开放课堂中的深度学习

——读《数学深度教学的理论与实践》有感

郑毓信教授的这本关于深度学习的著作，初读便手不释卷，再读如鱼得水，如鸟投林。本书分三个部分：聚焦中国数学教育（多方面分析数学教育，字字珠玑，动人心弦）；走向“深度教学”（理论与实战案例相结合，有释疑解惑，拨云见日之功效）；数学教师的专业成长（这是长者的教育智慧，点石成金的经验对一线教师们有醍醐灌顶之效）。

郑毓信教授认为“（数学）深度教学”的主要含义是：数学教学必须超越具体知识和技能深入到思维的层面，由具体的数学方法和策略过渡到一般性的思维策略与思维品质的提升，我们并应帮助学生由在教师（或书本）指导下进行学习逐步转变为学会学习，包括善于通过同学间的合作与互动进行学习，从而真正成为学习的主人。

基于对这本书的学习理解，我认为可以用开放的方式促进深度学习，用深度学习的目标让课堂更开放、灵动，充满魅力。深度学习的开放课堂是学生自主发展的课堂，是新课程标准中学生成为课堂学习主体的具体表现。结合上过的《认识面积》一课从过程开放、内容开放、作业开放三方面具体阐述如何推进学生的深度学习。

一、过程开放，推进深度学习

书中指出：深度学习是一种基于理解的学习，是指学习者以高阶思维的发展和实际问题的解决为目标。

本课在理解了面积的基本概念之后，将三种比较面积大小的方法在情境中进行了整合，并创新制作了学具（每个区域都可以对应取下），以“动手”促进学生积极“动脑”，意在比较面积大小的探索中进一步认识面积的概念。学生可以随机选择区域，与同桌合作探究比较面积大小的方法。学生在这样具体而可操作的情境中，体验运用多种方法比较面积大小的过程，在交流互动中感受不同方法在对应情境中的适用性。基于开放环境的探究过程，给了学生充分的自主学习、合作探究的机会，最大限度的激发每个学生的参与兴趣，最后在交流共享中，分享经验和收获，达到互助成长的目的。虽然是开放探究，开放体验，教师在此过程中并非无所事事：巡视指导，并将学生的资源进行分类，以便有序呈现，逐步推进深度学习。

【教学片段】

出示课件：

活动要求

1、选一选：同桌两人各选一个区域比较面积的大小

2、想一想：用什么办法比较两者的面积（可以借用学具比较）

3、说一说： （   ）的面积比（    ）的面积……

学生同桌合作，操作交流之后有序呈现：

1、直接比较面积大小——观察法

生：图书馆的面积比花坛的面积大，一眼就可以看出来。

师：还有谁也是这样，一眼就看出来两个面积的大小了呀？

生发言之后，教师相机小结：像这样，一眼就可以比较出来面积大小的方法，我们把他称之为观察法。

2、间接比较面积大小

A：重叠法

生：图书馆的面积和博物馆的面积看起来差不多，我把这两块面积重叠，发现图书馆的面积大一些（边说边展示给大家）。

师故意追问：为什么他这里不用观察法来比较面积的大小？

生：因为我第一开始没看出来。

师：是呀，像这样面积的大小区分不明显，可以试着重叠看看，把一个图形覆盖在另一个图形上面，看哪个图形露出的部分比较大。这样的方法我们称之为重叠法。这个方法咱们在以前的学习中就用过，回忆一下：角的大小比较中。

B: 数格子法

生1：我们选择的是展览馆和花园，也用重叠法比较的，展览馆的面积大一些（边说边展示给大家）。

生2：我觉得不太对，展览馆露出来的虽然比较长，但是比较窄，花园露出的虽然比较短，但比较粗。直接判断展览馆的面积比较大不严谨。

师：你听懂他的反驳了吗？同意他所说的吗？重叠法不灵了，怎么办？

生3：我用摆小方格，展览馆摆了15个，花园摆了12个（把两个面铺满）。

生4：我也是用摆小方格的方法，不过我的摆法更简单一点，像这样摆一行，一列，比如展览馆就是每行有5个，有3行，一共需要15个小方格。花园是每行有6个，有2行，一共是12个小方格。15比12大，所以是展览馆的面积更大一些。

