳概括结论
| “放”： 是不是所有的乘、加这样组合的算式都有这样的规律？如果换3个数，这个规律还成立吗？ 难道这仅仅是一个偶然现象吗?
要能说明我们的猜想是不是成立，接下来应该怎么办？
举例验证要注意什么呢？互相提醒
带着互相的提醒，试试看 过程中可以使用计算器来计算。 如果猜想确实成立，想一想如何下结论。
过程中指导：不符合特点的错误过程中呈现，辨析。 “收” 1、收集一些典型的例子呈现出来。
强化学生寻找反例的意识。问：举了这么多例子，还可以举很多，有没有反例存在？ 2、如何进行归纳概括。 呈现表述不清或没有结论或条件不完整的 3、揭题：乘法分配律。 |
举例验证
数量多、类型全、符合要求
可能错误： 数的位置可能会变 可能漏加括号 分别乘可能会遗漏一组 分开乘时相同的数会出错。
有能巧算的， 如125×8+125×3 指出左、右边哪一边计算容易 有特殊数0、1的 有一般情况的
尝试用字母表示 评价、分析、补充 |
让学生独立举例验证猜想正确与否，而验证的过程，也是学生逐步明晰规律变化特点的过程。
既要有可巧算的特殊事例，又要有一般事例，所选取的数范围也较广，尤其要关注那些失败的事例。
鼓励学生尝试用自己的语言进行表述。 | |||||
灵活运用乘法分配律 | 1、下面几题都运用了乘法分配律。如果你来计算，更欣赏哪几题的做法？为什么？ 43×102 =43×100+43×2 69×8+31×8 =（69+31）×8 23×（45+36）=23×45+23×46 25×8+25×6 =25×（ 8 + 6） 2、看看下面几题是用了乘法分配律简便，还是不用乘法分配律简便？ |
说明想法
61×（20+7） 指名说 129×9＋71×9 说理由 54×（23+27）49×201互说 | 感受运用乘法分配律使计算简便的前提，渗透灵活计算。 | |||||
拓展 延伸 | 今天我们研究的是乘法对加法的分配律，想一想，还可以研究哪些类似的情况？ 根据这样的研究过程、研究方法，今天回家选一种情况进行研究，明天交流。 |
乘法和减法、 除法和加法、 除法和减法 | 引导学生对已获得的基本结论作纵向延伸性研究。这样，既可以增强学生的结构意识，又为学生自主开展研究提供了内容和载体。 | |||||
实践后的思考：
本单元的新知识在以前的数学学习中都有相应的认知基础，反过来，学了本单元的新知识又可以促进学生更深入认识原来学过的知识和方法。我们在教学时，充分利用了主题图的故事性，逐步形成连贯的情境、后续的问题，使本单元的教学形成一个连贯的整体。
1.在情境中初步感知规律
数学源于生活，生活处处有数学，用学生身边事情引入新知，很好地调动学生的学习积极性，在学生交流中提取有用的信息，为下面的探究呈现素材。
2.在例举中验证规律
我们充分让学生自主活动，探究规律发现的过程。一方面组织学生写出类似的等式，帮助了学生积累感性材料，另一方面丰富了学生的表象，进一步感知了各种运算律。学生在充分感知个性创造的基础上，构建了简单的数学模型，从用符号表示规律和用含有字母的式子表示规律，使学生体会到符号的简洁性，从而发展了学生的符号感。
所有探索过程以“加法交换律”为雏形，唯一不同的是由于学生已有了探索前面例子的经验，在后续的教学中我们完全放手，稍加点拨便于引导学生完成探索过程。抓住加法交换律和加法结合律以及乘法交换律和乘法结合律的内在联系，利用学生已有知识经验，把加法交换律的学习，迁移类推到加法结合律、乘法交换律及乘法结合律的学习中来。学生在教师的点拨和引导下，逐步经历观察——感知——理解的过程，充分符合学生的认知规律。这里主要通过学生讨论、交流、汇报等环节，给学生一个自主的空间。由于“运算律”属于理性的总结和概括，比较抽象，学生并不容易理解和掌握，因此多引导学生独立发现，思考、解答，有利于学生概括出相应的运算律。
几个运算律都是从学生熟悉的实际问题的解答引入，让学生通过观察、比较和分析，找到实际问题不同解法之间的共同特点，初步感受运算规律。然后让学生根据对运算律的初步感知举出更多的例子，进一步分析、比较，发现规律，并先后用符号和字母表示出发现的规律，抽象、概括出运算律。
本单元的教学，应该说学生经历了探索、发现、反思的过程，对加法交换律和加法结合律以及乘法交换律和乘法结合律有了充分的认识和自己的理解。
关于几种运算律的特点，虽然在教学中让学生进行了观察和描述，但并未将两者放在一起对比，致使一部分学生在运用时出现模糊现象。在学完运算律后，应给学生一定的时间比较运算律的区别，加深学生的理性认识，促进学生思维灵活性的发展。
形概念教学的专题研究总结报告
整理人：吴春燕
小学阶段的形概念教学主要分四个阶段：
（1）直观认识阶段；（2）要素认识阶段；（3）类型认识阶段；（4）特征认识阶段。
一、形概念教学的问题存在
演绎概念的一般教学模式（概念揭示在前，巩固辨析在后。吴老师称之为“亡羊补牢“式）
从一个具体事例中引出概念 辨析记忆概念 运用概念解题
（问题：概念认识单一，认识过程不够清晰。）
案例1：角与直角的认识（形式抽象≠过程抽象）
1、从生活中的建筑物上抽象出角，呈现概念。（教师抽象，媒体抽象）
2、辨析各种图形，哪些是角，哪些不是角。
3、折角的过程中介绍特殊的直角。
问题：（1）生活中的角与数学中的角混淆。（2）课件演示替代学生经历抽象的过程。
案例2：物体的认识
1、对各种物体进行分类，出现为分类而分类的现象，不注意对本质特征进行提炼就直接命名。
2、辨析概念，记忆名称。
3、例举生活中的长方体、正方体、圆柱体等，
问题：（1）关注活动，不关注语言表达。（2）关注结果，不关注过程经历。
案例3：三角形的认识
1、用彩色小棒搭你喜欢的三角形。
2、对各种各样的三角形形进行分类。
3、说明等腰三角形、等边三角形的对称性。
问题：（1）定位不清晰（类型认识和特征认识合在一起）。
（2）只关注结果，不注意研究方法的教学。
存在的主要问题：
1、概念形成过程体现不够，学生对形成过程缺乏参与体验。
2、概念呈现比较狭窄单一，学生对概念内涵缺乏丰富认识。
3、教师替代学生表述概念，学生对概念表述缺乏实践机会。（只是在机械模仿和记忆）
4、概念认识定位不够清晰，学生对图形发展缺乏阶段认识。
教师对概念教学过程中的育人资源开发不够。
二、形概念知识的结构分析
（一）空间图形（一级框架）
1、图形认识与论证：图形认识 一个图形特征研究（小学阶段的特征研究主要是直观认识，实验操作验证，会计算，全画图；中学阶段的特征研究重点在逻辑证明） 两个图形关系研究。
2、图形测量与计算：线的测量与计算 面的测量与计算 体的测量与计算。
3、图形位置与变换：图形位置 图形变换。
（二）图形认识的框架（二级框架）
1、直观认识：物体或图形的外部认识。
2、要素认识：角和直角，三角形和四边形的认识（边角），物体的顶点、棱和面。
3、类型认识：图形按边角分类，物体的柱体、锥体。
4、特征认识：等腰三角形与等边三角形的认识（边角数量关系），长方形与正方形的认识（边角数量关系），平行四边形、梯形的认识（边角数量关系，边位置关系）
认识过程：从外部互内部，从要素到类型，从一般到特殊。
三、形概念教学的育人价值：
藉助于概念教学过程，可以使学生经历材料感知——辨析比较——归纳提炼——抽象命名概念的建构过程，在这个过程中：
1、可以帮助学生形成对概念内涵的丰富认识。
