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新课程标准下的数学思维训练

【摘要】“数学是思维的体操”“数学教学就是数学思维活动的教学”。因此新课标认为数学课程的一个重要价值就是能训练学生的数学思维。著名的华裔科学家杨振宁教授说：“加强学生的思维训练是培养学生创新思维能力的重点工程”。本文将重点对教师在数学课堂上如何加强对学生数学思维的培养，如何帮助学生摆脱思维定势的影响、如何开拓学生的解题思路这几个方面来训练学生的数学思维进行初步的探索。

【关键词】：新课程标准； 数学思维 ； 训练

一、概念的界定

数学思维主要是一种抽象思维，指教师在教学活动中，根据数学素材引导学生进行数学形象化的数学构思，形成数学运算。它主要包括横向思维、逆向思维以及多向思维。数学思维具有流畅性（能在短时间内表达较多的概念，反映敏捷）、变通性（思维方向灵活变化，举一反三，触类旁通，能提出超常规的构想和新观点）、创造性（对事物的处理或判断表现出独特的见解）的基本特征。”数学思维对儿童的数学学习能力的提高、解决问题能力的加强都有着十分重要的作用。

二、具体的策略

教师在数学教学中，作为课堂“引导者”的教师在授课的过程中采用什么样方式将会对学生良好的数学思维的培养起到至关重要的作用。所以，首先老师在上课之前一定要认真、仔细地选择相应的数学问题。教师通过选题、编题，加强对学生的数学思维从一个过程转换到另一个过程的能力，并逐步形成在题中数量间自由往返调节的变通能力培养，提高学生思维的灵活性和开放性。除此之外，本人认为教师在设计问题时还应该注意以下几个方面。

（一）注意加强基础知识的教学

“万丈高楼平地起”教师在教学中要想更好地培养学生的数学思维，首先必须重视对学生的基础知识的训练和巩固。在数学课上，教师有时会只注重对学生的解题思路和解题技巧的训练，而往往忽视了对一些基础的知识点强调，从而导致学生基本计算能力的不足。这对学生以后的学习必定会产生不良的影响。

例如：比较分数和的大小时。ⅰ 当学生有“分母相同，分子大的分数大”这个基础知识时，他就可以采用通分的办法来比较大小。（＜）

ⅱ 当学生有“分子相同，分母大的分数小”这个基础知识时，他还可以采用通分子的办法来比较大小。（＜）

ⅲ  当然学生如果还有“被减数一定时，差小的减数大”这个基础知识时，他就可以采用减法来比较大小。（1-=， 1-= ,＞ 所以＞）

从上例我们可以直观地看出一些基础的概念和知识对学生思维能力的培养有着重要的作用。只有当学生熟练地掌握了这些基础知识后，他才有可能选择方法ⅰ、方法ⅱ ，以至方法ⅲ。学生选择这些解题的方法的过程也恰恰是数学思维应用的体现。所以要想更好地培养学生的数学思维，基础的知识与技能是其前提和基础。

（二）努力帮助学生摆脱思维定势的影响

教师在教学过程中希望学生能够巩固好已有的知识并且养成良好的数学思维习惯。但是有些教师喜欢在讲了一种类型的题目后，往往用大量的同类型的题目让学生反复练习。这样固然可以使学生容易掌握这类题型的解法，但是这也会使学生的解题思路固定在一个僵硬的框框里。长此以往就容易产生固定不变的思维模式或思维框架，造成心理上的思维定势。这对我们培养学生的数学思维则是极为不利的，所以我们教师可以在题目的数量关系、运用法则、解题思路等方面做一些变式或变形，经常提供一些类比或对比的联系以消除学生思维定势的影响。