师：他俩说的大家理解吗？原来当观察、重叠没有办法比较出来的时候，可以都用摆这样的小方格的办法来比较出面积的大小。你想想不想也来试一试？可以选择刚刚的两个区域，也可以重新选两个来比较。

【思考】从课程标准的角度来看，图形测量属于“图形与几何”领域的一个重要学习内容，是小学数学核心内容之一。对于图形，我们不仅会关注它的样子，还会关注它的大小。一般来说，一维图形的大小是长度，二维图形的大小是面积。图形的大小需要通过度量来确定，度量的关键是设立单位。二年级学习长度时，学生就已经经历了度量铅笔长度的方法，虽然有不同的形式，但都是让学生理解：用统一单位测量的必要性以及图形的大小就是多个测量单位的累加。先前的学习经验对学生在本次开放活动中测量工具的选择是有积极影响的。因为，虽然给学生准备了多样的测量工具（曲别针、小三角、小方格），但是学生统一地选择了小方格作为单位测量，学生的选择有意无意间凸显了小方格测量法的最优化和便捷性。

此外将比较面积大小的三种方法融合一个情境中，而不是割裂对待，是基于以下三个方面的考虑：一是小学生喜欢在具有操作性、直观具体、交互有趣的数学活动中，进行数学探索和研究；二是用大问题的方式，创造机会让学生处在一个相对安全与自由的学习空间里，可以进行较长时间的独立研究与合作交流；三是不局限在一种可能，可以充分实验、尝试与创造，有机会实现想法的多样化和方法的优化，从而实现深度学习。虽然是开放探究，但是不放指导；开放体验，不放组织；开放对话，不放效率；开放课堂，不放质量。

二、内容开放，聚焦深度理解

深度学习是积极主动地、批判性地学习新的知识和思想，并将它们融入原有的认知结构中。

苏教版三年级上册学习的周长，极易对如今学习的面积大小的测量产生负迁移。所以在这一课的教学中不回避，反而故意制造冲突，教师推一把，把学生推向理解的更深处。但是本课是认识面积的第一课，学生初见面积，把周长这只“狼”放进“羔羊群”，会不会自寻死路，自找麻烦？备课时老师们意见不一，各持己见。最后作者结合班级学生情况、综合各位老师给出的意见以及对本课学习目标的理解，虽不回避周长的出现，但是在出场方式上设计了两个方面的缓冲：一是结合生活经验进行对比学习，设计用绳子去圈地，再铺地砖，学生容易识别地砖是铺在面上，而非铺在线上，以此区分线和面；二是具体图形大小的暗示，等长围成的长方形特意设置的差别明显，部分学生认为的周长相等面积就相等的想法，在实际图形大小对比中自然产生冲突，让学生在自我矛盾中进一步思考理由，聚焦到面积的本质理解上。实际行课下来，学生思维之花纷呈绽放，短短几分钟，事半功效，值得一试。

【教学片段】

通过找一找、摸一摸、说一说、涂一涂、比一比等一系列的过程，学生对面积的含义以及面积的大小比较方法已经有了一定认识。此时，教师在课件上给出两条长度相同的绳子，动态演示，这两条长度相同的绳子去圈地，在圈好的地上铺地砖并就此提问：谁需要的地砖多？说说你的想法。

生1：一样多，因为是用同样长的绳子围起来的。

生2：我觉得绿色图形用的砖多，因为它的面积比较大。

生3：这样看，好像看不出来谁的面积比较大。

生4：同样长的绳子是周长，但是我们这里要比较的是面积大小。

生5：周长是一条线，地砖应该铺在面上。

师：怎么样？谁来给大家指一指，地砖应该铺在哪里？（生摸面）看来大家都统一了要比较的是面积而不是周长。

师：刚刚大家比较的展览馆和花园的面积，其实展览馆和花园的周长是相等的！

生一片哗然，有的不相信，拿出尺子去验证，请验证的学生说出验证结果。

生：展览馆的长是5厘米，宽是3厘米，半周长是8厘米；花园的长是6厘米，宽是2厘米，半周长也是8厘米，所以它们的周长确实是相等的。

师：对于周长相等的这两个图形，你有什么想说的？

生汇报操作结果：

生1:刚刚我们已经测量过他们的面积了，周长相等的图形看来面积不相等。

生2:周长相等的长方形，面积可能是相等的，如果围成的是一样的长方形，面积不就相等了？

其它学生微笑点头同意。

师：看来周长相等的图形，面积……（可能不相等，也可能相等）是的，面积不一定相等。

生：老师，那面积相等的图形，周长会出现怎样的情况呢？

师：你真会思考，由周长相等面积不一定相等，想到如果面积相等，周长会有怎样的情况？（其他学生也点头同意）你们想不想知道？其实小镇图中也隐藏着两个面积相等的区域，课后去找一找，算一算他们的周长（图书馆和运动场的面积相等，周长不等）。