2、可以帮助学生提升比较和分类，概括和抽象的能力。
3、可以帮助学生提升准确简炼和严密的数学语言表达水平。
四、形概念学生学习困难分析：
1、难以理解抽象的概念语义，常会出现概念不清晰或者混乱的现象。需要在过程中进行辨析。（规范语言的及时提炼）
2、学生面对大量材料很难提取本质特点进行分类或聚类分析。需要帮助学生透过现象看本质。
3、学生很难用正确语言表述。引导学生体会、比较。
五、形概念教学的一般原则：（详见《小学数学教学新视野》P156）
六、概念形成教学结构：（详见《小学数学教学新视野》P156结构流程图）
1、分类分析的案例：《轴对称图形》（分类分析的前提是同时提供大量的材料，相当于并联呈现）
常规积累：呈现大量图片，设疑（这些是属于什么类型的对称图形，学了今天的知识你就能解释它们为什么这样漂亮）
第一部分：对称、对称轴、轴对称图形的概念。
（1）提供材料（对称与不对称，材料要丰富，不在多而在全），学生对材料对折后分类（分完自觉说说为会么这样分，语言动作的连贯）。
(2)学生表达图形对折后的感受和体验(“两边一样”、“相同”、“没有多余”、“正正好好”，完全重合的内涵)
（3）辨析（折与对折；两边一样与重合后一样；部分重合与完全重合）
（4）对称图形的命名，对称轴的命名与画法（强调直线，点划线），轴对称图形的命名。
第二部分：找对称轴（语言表达融在过程中）。
（1）折——直观找对称轴（动手操作折出对称轴）
（2）画——观察找对称轴（直观判断对称轴的位置）
（3）想——想象对称轴（感受不同位置的对称轴）
总结：再次呈现大量图片，学生想象对称轴的位置，解疑。
2、聚类分析的案例：《圆的认识》（相当于串联呈现材料）
常规积累：生活中物体的圆形的面，沿物体表面描圆。
第一环节：大量输入基础上的抽象本质。
（1）介绍圆规画圆：定点，定长，旋转圆规（或旋转纸张）
（2）介绍操场上画圆的工具：定点，定长，手推车旋转。（播放体育老师画圆录像）
（3）演示绳系红球空中画圆：定点，定长，红球旋转。
（4）聚类分析提炼抽象本质属性，命名圆心，半径。
第二环节：理解原理基础上的举一反三。
学生动手实践创造画圆的工具（图钉、绳子、铅笔旋转）
第三环节：大量观察基础上的发现规律。
（1）每个学生画两个圆：等圆，大小圆，同心圆……
（2）发现：圆心决定位置，半径决定大小。
七、形概念教学的具体建议：
（一）直观认识的案例：《认图形》。
1、要注意引导学生经历从生活中的物体形状提炼出其本质属性的抽象过程。
2、要注意与学生形成语言上的互动。既要注意引导学生用自己的语言来表述种类物体的特点，还要注意在学生语言表达的基础上进行概括提炼和抽象命名。
3、要注意在活动过程中适时地提炼学生模仿和练习语言的机会。
（1）“看一看、说一说”的活动：左边学生说物体特点，右边学生对应说特体的名称，再交换说。
（2）“摸一摸、猜一猜”的游戏：左边学生边摸边说特体特点，右边学生根据特点猜摸索的是什么物体，再交换。
（练习时名称不需要让学生多说，关键在于描述物体的特点）
（二）要素认识的案例：《角与直角的认识》。
第一部分：上位概念角的认识。
1、提供各种平面图形中的一个部分，学生对材料进行分类（相当于把后面的习题提前）
2、捕捉学生半成品资源：曲边与直边，连接与不连接。
（学生经历一级分类过程：凸显材料中直边的顶点的特征。）
3、学生经历二级分类的过程，提炼抽取本质特征并命名。
4、找生活中平面图形中的角：什么物体哪个面哪两条直边所夹的部分是角，同桌合作找）
第二部分：下位概念直角的认识。
1、对各种类型的角继续进行分类。
2、介绍三角尺上的直角，用纸折出一个直角。
3、找生活中平面图形中的直角并进行验证。
（三）图形特征认识的教学策略——长程两段式的教学策略
1、等腰三角形与等边三角形特征认识——教结构。
从图形边、角的数量关系进行研究。
从图形的对称性研究。
2、长方形与正方形的特征认识——用结构。
3、平行四边形的特征认识——用结构 和 教结构
图形边、角的数量关系 边位置关系
4、梯形的特征认识——用结构。
教学过程：
发现猜想 —— 实验验证 —— 概括结论
边、角，对称性 度量法，重叠法
[案例：长方形与正方形的认识]
教学建议：（1）注意凸显图形认识的基本方法和研究角度。
（2）注意凸显各个图形间的区别和联系。
第一环节：长方形认识的教学结构。
1、引导学生回忆图形认识的一般方法，即从边和角的角度出发去研究和发现图形不同于其他的特殊性。
2、学生从边和角的角度研究长方形的特点，形成猜想。
3、学生运用重叠法、测量法对猜想进行验证。（不完全归纳的过程）
4、小结：（1）长方形与一般四边形的区别与联系。
（2）长方形认识和研究的角度。
（3）验证猜想的多种方法。
第二环节：正方形认识的运用结构。
总结拓展：（1）长方形、正方形与一般四边形的区别与联系。
（2）反思学习过程，提炼图形认识与研究的方法结构。
（3）运用图形认识的一般方法和角度还可以研究哪些图形？（如平行四边形和梯形等）。
课例：《轴对称图形》
学校 | 常州市新北区薛家中心小学 | 学科 | 数学 | 班级 | 三（3） | 人 数 | 51 | ||||||||
课题 | 轴对称图形 | 教时 | 1 | 执教 | 钱敏 | 日期 | 2012.12.6 | ||||||||
教学目标： 1．初步认识轴对称图形，体会轴对称图形的基本特征，掌握轴对称图形的概念。 2．能准确判断一个平面图形是不是轴对称图形，并找出轴对称图形的对称轴。 3．感受生活中的对称美现象，领略轴对称图形的美妙和神奇。 4．经历和体验“材料感知—分类分析—归纳提炼—抽象命名”概念建构的过程，逐步提升学生比较和分类、概括和抽象及数学语言的表达能力。 制定依据： ★ 内容分析 “轴对称图形”属于概念类课型。不同版本的小学数学教材，把“轴对称图形”的学习被安排在不同的年级，但却都演绎了“观察发现→抽象概括→丰富体验”这一学习模式。先通过对类似于“天安门、飞机、奖杯”等对称物体的观察，以及寻找具有对称特征的物体，唤起学生对“对称”的感性体验，帮助学生明确生活中的对称现象。接着把上面的物体抽象为平面图形，引导学生通过对折发现这些图形“对折后能完全重合”，从而描述轴对称图形的概念——对折后完全重合的图形，初步感受轴对称图形的基本特征。然后运用概念判断学过的平面图形中哪些是轴对称图形，将学生零散的经验在活动中进一步清晰，丰富对轴对称图形的认识。最后通过“创造”、“找”轴对称图形，让学生进一步掌握轴对称图形的特征。通过“搜集”、“阅读和欣赏”等活动，让学生体验“对称”的科学和美学价值。 通过分析研究，我们认为如何借助已有的经验，把握概念的本质内涵，帮助学生将模糊、浅显、直观直觉提升为对轴对称图形概念的清晰认识，是本节课首要学习目标。为此我们采用“材料感知——寻找相同中的不同（分类分析）——归纳提炼——抽象命名”的教学结构，从提供大量的感性材料的基础上，让学生经历概念的形成过程。同时在过程中通过教师有目的地引导与提炼，形成对“轴对称图形”这一概念中三个关键词“对折”“完全重合”“对称轴”的理解支撑，最后形成了学生对“轴对称图形”、“对称轴”概念的内化。在课的第二环节，通过对辨析比较从而深入感知的概念，为此我们设计了让学生通过对“对称轴”找、画、想的活动递进，让学生的思维逐步从具体形象向抽象推进。最后再次引导学生回到生活，用所学知识理解生活中的美。