1、利用变式消除学生的思维定势。

变式即是所提供的事例或者材料要不断地变换呈现的形式，改变非本质属性，使本质属性“恒在”，由此初步形成概念。因为总是重复某一类型的例题或图形，就容易把学生的注意力引导到非本质属性上。而忽视了事物的本质属性。 例如：在初次建立乘法概念时，可以表示出下面一些等式：10+10+10+10+10=10×5    2+2+2+2+2+2=2×6    5+5+5+5=5×4   通过引导学生观察、计算、比较、分析后，学生这样回答道：“我发现这几个式子的的左边都是几个相同数连加，而右边是乘法式子，并且他们的计算结果都相等”。这时教师再进一步引导学生让他们试着归纳出乘法的本质属性是“同数连加的简便算法”，初步形成乘法的概念。在此基础上还可以鼓励学生自己试着写几个类似的式子，那么这样学生对这个乘法概念会有更深的印象。逐步提高学生的应用能力和数学思维的发展。 

2、 利用“变形”消除思维定势。                                            

所谓变形就是利用不同的表现形式来表示具有同一本质属性的事物。例如：我们教师在讲解平行时，要经常让学生试着用用不同的语言来描述两条线的关系如：“a是b的平行线”、“b是a平行线”、“a和 b互相平行”等语言来叙述“a、b平行”。在这里，学生通过不停地变换语言的来表述它，加深了自己对互相平行的理解。这样以后学生在碰到这些问题的时候就不容易弄错了。而且学生在对这些不同形式同本质的例子的理解过程中也锻炼了数学思维的灵活性和多样性，所以这种有效地变形的训练有利于对学生数学思维的训练和培养。

3、注意相近的、易混的概念在练习中的比较

数学中有许多的概念是相互联系的，他们之间既有相同点，也有不同点。只有划清他们的界限才能建立清晰的概念，从而有助于培养学生思维的流畅性。因此，在教学生某些概念练习题时，要及时与邻近的、易混的、已知的概念进行比较，弄清他们之间的联系和区别，从而不仅可以巩固旧知识还可以加强新概念的清晰度。而作为学生只有在对这些概念清晰的认识的基础上，才有可能进一步发散自己的思维。

例如：在教学“梯形”的相关知识点时，学生已经认识了“平行线”与“平行四边形”了。教学时，教师引导学生把梯形与平行四边形进行比较找出两者的异同之处。

相同点：都是四边形。

不同点：平行四边形是两组对边平行，梯形只有一组对边平行。

这样，学生通过自己的观察对比，梯形“只有一组对边平行”这一本质属性就突现出来了。这样相近、易混的概念练习对学生思维的全面性、深刻性是大有裨益的。进一步说，对学生摆脱思维定势的影响，发散自己思维能力的提高也大有帮助的。

4、通过对比来消除思维定势

在我们的教学中会发现有一些概念、习题，尽管老师一再讲，但学生的印象仍然模糊，这时教师就可以通过正反两面进行教学。从反面举一些例子，提出问题。这样可以给学生留下深刻的印象，从而就更容易帮助他们摆脱思定势的影响。例如：方程的定义是“含有未知数的等式”，在这里要特别注意“含有未知数”和“等式”这两个概念。为了使学生进一步理解，除了要正面揭示以外，还可以用反面衬托的方法。让学生来辨别正误，显然，学生在辨别正误的过程中无疑会加深对概念或者题目的理解，促进思维的进一步发展。例如，下面各式中，指出哪些是方程，哪些不是方程？

    4+3x = 10         4x+6×8           3.7x = 11.1

    8x-3×5 = 49      9+4×5 = 29       x÷0.5 = 20

从上面的例式中，不仅有“正面”的式子如：4+3x=10  3.7x=11.1  8x-3×5=49  x÷0.5=20 。还有反面的式子如：4x+6×8（不是等式） 9+4×5=29（没有未知数）。教师授课时，让学生仔细观察、比较。要求学生在回答问题的时候不仅要说出结果，而且要说出这样结果的原因。通过这样的正反两个方面的对比，学生必定会加深对方程的理解。这样有助于培养学生思维的深刻性和发散性。另外还有许多其他正反对比，类型的相近练习题都对学生的发散性思维的培养有着重要的价值，在此就不一一赘述！

（三）创造机遇训练学生的数学思维

在数学课堂教学中，经常会出现学生的生成。而这些情况的出现很可能就是一些激发学生思维的好的契机。作为教师要充分抓住这些稍纵即逝的机会来训练学生的思维和能力，另外还要鼓励学生大胆提出自己的想法。当然，教师除了善于把握时机以外，在课前的教学准备（预设）可以说是培养学生发散性思维的“主力军”。教师如何来建立这些“主力军”呢？我觉得可以从以下几个方面入手。 