【思考】测量长方形的面积，学生会错误地通过测量它的长和宽，用求出的周长来完成面积的测量。教师要正确看待这样的负迁移，一般来说，学生能够比较图形大小，但不会刻画图形的大小。此外，学生对周长和面积这两个概念混淆的原因还在于：学生认为图形的边框与图形的内部有着正相关的联系，也就是边框长，内部就大，进而推理出周长和面积有着正比例的关系，周长越长，面积越大，周长相等面积就相等。基于现实学情，本课尝试在认识面积这一课的教学目标完成之后，特意加入周长的混淆条件，让学生在对比辨析中进一步理解面积的含义，对面积和周长的区别及联系有更深地理解。

学习材料的选择与组织已经成为有效实施教学的关键点。本节课通过少量有价值的学习材料的选择，激活学生的求知欲和经验；对学习材料有效组织以达到学生生活经验和学习知识的融合和衔接；对学习材料的再利用进而显现学生对知识的深度理解^[1]。一张精心设计的小镇平面图，不仅开放了面积大小比较方法的探索，也为之后对比面积和周长这两个易混淆概念提供了方便。

三、作业开放，拓展深度学习

深度学习的目的在培养学生的数学核心素养，依据数学本身的特点，通过数学学会思维，主要是帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，努力提升学生的思维品质。

用好的练习，培养学生思维的广阔性与深刻性、整体性与灵活性、自觉性与创造性。

1、开放形式，打开思维

比较了规则图形的面积，那如何比较如图的不规则图形的面积？先隐去教材原本的方格图，让学生尝试根据具体情况灵活选择合适的面积大小比较方法。调取经验的过程即是巩固所学知识的过程，当堂锻炼学生学以致用解决问题的能力。简单技术手段的使用，会有事半功倍的练习效果。

2、开放对话，促进表达

对于不是一个完整的格子的图形，如何数出正确的格子数量，学生有不一样的剪拼方法：

生1:（如图1）两边的小三角各自剪下和梯形拼成完整的一个小方格（或者将小梯形剪下与小三角形剪拼）；

课件动画演示

师：小三角要通过什么运动和下面的梯形拼成完整的小方格？（旋转）

生2:（如图2）还可以将一边的直角三角形剪下与另一边拼成两个完整的小方格；

师和生做手势，通过旋转平移拼成完整的图形。

生3:（如图3）还可以沿着蓝色竖线剪下，旋转平移，也可以拼成完整的小方格。

师：是呀，其实只要这样直直地剪下（如图4），旋转平移之后都可以拼成完整的小方格了。这些方法他们的共同点是什么？

生4:我发现不管怎么剪拼，都是把不是完整的小方格转变成完整的小方格。

3、开放要求，展现创意

本节课的最后给出了这样一道开放性的题目，让学生的思维和个性舒展开来。练习越开放，其实对学生的能力要求越高，不管是规则图形的画法，还是不规则图形的画法，教师要做的，只是给足时间，然后赞叹儿童源源不断创新的能量。

【思考】促进学生深度思维，锻炼思维的灵活性，不需要找偏题怪题，有时候只需要把题目稍加变化，一个简单的前后出现就有意想不到的成效；尊重儿童，倾听他们的个性表达，伺机对学生思维深挖，惊喜就会不期而遇；少一些限制，多一点开放，就能收获更多的精彩。

开放课堂的实践探索，建立在整体分析与理解教学内容本质，了解学生学习的状况的基础上，通过精心设计问题情境，引发学生认知冲突，组织学生全身心参与学习活动，围绕具有挑战性的学习主题深度探究，使学生体验成功获得发展^[2]。不管是过程开放、内容开放还是作业开放，都是建立在学生是学习探究主体的前提下，帮助学生由在教师（或书本）指导下进行学习逐步转变为学会学习，善于通过同学间的合作与互动进行深度学习，从而真正成为学习的主人。