★ 学生实际 “对称现象”广泛地存在于日常生活中，人类创建的文明史中，例如，许多艺术作品、建筑设计中都体现了对称的风格。所以，学生对于“对称现象”并不很陌生，再加上学生的学前教育，从幼儿开始，就有机会进行折纸、剪纸等活动，有时也用“对称”来描述一些现象。尽管如此，学生对“轴对称图形”的认识依然比较模糊，还有一些偏差。首先，学生认为“两边一样”的图形，就是轴对称图形，把“对称”与“完全相同”混为一谈；其次，什么是物体的对称，什么是平面图形的对称不加区分，认为是一回事；同时，由于学生之间家庭环境、生活背景的不同，所积累的对于“折”“对折”“重合”“部分重合”“完全重合”“完全相同”等关键词的理解存在差异甚至偏差。 | |||||||||||||||
教 学 过 程 | |||||||||||||||
教学 环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | ||||||||||||
丰富感性材料（3’） | 谈话：今天老师带来了一些图片。 课件呈现图片资料：人民大会堂、故宫、巴黎埃菲尔铁塔、伦敦塔桥、印度泰姬陵、东方明珠塔、京剧脸谱、民间剪纸艺术…… 提问：看了以后，有什么感觉？图片上的这些建筑、艺术品有什么共同的特点？
| 在音乐声及教师的解说中欣赏图片。 谈自己看过以后的感受。 |
感受 “对称” 给生活带来的美！ | ||||||||||||
分类、比较 形成、概念 （12分钟） | 谈话：今天老师还带来了一些平面图形。
提问：你会把这些平面图形对折吗？ 要求：老师为每一位同学准备了这些平面图形，请大家先把这些平面图形对折，然后再把它们分分类。
|
学生边操作边思考，预设：根据图形是否能在对折后重合进行分类 |
“对折”和“完全重合”是“轴对称图形”概念中的关键词。学习活动的推进从“对折”入手，使学生的操作活动有了清晰的方向。学生在对折的过程中感知学习材料的特点，并将材料对折后进行分类分析，在寻找不同中归纳提炼出“对折后完全重合”，直接指向“轴对称图形”的本质特点。
| ||||||||||||
学生活动时捕捉并呈现“分类”的资源。
组织交流：让学生介绍对折后发现什么？按什么标准将图形分成了哪几类？ 与学生互动交流中重点解决： （1）明确“折”与“对折”； （2）明确“两边一样”与“重合后一样”；（3）明确“部分重合”与“完全重合”。
| 资源预设： （1）一类是对折后重合的，另一类是对折后不重合的。 （2）一类是对折后的两边一模一样，另一类是对折后两边不一样。 （3）一类是对称的，另一类是不对称的。 | ||||||||||||||
揭示概念：我们把这些平面图形叫做“对称图形”。这些对称图形特殊在哪里呢—我们发现两边对折以后都能找到这条“折痕”。 示范：我们可以用“点划线”来表示这条折痕，这条直线就叫“对称轴”。凡事能找到“对称轴”的平面图形我们就叫它为“轴对称图形” |
同桌描述：什么是“对称轴”“什么是轴对称图形” | ||||||||||||||
观察 操作 深入 感知 （15分钟） | 谈话：我们认识了轴对称图形，那么怎么来判断呢？关键是要找到对称轴！下面我们就一起来找一找我们认识的一些平面图形中的对称轴。
要求：动手折一折，想一想是不是轴对称图形是不是只有一条对称轴，会不会有两条或更多的对称轴呢？
呈现学生画出的不同的对称轴，质疑。
| 学生可能：对折，看看两边是否完全重合；找出对称轴。 学生先观察判断，再操作判断。 预设： （1）把平行四边形看成了“轴对称图形”； （2）三角形是不是轴对称图形产生争议。 （3）圆有许多条对称轴。 （4）正方形和正五边形的对称轴没有找全。 明确：有的特殊三角形与特殊的梯形是轴对称图形。 感悟：有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条。 | 本环节分三个层次，在判断的过程中，力求体现思维的递进性，从第一层次的先看再折，到第二层次的直接画对称轴，到第三层次找更为复杂图形的对称轴，不仅让学生不断感受“对称轴”位置的丰富性，同时让学生的思维逐步从具体形象向抽象推进。 | ||||||||||||
思考想象 拓展认识 （8分钟） |
提出要求：现在不能用折的方法来找对称轴，你能通过找两个点来帮助我们画出它们的对称轴呢？
| 学生直觉判断，画出对称轴。图1感受连接顶点与底边中点画对称轴的方法；图2不仅感受画的方法，重点在于怎样怎样依次画出所有的对称轴。 |
每一层次重视材料准备的丰富性与多样性。 组织交流不面面俱到，而是找准学生的疑难问题重点突破。 | ||||||||||||
提供一些生活中常见的图形：
提出要求：想象对折的过程，用手划出他们的对称轴。 | 学生观察想象后用划出对称轴。 预设：个别图形的对称轴条数与位置有争议。 | ||||||||||||||
开放的延伸 （5分） | 请同学们到生活中去找一找轴对称图形。 | 学生观察寻找生活中的轴对称图形。 预设：直接说某物体是轴对称图形。 学生体悟：“对称”物体，只是某一个面是“轴对称图形”。 | 让学生感受到，轴对称图形是一个平面图形，与生活中的“对称”现象是两个不同的概念。 | ||||||||||||
小结：对称是一种美，它给人平衡、匀称、圆满的感觉。人们真是利用了对称美，创造了这些奇迹。 你能想办法也创造出美丽的轴对称图形吗？ | |||||||||||||||
课例：《圆的初步认识》
学校 | 常州市新北区 薛家中心小学 | 学科 | 数学 | 班级 | 五（4） | 人数 | 47 | |||
课题 | 圆的初步认识 | 教时 | 1课时 | 执教 | 包惠萍 | 日期 | 2012-12-6 | |||
※ 教学目标： 1．使学生从本质特征上认识圆，掌握圆的特征；了解圆的各部分名称。 2．会用字母表示圆心、半径、直径；理解并掌握在同圆（或等圆）中直径与半径的关系。 3．能正确熟练地掌握用圆规画圆的操作步骤。 4．培养学生动手操作、主动探究、自主发现、交流合作的能力。 ※ 制定依据： ★ 内容分析： 圆是指平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹。教材对圆的认识分为两步来完成，第一步是低中年段在学生初步认识平面图形时就给学生圆的初步形象，随后在平面图形的单元中不断地巩固；第二步是在五年级下册对圆进行较为系统的认识。使学生对圆的各部分名称、圆的周长和面积进行深入地学习。 本段教材在对学生认识圆的过程处理上主要是认知、操作为主。圆各部分的名称和作用是直接给予学生，没有提供给学生一个充分认识、感悟圆本质的机会。使得学生不能对构成圆的本质进行了解。 基于对教材的理解，我觉得为了让学生能充分地认识圆的本质特征。应让学生经历聚类分析的过程。只有这样，才能使学生对圆的本质即定点、定长和旋转有深刻地体会。所以，在本课中我让学生通过在不同背景下画圆，对圆的本质不断地进行聚类的过程。并在此过程中不断给予学生说的机会，加深对圆本质的认知。并且，通过自主创造画圆工具的过程再次对圆的本质进行巩固。随后，通过画圆活动帮助学生丰富对圆的认识及圆各部分之间的关系与作用。 ※ ★学生实际： 学生在学习本课之前，对平面几何图形中点、线、面以及轴对称图形等基本概念已经有了初步的认识。加之“圆”这一图形在生活中应用较多，比较常见。所以，学生对“圆”有一定的感性认识，能根据实物判断是否是圆。但他们没有经历过从数学的角度认识圆。特别是认识圆这一图形的本质特征。学生在学习“圆”之前，已经对一些常见的平面图形有过较为深刻的认识，在学习的过程中也积累了一些方法，如：“折、量、画、数、比（估）、看、议”等。这些方法可以为本节课的学习打下一定的基础。 | ||||||||||