1、数学概念的发散——尽量让学生说说属于某一个概念的外延中的事物。要让学生多举一些生活中的实例。例如：在教学“长方体的认识”的过程中，什么是长方体？它有哪些特征？长方体的定义课本上是这样给出的：“在给出的一些实物立方体中，像火柴盒、转块的形状的是长方体。”而根据这一点学生会想到长方体的特征是：它的各个面都是长方形。但是后来学生知道正方体也是特殊的长方体。除此之外那就正确了吗？这时可以让学生想象生活中那些是长方体但各个面不一定都是长方形的。 “比如：牙膏盒……” “牙膏盒的左右侧面是正方形”。通过这样的练习与学生的日常生活相联系起来，不仅可以加深学生对长方体的认识，而且充分发挥了学生的想象力。在一定的程度上训练了学生的数学思维

2、数学问题的发散——让学生设想出根据条件可以求解的各种问题。例如：在教学分数乘除法应用题后，在数学练习中引入这样的问题：中心小学五年级（7）班有男生18人，男生人数是女生人数的，﹎﹎﹎﹎﹎？（要求：先口头提出问题，然后回答。）在教学中教师先不要急于下结论，让学生自己尽可能地补充出合理的问题。这样不仅可以激起学生的学习热情，而且还充分打开了学生的思维空间。在这种教师教得“活”，学生学得“活”的课堂上可以充分培养学生的发散性思维。经过讨论学生们很容易对此问题做了补充，并列式回答如下：（1）、女生有多少人？（2）、全班学生有多少人？（3）、女生比男生多多少人？（4）、男生比女生少多少人？

这样引导学生“一题多变”能充分训练学生的数学思维的流畅性和灵活性。而数学思维的流畅性和灵活性则是数学思维的两个重要特征，因而这种用“问题发散”来训练学生的数学思维的方法是很有作用的。

3、解题方法发散----“一题多解”一题多解就是一个问题具有两种或两种以上的解法，要求学生把各种相关的知识进行合理地应用，才能解答，才能更好地培养学生的发散思维。从而激发学生的学习兴趣，形成探索和解决问题的实际能力。有利于培养学生的发散性思维和创新意识。所以，教师在数学习题课的教学中，可以经常选一些一题多解的题目。例如：一个长方体型的玻璃缸，它的长是8米，宽是5米，高是4米。现有体积为20立方米的水倒入其中，问水平面距离缸口多少米？根据题意我可以直接用玻璃缸的高度减去水的高度就可得出结果。解法如下：1、4-20÷（5×8）=4-0.5=3.5（米）根据题意我也可以先求出玻璃缸的空余部分的体积，然后在求出其空余部分的高度，即题目要求的结果。解法如下：[（8×5×4）-20]÷（8×5）=140÷40=3.5（米）这里，学生用了不同的解法。教师应及时对此予以表扬并积极鼓励学生从多种途径探究解法。经常这样地训练有利于培养学生的数学思维。

（四）、开拓解题思路训练数学思维

所谓的解题思路，“就是运用逻辑和非逻辑的方法沟通已知条件和要求问题之间的联系。这种“有已知如何通向未知”或“由未知如何通向已知”的思考的路线就是解题思路。”数学教学中，教师一项重要的任务就是培养学生的解题能力，并且灵活利用所学的知识解决生活中与数学相关的实际问题。而学生们在解题的过程中所表现的解题思路和解题技巧又是学生思维流畅性和灵活性的一种体现。所以，教师在习题课的教学中如何拓宽学生的解题思路是培养学生数学思维的重中之重。这里说到解题思路人们通常会首先想到的是“分析”和“综合”。“分析”和“综合”固然是解决数学题目的两个重要的思路，。但是在某种情况下我们还必须用到一些特殊的思路，而这些特殊的思路，实际上体现出的就是一些特殊的数学思想方法。例如：“化归”思想、“守恒”思想、“假设”思想、 “替换”思想等等。这些特殊的数学思想在解决问题时往往可以解决特殊矛盾，起到“事半功倍”的效果。