教 学 过 程 | ||||||||||
教学 环节 | 教 师 活 动 | 学 生 活 动 | 设 计 意 图 | |||||||
常 规 积 累 | 1．回忆一下，我们学习过了哪些平面图形？同桌相互说一说。 2．大家课前都找了表面有圆形的物体，能把这圆画在白纸上吗？ 一边画一边思考，圆与已经学过的三角形、四边形等平面图形有什么区别？ 交流后指出：圆是平面上的曲线图形。象三角形等都是直线图形。 3．今天，我们一起研究平面上的曲线图形——圆。（板书） | 对以前学习过的平面图形的知识进行复习与巩固并和同桌相互交流。
学生沿着生活实物上的圆进行描边。
学生把已学过得平面图形与圆的区别。 | 通过回忆以前的图形知识为本节课的认知巩固基础。
对圆的形状进行更为深刻的认识。 | |||||||
圆
的
原
理
认
识 | 一、不同情境中画圆的输入 1．在数学中有专门画圆的工具——圆规。 老师用圆规在黑板上画一个圆。观察我是怎样画的。 老师示范用圆规画圆。（先确定一个点，再拉开一定的距离，接着旋转一周） 2．你们能用圆规在纸上画一个圆吗？ 资源： 学生旋转纸来画圆。 收：① 让学生展示自己不同的画圆方法。并说一说自己的画法。 ② 请比较一下，在黑板上画圆和在纸上画圆有哪些相同和不同的地方？ 追问：为什么在黑板上画圆的时候只可以旋转圆规，在纸上画圆不仅可以旋转圆规，还可以旋转纸呢？指出：这是因为画圆的背景不同，黑板上画圆的时候，黑板是固定的不能旋转，所以，只能旋转圆规；纸上画圆，纸可以旋转，圆规也可以旋转。所以，只要旋转其中的一个就可以了。 3．刚刚是用圆规在黑板和纸上画圆。如果我想在操场上画圆，你觉得可以怎么画？ 大家可以想一想，同桌之间相互交流一下。 资源：用大圆规等。 让我们来看看体育老师是怎么画的。你可以边看录像，边思考老师是如何画圆的。 4．拿出系绳的小球，老师将用它来创作一个圆。你能想到我是怎么做的吗？（师甩动） 二、聚类分析，提炼特征 1．提问：从黑板上的画圆到纸上的画圆，到操场上的画圆，再到空中的画圆，在不同的情境里画圆，你们有没有发现相同的地方？ 请同桌交流一下各自的想法。 2．指出：虽然画圆的情境不同但都是先固定一个点，展开一定的距离，然后进行旋转。把固定的点叫做圆心。通常用字母O表示。拉开的距离，怎么表示呢？ 展示：圆心出发到圆上。 这段从圆心到圆上的距离叫半径。通常用字母r表示。 三、反思不同情境中的关联性 1．了解了圆心、半径，那你能在刚刚画圆的情境中指出圆心和半径吗？ 学生相互说一说。重点交流操场画圆和空中画圆。 2．能在自己画的圆上表示圆心和半径吗？ 过程中打开：可以画几条？ 指出：半径有无数条。同一圆中半径都相等。 3．通过对比呈现让学生体会得到这个结论的前提是需要在同一圆中。 |
学生看教师是如何画圆的，并思考老师画圆的过程。
学生尝试画圆。
看同学展示的画法并思考老师提出的问题。
学生对画圆的步骤及不同背景下画圆的情况有所了解。
听老师的归纳，从而对问题有更为清晰的认识。 思考教师提出的问题，并和同桌相互交流想法。
看录像并试着把录像中教师画圆的过程表达出来。 学生进行交流。
看老师甩球，发现圆的存在。
相互表述教师是怎样创造出这个圆的。
对教师提出的问题进行思考。
通过和同学的辨析交流认识圆的各个部分。
画半径，通过观察交流了解半径相关的知识。 | 通过学生尝试性的表述使其对画圆的三个要素有一次认识。
通过学生自己画圆，让他们对圆的特征有进一步的认识。
让学生通过观察黑板上画圆和本子上画圆明晰画圆必须要旋转。
通过让学生想象在操场上画圆，拓宽了学生对画圆的认识范围，也对画圆的三步要素有了更为清晰的认识。 利用甩球让学生对圆的认识进一步加深。特别是对定点和旋转的深刻认识。
在学生充分体验和感悟的基础上对圆各部分有本质的认识。 通过让学生画圆的半径和对比呈现不同圆的半径使学生体会同一个圆的重要性，对数学表达的严谨性有进一步认识。 | |||||||
创造 画圆 工具 体验 圆的 原理 | 放：我们了解画圆要有圆心、半径和旋转。 请大家利用提供的材料创造一个画圆的工具，并用它画一个圆。 收：展示设计的工具，你是怎样用你设计的工具画圆的？ 指出：线要绷紧；简单的方法。 思考：你能找到画圆过程中的圆心、半径吗？请同桌互说。 |
学生利用教师提供的工具进行画圆工具的创造。
通过观看同学的展示对画圆的三点进行巩固认识。
|
学生通过对画圆工具的自主设计和操作对圆的三要素有更为深刻的认识。 | |||||||
大 量 观 察
发 现 规 律 | 一、认识两个圆形成的多种情况 放：请你用圆规在纸上画两个圆。 过称中指导：老师发现有的同学画得吃力，请哪位同学来介绍一下。（注意：重心、用力点） 你还能再画两个和刚刚不同情况的圆吗？ 过程中打开：还有其它的情况吗？ 收：资源：相等的圆； 大小不同的圆； 同心圆和位置不同的圆。 二、发现圆心和半径的作用 思考：观察黑板上两个圆不同的情况你有什么发现？同桌交流一下。 交流：① 大小不同，位置不一样。 思考：那圆的位置与什么有关？大小又与什么有关呢？ 指出：圆心决定圆的位置， 半径决定圆的大小。（板书） 看来圆心、半径对圆来说是十分重要的。老师给每位同学准备了一个圆片，你能找出它的圆心、半径吗？找到后交流找的方法。 三．发现直径 很多同学用两次对折的方法找到了圆心、半径，还得到了几条折痕。（描出）观察这条折痕，你有什么发现？同桌相互说一说。 画图，对比突出三点一直线。 能在圆上再画出一条直径吗？ 打开：可以画多少条？ 同一圆中有无数条直径，都相等。对比呈现体会同一圆中 4、拓展延伸 今天我们了解了圆的各部分特征，接下来可以研究圆的……。 | 学生在本子上画圆。对教师出示的资源进行观察。
学生思考教师提出的问题并与同桌交流自己的想法。
对圆的各部分的作用进行讨论。
学生对图中的线段进行判断，并相互说一说理由。
了解圆中半径的作用。
学生尝试在圆片上找圆心和半径，并通过折痕体会与轴对称图形的关系。
了解圆中直径的特征及其与半径之间的关系。
对本节课学习的圆的知识进行延伸 | 通过展示学生的不同画法，帮助学生拓展对圆的位置、大小认识。
学生通过对出示的很多的圆的观察，理解圆心和半径对圆的位置和大小的影响。
通过判断的练习让学生对圆的半径的特征进行了解。
通过画最长线段这样一个活动，让学生体会圆中直径的特征。
让学生对圆的整体学习有一个认识。 | |||||||
直观认识图形课例：《认图形》
学校：常州市新北区薛家中心小学 | 年级：一年级 | 班级：一（9） | 人数：45人 | ||
学科：数学 | 课题：认图形 | 教师：郑丽萍 | 日期：2012.3.1 | ||
教学目标： 1、通过动手操作活动，体验平面图形与立体图形的联系与区别，丰富对平面图形的认识。 2、在分类活动中认识图形、三角形、长方形和正方形，直观认识它们的特点。 制定依据： 内容分析： 平面图形与立体图形有联系也有区别，平面图形是立体图形上的一个面。本节课是学生认识平面图形的第一课时，要求学生直观认识长方形、正方形、三角形和圆，体会长方形是长方体上的一个面，正方形是正方体上的一个面，圆形是圆柱体上的一个面，三角形是三棱柱上的一个面。因此，教材一开始就让学生先照样子画一画，再观察画出的图形，以此来让学生初步感受立体图形与平面图形的联系与区别，直观感受这些平面图形的特征，最后通过举例不断丰富学生对平面图形的认识。基于以上认识，从三个环节教学：先让学生经历平面图形的生成过程，然后将学生“移”下来的所有平面图形进行分类，在分类的过程中直观认识它们的主要特征，寻找这些平面图形与学过的立体图形之间的联系与区别，最后通过大量的图片欣赏和举例，丰富学生对平面图形的认识，增强学生的语言表达。 学生实际： 学生在一年级上学期已经认识了立体图形：长方体、正方体、圆柱体和球体。在日常生活中，也积累了一些物体表面形状的经验。但是，他们常常把两者混为一谈，“体”和“面”不分。 | |||||
教学过程 | |||||
教学环节 | 教 师 活 动 | 学 生 活 动 | 设计意图 | ||
常规积累 | 1、课前欣赏 2、今天同学们带来了很多积木，他们是什么形状的？ |
同桌交流 | 初步感受平面。 回顾旧知，巩固对立体图形的认识。 | ||
经历平面图形生成过程 | 要求：在这些积木上有很多平平的面，你能找一找，摸一摸吗？找到之后和你的同桌说一说。 教师示范：边摸边说，我在长方体积木上找到了平平的面。 揭题：我们今天就来研究这些平平的面。 （板书“面”） 放：首先，我们要把你这些平平的面从积木上移到纸上，（注意：一张白纸上移1个）想一想，可以怎样移？听清要求就动手试一试吧。 及时叫停指导：两只手怎样放，才能把这个图形画好？ 教师示范：一只手要牢牢按住积木，铅笔要紧贴着图形的边来描。 再实践：用这个好方法一起再去画一画。 过程中打开：（1）我们不仅要比谁描得好，还要来比一比比一比谁描的图形种类多？一边描一边去感觉一下哪些描起来比较容易？哪些困难？ （2）有的小朋友在一块积木上找到了不同的面，真好！ | 在积木上摸一摸平平的面 A、找一找、摸一摸，和同桌交流一下，我在什么积木上找到了平平的面。 B、指名说
学生动手操作。
一学生上台演示，其余学生认真观看。
学生继续动手描一描 | 体会平面图形的生成过程，感受“面”的来源，并通过自己动手画一画，初步感受立体图形和平面图形的联系与区别。 | ||
经 历 平 面 图 形 分 类 命 名 的 过 程 | （一）图形分类 （展台呈现学生画下来的图形，教师编号） 它们是从哪种积木上移下来的，分别是什么样子的？能把这些图形分分类吗？和同桌根据编号说说看（我把编号几几几分成了一类） （二）图形特点观察及命名 第一层次：（长方形）——教结构 一放：这类图形是从哪种积木上移下来的？它们是什么样子的？和原来的积木有什么不同吗？ 一收：交流长方形：长长方方的，是从长方体上画下来的，长方形只有一个面，而一个长方体就能找到好几个这样的面。 命名：长方形。贴出标准图形。 第二层次：（正方形、圆和三角形）——用结构 二放：那么下面这三类图形是从哪种积木上移下来的？它们是什么样子的？和原来的积木有什么不同吗？你能像刚才那样把三个问题的答案连起来完整地说一说吗。 二收：交流正方形、圆和三角形。 命名并贴出标准图形。 小结：这四种图形都是从立体图形上移下来，他们都是平平的，叫平面图形。 （三）拓展到生活中 （1）生活中也有很多这样的平面图形，你能在哪些物体的面上找到这样的图形？ 组织交流，注意学生用词。 （2）课前欣赏的画面中也有很多这样的平面图形，大家来找一找。 | 观察后和同桌交流。 学生分类(口头说、上投影动手) 长方形、正方形、三角形、圆形
同桌交流。
学生在听教师说后完整地说一说。
观察另外三类图形的特征，以及和体的区别，与同桌交流。
用一段完整连贯的话说一说。 同桌互相讨论，交流想法。
找一找生活中的平面图形，与同桌相互说说。 欣赏生活中的平面图形。 | 通过对不同图形的观察进行分类，体会图形和平面图形的联系和区别。直观了解它们的主要特点。
拓展对这几种平面图形的认识，规范和丰富学生的语言表达。 | ||
操作体验 加深 认识 | 要求：能在钉板上把今天认识的四种图形围出来吗？ 交流聚焦：为什么圆形为不出来？ | 学生动手操作后进行交流。讨论后得出：圆是曲边围成的图形。 | 通过围的过程加深对平面图形的认识，初步体会直边图形和曲边图形的差异。 | ||
拓展延伸 | 我们按照边的曲线把这些图形分成曲边图形和直边图形，这些图形是不是还可以进一步分类？我们将在二年级继续学习。 | 为后继学习设疑、铺垫。 | |||
特征认识课例: 《认识平行四边形》
学校 | 常州市新北区薛家中心小学 | 学科 | 数学 | 班级 | 四（4） | 人 数 | 46 | |||
课题 | 认识平行四边形 | 教时 | 1 | 执教 | 包惠萍 | 日期 | 2012.3.8 | |||
※ 教学目标： 1．迁移长方形、正方形的研究方法，引导学生从“边”和“角”两个纬度自主探究平行四边形的特征。 2．在创造中体会平行四边形的不稳定性。 3．根据特征发现平行四边形、长方形和正方形三者之间的关系。 ※ 制定依据： ★ 内容分析： 在本节课的学习之前，学生已经直观认识了平行四边形，初步掌握了长方形、正方形和三角形的“边”和“角”两个纬度的特征。 在这些平面图形的认识中，具有类同的结构，猜想验证，不断探究体会其特征，然后运用这些特征进行创造，进一步体会其特征的丰富性。而平行四边形的认识，是在三角形、长方形、正方形特征的基础上学习的，已经初步形成了学习的知识结构、方法结构和过程结构，所以平行四边形的学习可以迁移这些结构，并在特征认识的基础上，加强对比。和三角形的稳定性进行对比，和长方形、正方形的特征进行对比从而探讨三者之间的关系等等，这是这节课的提升。 平行四边形学完后，后续还有梯形的特征认识，同样具有共通的结构。 ★ 学生实际： 在本节课的学习之前，学生已经认识了三角形、长方形和正方形的特征。在前期学习中，学生掌握了可以从“边”和“角”两个纬度来探究特征，为本节课的学习打开了思路；学生经历了猜想—验证—结论的探究过程，为本节课的学习提供了方法和过程；学生初步体悟了长方形和正方形的关系（但前期从教材出发没有让学生体会正方形是长方形的特殊形态），这节课要重点探究三者之间的关系 应该说三者关系的感悟提升，对学生来说还是有一定挑战的。在教学中可以提出弹性的要求，让不同层次的学生都能在原有的基础上有所提升。 | ||||||||||
教 学 过 程 | ||||||||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | |||||||
常规积累 | 呈现：正方形、长方形 小结：我们可以从“边”和“角”两个纬度来研究平面图形的特征。 | 同桌互相说说其特征
| 回顾知识和学习方法，为后续学习做准备。 | |||||||
探究平行四边形的特征 | 第一层次： 猜想：平行四边形的“边”和“角”分别有什么特征。 收: 呈现学生的各种资源
第二层次: 验证:这些猜想都对吗? 收: 这些猜想有没有不正确的呢?