（1）、用“化归”的思想解题。例如：甲、乙二人加工一批零件。甲加工的件数比总件数的还多出25件，乙加工的件数是甲的，求这批零件的总数。解决此题关键是要建立“数量”和“分数”之间的对应关系。“转化”：全部的零件都是由甲、乙二人加工的。乙加工的数量是甲加工的，意思即在总件数中甲加工了三份，乙加工了一份。故由此可以得到乙加工的件数占总数的。因此，可以得到解法：25÷（1--）。

通过设计运用“化归”思想解题的习题，我们可以知道，当学生按照一般的思路解题遇到较大的困难时，不妨引导、提示他们可以转变一下思路。使学生最终发现题目是如此的简单。从而可以提升学生的学习自信心，激发学生的学习积极性。在不知不觉中得到数学思维的训练。

（2）、用“守恒”的思想解题。“守恒”就是充分利用题目中给出的条件，紧紧抓住当中的不变量，并以此为主线“以不变应万变”。从而是解题更加容易、轻松激起学生的学习热情。例如：工厂原有工人240人，女工占总数的，又调进若干名女工后，女工占总人数的。求：调进女工的人数。通过学生的解答，我知道了学生在解决本题时，最大的困惑在于女工的两个分率“”和“”的标准不一样。学生知道第一个分率的标准是原工人的总数（240人）。据此可以得到原来女工的人数，但女工的第二个分率的标准是学生们无法知道的。因而他们也就无法求出调进后的女工人数，随之也就不能用调进后的女工人数减原来女工人数求出女工调进的人数。但所幸本题中男工人数是始终不变的（守恒）。这里，教师可以引导、提示学生放宽思路，从男工人的人数入手。解法有：240×（1-）÷（1-）-240或者240×[（1-）÷（1-）-1]。本题主要抓住男工人数始终不变（守恒）的这个条件。利用这种守恒的思想解题可以避开那些烦乱的条件，以不变的量作为解题的线索。既简单又不容易出错。这种“守恒”的思想使学生的思维有方向性，有目的性，同时也开拓了学生的解题思路。

（3）、用“假设”的思想解题假设，顾名思义就是在解题过程中，假设一些不实际存在的理由或条件实际上存在，从而借助这些条件得以顺利解决问题的一种数学思想方法。

例如：某工厂原有工人240人，女工调走了，男工调走了，一共还剩195人。求原来女工的人数。本例中给出条件：女工调走，男工调走。他们之间究竟有什么关系？他们在调走的45人中又各占什么样的分额？这些学生们都毫无迹象可寻，这就是说一般思路受阻了。如果运用“假设”的思想（假设男、女工各调走）就可以得到新的数量关系，解法如下：[（240-195）-240×]÷（-）。

这样我们通过“假设”就可以使本来毫无迹象可寻的数量关系一下子就清楚明朗了，为顺利解决问题创造了极为有利的条件。同时这种“假设”思想在解题中的应用无疑可以极大地开阔了学生的数学思维空间。

三、结束语

数学课程的思维价值主要体现在：数学课程是训练思维、培养抽象思维能力的重要途径。我们教师在数学教学中有选择，有目的地采取一定的方式对培养学生的数学思维能力是很有必要的。通过具体的数学教学活动鼓励学生积极思，考灵活运用所学知识解决问题，并且尽力让各种方法之间做到相互促进，相互补充，相互支持借以拓宽学生的思路、培养学生数学思维、最终提高解题能力是完全有必要的！

参考文献：

[1]：马云鹏主编, 《小学数学教学论》   人民教育出版社, 2003，2  

[2]：朱善香   《中小学教学研究》      中小学教育研究杂志社  2006，3

[3]：管宏斌   《数学教学研究》     甘肃省数学会、西北师大合办  2006，3

[4]：唐韶源   《现代中小学教育》      东北师范大学期刊社    2006，4

[5]: 宋志福   《中小学教师培训》     <<中小学教师培训>>杂志社  2006，2

[6]: 王光明 范文贵《课程标准解析与教学指导》 北京师范大学出版社2012,7