第三层次: 是不是所有的平行四边形都具有这些特征呢? 归纳结论: 平行四边形对边平行且相等,对角相等。 | 1.写一写 2.相互说一说
1.学生想办法验证老师准备的同样的平行四边形 2.尝试下结论
1.学生想办法验证尽可能多的平行四边形 2.尝试下结论 | 引导学生进行合理的猜想，为后续的学习做好铺垫。 这里有两次验证，第一次验证同样的平行四边形，初步尝试得出结论；第二次探究是不是所有的平行四边形都具有这些特征。在这里体现了科学的研究方法，从单一到全体，是不完全归纳法的体现。 | |||||||
运用特征创造平行四边形 | 第一层次： 你能不能根据这些特征创造一个平行四边形呢？ 收： 呈现学生的各种资源 第二层次： 小棒摆的方法 收： 平行四边形的不稳定性 第三层次： 画图的方法 收：交流画法 |
独立创造平行四边形
同桌互说：这些都是平行四边形吗？你是根据什么特征来创造的？ 同桌互说：为什么同样的四根小棒摆出的图形不一样
说说怎么画的 每人画一画 | 学生认识了平行四边形的特征后再去创造平行四边形，很好地体现了学习逻辑，体现了科学性。 在操作中体会平行四边形的不稳定性，从而感受到生活中运用平行四边形的合理性。 | |||||||
探究平行四边形、长方形、正方形三者之间的关系 | 第一层次： 我们从边和角的角度研究了正方形、长方形和平行四边形的特征，那这三者之间有什么关系呢？ 收： 三个集合圈分别代表什么图形 第二层次： 三个集合圈的位置关系 收： 呈现学生各种资源 归纳结论 | 运用集合圈进行探究操作
同桌交流
各自独立摆一摆 讨论：哪种位置关系表示了三者之间的关系 | 在关系探究中进一步深化其特征认识，并且融会贯通。集合圈的认识不仅形象表达了三者之间的关系，也为后续进一步的学习打下了基础。 | |||||||
全课总结 | 通过这节课的学习你有什么收获 小结：我们还可以用这样的方法去研究梯形的特征。 | 同桌互说 | 进一步提炼过程结构。启发学生主动运用学到的方法研究相关内容。 | |||||||
课例：《梯形的认识》
学校 | 常州市新北区薛家中心小学 | 学科 | 数学 | 班级 | 四（2） | 人 数 | 45 | |||
课题 | 梯形的认识 | 教时 | 第1教时 | 执教 | 姜博 | 日期 | 2012.3.8 | |||
※ 教学目标： 1．在画出“只有一组对边平行的四边形”的操作过程中建立梯形的直观表象，感知梯形的本质特征。 2．迁移平面图形特征认识的研究方法，引导学生从“边”和“角”两个纬度自主探究等腰梯形和直角梯形的特征。 3．在沟通与比较中感悟平面图形之间的内在关系。 ※ 制定依据： ★ 内容分析： 《梯形的认识》是小学数学苏教版实验教材第八册“平行四边形和梯形”的第二课时内容。是在学生掌握了长方形、正方形、三角形、平行四边形特征认识的基础之上学习的，是小学阶段最后一类直线型平面图形的认识。梯形的学习与其他的平面图形不同之处在于，其他的平面图形是在低年级直观认识的基础上学习的，而梯形的认识学生是初次接触。 教材分三层编排。第一层认识梯形，教材首先以生活中常见的物体为例，引导学生观察这些物体表面上的梯形，并告诉学生“像这样的四边形是梯形”，让学生对梯形有初步的直观感知；接着要求学生“想办法做一个梯形”，让学生把已经建立的梯形的表象以物化的方式表达，进一步丰富学生的感知；然后将梯形与平行四边形进行比较，引导学生发现并总结梯形的基本特征“只有一组对边平行”。第二层，通过引导学生联系平行四边形高的含义，认识梯形的高，并介绍梯形各部分的名称，让学生量出提供的梯形两条腰的长度，认识等腰梯形。第三层，通过想想做做的练习设计，引导学生进行图形的变换，感受平面图形之间的联系。
★ 学生实际： 在本课的学习之前，学生已经掌握了长方形、正方形、三角形、平行四边形等平面图形的本质特征与相互之间的关系，并获得了发现直线型平面图形特征的学习方法和活动经验。虽然在生活实际中，部分学生建立了梯形的表象，但却是模糊的，甚至是片面的，有的孩子认为，只有“像梯子状的等腰梯形”才是梯形。 | ||||||||||
教 学 过 程 | ||||||||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | |||||||
常规积累 | 呈现：平行四边形、长方形、正方形、菱形 要求：我们学习了一些特殊的四边形，同桌互相说说它们的特征以及这些图形之间的联系。 |
同桌互说 | 进入研究直线型平面图形的状态 | |||||||
梯形的产生及其本质特征的感悟 | 引入：正方形、长方形、平行四边形都是特殊的四边形，它们“两组对边平行”。那有没有“只有一组对边平行”的四边形呢？ 第一层次： 要求：老师给同学们准备了几个我们学过的平面图形，请你添一条线，形成一个只有一组对边平行的四边形。 聚焦：我们先来看这个一般的四边形，怎么添线呢？ 呈现资源（学生介绍其中的一种画法）
拓展打开： 只能平移到这个位置吗？ 只能画这条边的平行线吗? 第二层次： 要求：其他的图形呢？你能添上一条线，形成一个“只有一组对边平行的四边形”，并把它剪下来吗？ 交流： （1）聚焦三角形 （2）聚焦长方形和平行四边形 讨论：长方形和平行四边形有两组对边平行，现在只能有一组平行，怎么办。
小结命名：像这样只有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，是梯形。 教师示范画图，并介绍梯形各部分的名称。 | 尝试：想一想，试一试，画一画。
介绍想法 明确：没有平行的对边，可以选择一条底边，画出它的平行线，形成只有一组对边平行的四边形。
学生活动
感悟：三角形中，没有平行线，创造出一组，长方形、平行四边形有两组，破坏掉一组。 明确：上底、下底、腰和上顶角和下底角的名称。 |
整体切入对梯形的研究。
操作感悟，掌握方法，初步感知具有“只有一组对边平行”的图形表象。
运用方法，丰富感性材料，进一步感知具有“只有一组对边平行”的图形表象，为概念的聚类建立丰富的感性认识，同时为进一步探索梯形、特殊梯形的特征提供材料。
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特殊梯形的特征研究 | 沟通：我们是怎样研究平行四边形的特征的？ 梯形的“边”除了“一组对边平行，另一组不平行”以外，还有其他特征吗？“角”？ 要求：利用刚才得到的梯形，用我们研究平行四边形的方法也来研究一下，看谁能有新的发现。 打开：“边”除了考虑是否“平行”以外，还能考虑什么？（长度）角呢？
第一层次：——等腰梯形 呈现（等腰梯形）：发现有“边”相等的梯形。 质疑：是不是每一个梯形都能找到相等的边？ （验证一下，发现不是所有的都是。） 深入研究这个特殊的梯形，你有什么发现？ 打开：这个特殊的梯形有相等的边，那角呢？
命名：这个特殊的梯形叫等腰梯形。 第二层次：——直角梯形 启发：除了这个等腰梯形之外，看看还有特殊的梯形吗？ “边”或“角”还有特殊的情况存在吗？ 质疑：是不是每一个梯形里面都能找到直角？最多能找到几个呢？ 命名：直角梯形。 小结：根据我们刚才的研究，发现梯形中还存在着一些特殊的梯形，如直角梯形和等腰梯形。 | 回顾研究方法。
学生探索活动。
用记号表示相等的边，感受：特殊性 感悟：有相等的边和角；是轴对称图形。 表达：两腰相等，同一底上的两个角相等。
寻找梯形中的直角 感受特殊性。
| 迁移已有的发现直线型平面图形特征的学习方法和活动经验，主动研究梯形的“边”和“角”，在研究的过程中感悟特殊梯形的存在，明确等腰梯形和直角梯形的特征。 | |||||||
沟通各种图形之间的关系，并能用合适的集合圈表达关系。 | 第一层次： 提问：下面我们来创造一些特殊的梯形。想一想，在我们学过的哪些图形中添上一条线就能形成直角梯形？为了方便同学们想象，老师给每个同学准备了一份我们学过的图形，能想象的，在脑子里想象，不能的用尺推一推，想一想。 交流： （1）呈现原来图形就有直角的资源 觉得创造直角梯形怎么样？（很方便） （2）打开：没有直角的图形呢？如平行四边形呢？
提问：能创造等腰梯形吗？ 交流： （1）等腰三角形、等边三角形中添线 （2）聚焦：平行四边形呢？
小结提炼：梯形虽然是今天学习的一种新的图形，但是和我们以前学习的图形有很多的联系。
第二层次： 要求：今天我们学习了梯形、等腰梯形、直角梯形，能不能也像以前一样用集合圈来表示它们之间的关系呢？ 交流：呈现错误资源，并打开。 要求：在四边形的大家庭中，又多了新成员“梯形”，这些四边形的关系我们也能用箭头图来表示。 |
先独立思考，再同桌互相说一说。
感悟：如果图形里有直角，让这个直角保留下来。没有直角创造出直角。
先独立思考，再同桌互相说一说。 体会区别。 感悟：要创造出相等的腰，或在同一底边创造出相等的底角。
学生表达。
说明理由，明确关系 互相说一说区别和关系。 |
在观察、想象、操作、沟通的过程中感受梯形与已学图形之间的潜在联系。
体会梯形与等腰梯形、直角梯形之间的包含关系。
自主整体架构 | |||||||
拓展延伸 | 要求：整理已经学过的所有的四边形的特征，并能用集合圈来表示这些四边形之间的关系。 |
课后自主练习。 | 自主整理，整体系统认识各类四边形的之间的关系。 | |||||||
课例：《同一平面内，两条直线的位置关系》
学校 | 常州市新北区薛家中心小学 | 学科 | 数学 | 班级 | 四（2） | ||
课题 | 同一平面内，两条直线的位置关系 | 教师 | 李小英 | 日期 | 2011.11.24 | ||
一、教学目标 1．整体感悟同一平面内两条直线的位置关系，认识其中两组特殊的关系：平行与垂直。 2．学会利用分类分析和聚类抽象的方法认识概念，掌握概念学习的一般过程。 二、制定依据 1．教材分析 “平行与相交“属于”空间与图形“领域的教学内容。教材原来是按这样的线索来组织教学内容：先教学平行，引导学生联系生活情境，在识别直线相交和不相交的基础上认识平行线，学会画平行线；再教学垂直，从生活中选取两条直线相交成直角的特殊位置关系，引导学生认识垂线，学会画垂线，并结合相互垂直的关系，认识点到直线的距离及其应用。这样的安排可以帮助学生对两条直线的某一种位置关系进行比较集中和强化的认识，但同时也有可能带来以下两方面的问题：一是容易使学生对两条直线的位置关系形成单一和点状的认识，二是不利于学生参与和经历两条直线位置关系概念形成的建构过程，这样垂直和平行的概念对于学生来说就愈加抽象，更不用说学生对两条直线位置关系的整体把握了。因此，本课对这一内容进行重组，采用整体感悟的教学策略，引导学生先整体感悟同一平面内两条直线的各种位置关系，自主建构知识的整体框架，丰富对概念学习的方法结构和过程结构的认识，在此基础上再分化认识局部的平行与垂直的概念。 2．学生分析 （1）已有基础 知识基础：在学习本单元内容之前，学生已经认识了点、线段、射线和直线的有关特征，特别是对直线可以向两端无限延长的特征有了比较深刻的体验。 生活经验：在生活中对同一平面内两条直线的位置关系有一些感性的认识。 基本活动经验和能力：在学习过程中有了一些按照一定标准进行分类的经验，具有了初步的概括总结的能力。 (2)困难和障碍 虽然在实际生活中学生已经感受了“平行”与“垂直”等现象的存在，只是这种感受是肤浅的、零散的和模糊的，是能“意会”而不可“言谈”的。 在一级分类时，由于小学阶段的学生对事物的认识往往会只看表面，把两条直线分离状态的相交（垂直）看作是不相交（垂直）的状况，而忽视直线的本质属性，从而导致归类的错误。对“同一平面”的关注，因为学生缺乏对其内涵的理解，因而也会忽略，需要教师在过程中加强语言的渗透，并适时对比辨析，帮助学生建立完整的概念。 （3）提升点 激发学生丰富的感受，帮助学生经历两条直线的位置关系的形成过程，使学生对两条直线的各种位置关系形成认知的结构化，避免学生点状的认识和思维的定势。
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教 学 过 程 | |||||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | ||||
常规积累 3分 | 课前播放生活中的一些图片 出示直线、射线、线段，想一想三种线各有什么特点。 | 欣赏 说给同桌听。 | 回顾旧知，唤醒对直线特点的关注，为学生理解位置关系作孕伏。 | ||||
核心过程推进
| 尝试画出两条直线各种位置关系 | 一放 要求：（先画一条直线，这是一条直线还能继续画下去吗？为什么？如果在这同一平面内，再画一条直线，会和这条直线发生怎样的关系呢？想一想这两条直线会有哪些不同的位置关系？把你想到的画在1号纸上，比比谁画的类型最全。 过程中打开：我发现有的同学画的两条直线都是分开的，想想还有其它的位置关系吗？ 一收 收集、展示资源。
| 独立思考；在纸上画出各种位置关系，并编号。
(9)
| 引导学生在同一平面内画出两条直线的位置关系，充分利用学生的前在状态，把激发学生丰富的感受了，把多种资源呈现出来为整体感悟两条直线的位置关系搭建平台，避免学生认识的单一和思维的定式。 | |||
分类中整体感悟两条直线的位置关系 | 层次一：一级分类，揭示平行概念 二放 目的交待：为了研究的方便，老师从中收集了一些有代表性的情况（边贴纸边说）。那么在同一平面内，两条直线到底有几种不同的位置关系呢，请大家仔细观察这里的每一组两条直线的位置情况，能不能把它们分分类呢？你准备按什么标准来分。 把思考过程记录在2号纸上。 二收：出示半成品资源，加工生成 （1）交流分类情况。 回应：他是按两条直线是不是相交来分的，同意他的分法吗？有没有补充意见？ （2）引导：这几组现在看起来都不相交，是不是真的全部都不会相交呢？我们画的是两条直线，想想直线有什么特点？延长试试看，你有什么发现，原来的分类要作调整吗？ 谈话：现在这样分大家都同意吗？通过讨论大家已经形成了共识。看来有些表面上不相交的，通过延长后实际也会相交。那如果把 也无限延长，结果会怎样呢？
教师介绍： 表示法 读法 层次二：二级分类，揭示垂直概念 小放：相交的这一类，都形成了角，有没有比较特殊的情况呢？仔细观察，能不能根据角的特点继续再往下分吗？ 小收：（1）相交成直角和斜交，怎么知道是直角？有办法验证吗？ （2）揭示概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。垂直是相交中的特殊情况 要求：看看自己画的，是不是每一种位置关系都考虑到了？分类对不对？有问题的可以修改一下。并轻轻地把两条直线的位置关系完整地说一说。（贴纸出示：同一平面内两条直线的位置关系）
层次三：生活中举例 其实生活中也有平行和垂直的现象：比如说，在黑板这个平面内，长边和短边所在的直线互相垂直。你也能在身边找一找、说一说吗？
| 先想一想分类的根据，尝试分类。
分类标准预设：是否交叉、 是否接触、是否有公共点等。
预设1：不正确的 交叉：1 3 4 8 9 不交叉：2 56 7 预设2：正确的 交叉：1 3 4 5 6 8 9 不交叉：2 7
利用直线的特点，尝试延长直线并原来分类作调整。 通过延长初步感受到有时认识事物不能光看表面。
由尝试分类到延长调整分类，学生明确了两条直线可以分成相交和不相交两类，并认识到不相交的两条直线就叫互相平行。 同桌合作，学一学平行的表示方法和正确的表达。 尝试进行二级分类，分好后能跟同桌交流分类的标准。
自己动手对（1）号进行验证
仿照平行同桌互相说一说垂直的表示方法和正确的表达。 有错的修改，其他同学试着和同桌轻声地说一说两条直线的位置关系。 明确：两条直线的位置关系可以分成平行和相交两大类，相交的情况又可以分成垂直和斜交两类。 一生举例说（规范语言）其他同学也象这样用规范的语言跟同桌说说生活中的平行和垂直的现象。 | 通过引导学生分类，从而整体感悟两条直线在同一平面内的多种位置关系，理清上位概念和下位概念。并对其中的一些特殊位置关系有进一步的认识，完成概念的建构，帮助学生对直线的位置关系形成认知的结构化。
利用过程性指导，引导学生从仅仅对表面现象的关注到对事物本质属性的关注，从而提升学生分析问题、解决问题的深度。
在学生亲历了概念的形成过程后，学生会用准确的语言进行描述。 通过引导学生自己对两条直线相交、垂直和平行的各种位置情形梳理和归类，帮助学生对两条直线位置关系形成认知的结构化，避免学生点状的认识和记忆的负担。 利用清晰、准确的概念，判断生活中的平行和垂直现象。一方面检测和巩固对概念的理解，另一方面为学生准确地表达提供了言说的机会，再者让学生体会到数学并不神秘，数学就在日常生活中，就在自己身边，感受到 “平行”“垂直”与现实生活的密切联系。 | ||||
应用判断 | 1.教师出示一组平面图形，找一找，说一说。 2.纸上有很多条直线，找出相互平行或垂直的，不遗漏、不重复的像老师这样记录下来。 | 尝试用符号记录。 | 从生活中的“平行”迁移到数学图形中，体现了“数学从生活中来，又回到生活中去”的思想。让学生学会用所学的知识解决问题，培养学生观察、分析、判断等能力。同时也使学生感受到不同图形的特点，深化对这些图形的认识，为后面具体学习这些图形做好铺垫。 | ||||
总结延伸
| 今天我们认识了同一平面内，两条直线的位置关系，学习了什么是平行和垂直，那么如何画平行和垂直呢？ | 课后尝试。 | 利用已有的经验和工具尝试画平行和垂直，为正确、科学的操作方法奠定基础。 | ||||
统计专题报告
小学阶段的统计以“描述统计”为主，要引导学生经历搜集数据——分析数据的过程，分析数据又分为三个阶段：（1）把握数据特点，归类整理；（2）制表制图，了解数据的分布特征；（3）特征量的计算（求平均数、差异量等）
统计教学的基本原则：
1、要经历统计的过程，感受统计的现实意义。
2、要经历数据整理归类的过程，学会清点数据（数据小：符号记录；数据大：画“正” ）。
A、分类整理（一上），如理书包，这是确定现象，按照文具用品归类整理。
B、随机现象的数据整理（一下，课内：通过录像播放，学生自主整理，也可放在课后解决）如在11：40~12:00内，5分钟一统计，看看哪个时间段食堂里的人数最多。（感受随机现象为主，渗透画“正”记录的方法。）
C、按不同角度整理数据，如统计教师情况时可按性别、年龄、职称等归类整理（二下，体会画“正”记录在汇总结果（清点数据）时的简洁）
3、要经历统计表、统计图制作的生成过程。
分两个阶段：1、低段，主要是让学生了解、认识生成过程，会从图表读出信息。2、三年级开始，会画图，又要分两大板块（1）纵向间距的确定——A、一格表示“1”（二上）B、一格表示几（二下） C、纵向间距如何确定（四上，详见局小第二节研讨课）（2）横向组数的确定——A、分类确定组数 B、间断数据项目的确定 C、连续数据分段确定项目组数（均匀分段、不均匀分段）
所谓间断数据，指的是以整数计数的，如出生月份的统计，销售服装的件数统计等。所谓连续数据，指的是按照一定的标准去度量得到的数据，如身高、体重、气温、成绩（度量标准是考试卷）、工资等。如果连续数据中有极端数据，分组时有的组数据很少，就可以与其他组合并，这样本来均匀分段就变成了不均匀分段。
统计教学的育人价值：（1）引导学生关注现实生活中的随机现象；（2）在学习过程中，帮助学生建立数据的敏感，提升学生分析处理数据的能力；（3）引导学生把握统计过程中的一般情况和特殊情况。
课例：《条形统计图》
学校 | 常州新北区薛家中心小学 | 学科 | 数学 | 班级 | 二（4） | 人数 | 51 | ||
课题 | 条形统计图 | 教时 | 1 | 执教 | 李小英 | 日期 | 2011.12.8 | ||
※ 教学目标： 1．学生通过观察、比较、操作，经历条形统计图的生成过程。 2．了解条形统计图的要素，并会根据统计图做出合理的分析。 3．在整理、描述、分析的过程中，进一步了解统计在现实生活中的作用和意义。 ※ 制定依据： ★ 内容分析： 统计在每册教材中都涉及，但课时短，学生的理解感悟并不深刻。学生对统计内容的学习也是点状的、割裂的，对描述性统计的目的和意义的理解更是不强。因此，从一年级开始就对统计的教学进行了整体的规划。在基于教材现有的内容上，有选择、有目标的进行提升。一年级（上册）：学生利用学具对确定现象（较小数据）进行分类整理。在整理的过程中做到“一一对应”，并经历制作统计表的生成过程，明确统计表的要素。一年级（下册）：学生会用记号对不确定现象以及随机数据（较大数据）进行分类记录，明确一个符号表示一个。巩固对统计表的制作。因此，本节课教材在学生已有的统计经验和统计知识基础上，进一步认识分一分、数一数的整理数据方法，引导学生将方块—直条—方块统计图，经历生成的过程。体验每个方块表示一个，在活动过程中体会用条形统计图更加直观、清晰，让学生体会统计图逐步优化的过程及从形象到抽象的思维发展过程。 ★ 学生实际： 学生已经会用各种符号来进行分类整理的记录，能制作简单的统计表，知道了统计表的要素。本节课主要是让孩子经历条形统计图的生成过程。但是在生成的过程中，学生对于用同一种符号记录比较方便，尤其是用方块统计比较整齐，一目了然的体悟还很欠缺。如何让孩子从方块到直条，最后形成条形统计图这个过程还是有一定难度的，需要老师适当的引导和渗透，进一步提升学生的学习能力。 | |||||||||
教 学 过 程 | |||||||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | ||||||
生成条形统计图
| 第一环节：感悟方块符号表示的特点 一放： 我们食堂里的叔叔想知道同学们最喜欢吃什么水果，就在全校选了20个同学就苹果、桃子、草莓、梨子喜欢的情况进行了调查。这里有点乱，你能分类整理一下，每种水果各有几个同学喜欢吗？ 一收： 第一层次 交流统计结果，并用学生资源说明一般统计的方式。 第二层次 呈现同一种符号统计和不同符号统计——体会同一种符号的简便。 比较一下，有什么区别？你更喜欢哪一种？为什么？ 学生回答后小结：看来用同一种符号记录，不仅简便，而且还能一眼就看出谁多谁少。 第三层次 呈现各种图形表示的——体会方块统计图的排列整齐，更为直观。 呈现学生出现的资源（全是√不齐、全是□、…） 再来比较一下，在这么多种符号中，你更喜欢哪一种，为什么？ 小结：大家都提到了用□更为整齐，直观，谁高就是谁多，谁矮就是谁少。 第二环节：经历从方块—直条的形成过程。 二放： 既然大家都认为方块排列更整齐，下面就请你用方块来摆一摆每种水果的个数。 二收：黑板上呈现学生出现的资源。 问：是不是这条最多啊？ 教师根据学生的回答对图形进行调整。 追问：那怎么排一下子就能准确地看出谁多谁少呢？ 你来试一试！ 小结：摆方块时，一定要注意起点对齐，间隔统一，这样才方便我们一眼看出谁多谁少。 第三环节：形成条形统计图。 第一层次：介绍种类、数量。 把一个一个小方块堆在一起，就形成了这样的一个个直条，那么这些直条表示的是谁的数量呢？ 拓展：如果再有其他的水果呢？为了保持起点统一，可画一条横轴，表示种类 师根据学生的回答板书：横轴、种类。 数量呢？也可以不断的增加。方块合在一起看不清，为了可以看清直条数量，可以增加一个纵轴，表示数量。 板书：纵轴、数量。 那么这些数量怎么表示呢？ 追问：一格表示几？怎么看不数就知直条是几？ 师演示：写好数量后，我们就能对应着知道每种水果各有多少个了。 第二层次：介绍名称、日期、单位。 师边介绍，边补充板书。 这样就把简单的直条图形成了一张完整的条形统计图。 （板书：条形统计图） 第三层次：总结 看着这张条形统计图，你知道了什么？ 总结：通过这张条形统计图，直条长喜欢的人就多，直条短喜欢的人少一些，这样叔叔就知道怎么去买水果了。做到大家满意，还不浪费。 还知道了条形统计图的各个要素，一格表示一个，画直条的时候还要注意分布均匀。 | 学生独立完成。 学生可能出现的情况有： （1）全部都用同一种符号统计记录的。 （2）用不同符号统计记录的。
全班报结果。
同桌讨论交流。 预设： 我喜欢同一种符号表示更加方便。 √越多，数量就越多，√越少，数量就越少。
同桌交流。 预设： 我喜欢√，方便。 我喜欢□，看上去很整齐。 ……
学生独立动手操作。 预设： 起点不对齐的。 间隔不统一的。 学生讨论后回答：不是的。要在同一条线上，中间的距离还要一样的。
学生再次操作形成直条。
学生交流后回答。
学生思考。 学生回答： 要从0开始，1，2，3… 一格表示一个。
学生同桌讨论后全班交流。 我知道了苹果多，要多买点，因为喜欢的人多。 我知道了条形统计图要有名称、日期、单位、还有种类和数量。 |
让学生从多种符号的表述中聚焦到同一种符号记录。感悟：简便、美观。一下子就能看出统计情况。
多种符号中观察、比较、体悟方块的排列整齐，更为直观。
学生经历从方块到直条的形成过程，更进一步的为条形统计图的形成加深理解。
在直条图的基础上不断生成，最后形成一张完整的条形统计图。
学生通过交流，再次加深对条形统计图的认识。清晰条形统计图的要素。
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自己制作条形统计图 | 三放： 我们二年级要开设课外兴趣小组，负责的老师需要知道同学们比较喜欢哪些活动项目，现在你能不能根据这张调查记录来制成一张条形统计图，然后给老师一些建议呢？ 三收： （1）起点是0 （2）横轴种类说明 （3）数据标注和日期填写 问：看着这张条形统计图，你知道了什么？ | 学生根据调查情况，独立完成统计表，并制作条形统计图。 交流： 半成品资源辅导完成。 纵轴数字的填写。 分布要均匀 自己完善自己的统计图 |
学生独立进行条形统计图的制作过程。进一步明确条形统计图的要素。 | ||||||
拓展延伸 | 同学们刚刚我们只调查了20个同学，要是40个同学，60个呢？直条要怎么表示呢?这时候一格还可以表示多少呢？ | 学生思考。 | 拓展练习，渗透下学期的一格表示几。 | ||||||
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