快乐数学 课程讲义

教学要点

一魔术准备

一副扑克牌

二、魔术过程

1、首先需要排列扑克牌，按黑桃♠️A、红心A、梅花♣️A、方块A找出4张A。重新开始数出8张牌插入一张A，其他三张A用同样的方式插入牌堆。
2、那我们开始任选一个10～19的数字，从第一张开始点出相应张数的扑克牌。例如13，就从第一张开始拿出13张牌，接着开始计算，1+3=4，这时，也就是把刚刚数出的第13、12、11、10放回牌堆的顶端，大家想一想，13-4=9把第9张牌单独放在一边。其实那一张就是之前放好的牌A,表演者再把8张牌放在牌堆下，以此不影响接下来的操作。
3、接下来再将步骤2重复3次，最后拿出的四张牌正好都是4张A，其实从10-19之间任选一个数，把这个数十位上的数和个位上的数加起来相减肯定就是9，你只需先将A事先放在第9、18、27、36张牌那里就可以了。

三、魔术原理

排列扑克牌四张A按要求每八张牌插入一张A，任选10-19的数字把这个数十位和个位上的数加起来相减肯定是9，那自然第9张牌是A,所以能保证每次抽出的都是A。

内容

移动的扑克牌

教学要点

一、魔术准备

扑克牌一副

二、魔术过程

1、把牌分成三堆，一张一张轮流放，想放几轮就放几轮，但要保证每堆牌一样多，多余的牌放一边，老师不看。

2、如果我说我知道你在第一堆里放了几张牌你信吗？

3、再把牌移乱点：

（1）从第二堆里拿出4张牌放到第一堆

（2）再从第三堆里拿出8张牌，放到第一堆。

（3）数一数，第二堆里有几张牌，从第一堆里数出同样多的牌，放到第三堆里。

（4）从第二堆里拿出5张牌放到第一堆。

猜：是19张。

三、魔术原理

第一堆：a+4+8-（a-4）+5=19

魔术变化：关键是第三步，数一数第二堆相同张数的牌数，从第一堆拿走，这样就能保证a减去，就可以算出最后的得数。

内容

数列求和（一）

教学要点

例：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？

分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

练习：

1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？

学生观察，独立思考，小组交流，汇报发言，教师补充

2、有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？

学生独立思考，指名回答，板书讲解过程，教师讲解解题思路。

(101-2)÷3+1=34项

3、已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？小组合作，引导学生化难为易，将数字改小一点探究

      （1001-11）÷5+1=198+1=199

内容

终极选择

教学要点

一、魔术准备

一副扑克牌、一记号笔

二、魔术过程

1、用扑克牌预测看看能不能脱颖而出？

2、从一堆牌中选出一张，并做上特殊的记号。（不给老师看）老师选一张代表自己。

3、将剩余的牌平均分成两堆（说“中”、“不中”），从中选一堆，将牌反扣在上面。老师把自己的牌放在上面，两堆合在一起。

4、依次分两堆，说“中”和“不中”，没有老师这样牌的是要淘汰的。

5、依次平均分“中”和“不中”，留下有老师牌的一堆……

6、最后剩下两堆，各有两张，有老师牌的这堆，是作记号的那张牌。

7、思考：为什么分到最后会留下作记号的那张呢？

三、魔术原理

1、牌的张数是2的倍数

2、当平均分两堆时，每一堆的第一张都会被分到同一堆，最后会只留下原来最开始两堆的第一张。

内容

全自动找牌

教学要点

一、魔术准备：

13张扑克牌（A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K）

二、魔术过程：

1.需要我们事先做一些准备，把A——K这13张牌找出来，背面朝上盖在桌子上。顺序如下：

2.将扑克牌依次摆好后，转过身去。观众随机抽取一张牌，记住它的点数后，将牌放回原处。说明：J、Q、K分别表示11点、12点13点。

三、魔术效果：

魔术师转过身来，并介绍全自动找牌的方法：魔术师会用自己的手指任意点牌的背面，每点一张牌，观众就在心里把记住的那张牌的点数加1。这样一直数，数到20时，观众就要提醒魔术师。把这张牌翻过来，正是观众挑选的那一张！

四、魔术原理：

魔术师前面6下是可以任意点，但从第7下开始，必须按K、Q、J、10、9、8、7……这样的顺序来点牌了。这样观众累加到20的时候，翻开那张牌，就恰好是观众一开始选择的那张牌了。

假设观众一开始选择的牌的点数是a,这样魔术师点完前面6下后，和就是a+6了。
        如果a=13，a+6=19，只要再点一下K，和就是20了；
        如果a=12，a+6=18，再点两张牌（K、Q），和也是20了；
        如果a=11，a+6=17，再点三张牌（K、Q、J），和是20了；
        ……
        如果a=1，a+6=7，需要再点13张牌（K、Q、J、10、9、8、……、2、1），和才是20

内容

日历表中的圈一圈、算一算

教学要点

一、魔术准备

一张日历表、一支笔

二魔术过程

1、圈出一个4×4的正方形，再在里面圈出不同行、不同列的数。

2、把这四个数加起来。

3、圈出来的数（在1、2、3、4、8、9、10、11、15、16、17、18、22、23、24、25）和是52。

4、再框一个框，圈出里面不同行不同列的数，相加是60

三、魔术揭秘

第一行用a、a+1、a+2、a+3、a+7、a+8、a+9、a+10、a+14、a+15、a+16、a+17、a+21、a+22、a+23、a+24，圈出不同数相加就是头加尾的和乘2。

内容

骰子的秘密

教学要点

一、魔术准备

骰子5个、空白正方体5个

二、魔术过程

1、把5个骰子叠成一列

2、师：能看到5割骰子所有盖住的点数，并能算出它们的和。

3、学生验证

三、魔术揭秘

观察骰子点数的分布，你有什么发现？

两个面对面的数相加等于几？也就是想对面的点数的和是7.

其余4个骰子看不见的上面加下面数的和7，因此只要将4×7＋最上面的点数。骰子的个数可以不一定是5个，也可以是其它的个数。

内容

只有一面的纸——莫比乌斯带

教学要点

一、魔术准备

剪刀、彩色笔、白纸、双面胶、直尺

二、魔术过程

1、把纸条粘成一个圈，然后在纸圈的一面涂抹，然后把整个纸圈全部抹成一个颜色，不留下空白。

2、强调：只涂一个面，到最后全都涂满。

3、把纸条的一端旋转180°，然后首尾用双面胶相连，就成了一个圈，从任意一处开始涂颜色，一直涂，涂到最后，两面涂满了颜色。也可以用画线的方法，从某处开始画线，最后首尾相连，两面都画到了，就说明了“一面涂色，正反都涂到了”。

三、魔术揭秘

沿着一点出发走完正反两面才会回到出发点。

四、魔术研究

如果沿着中间的线剪开，会剪成几个圈？在纸条上画两条线三等分，粘成莫比乌斯带，再延画线剪开，会得到几个圈？

内容

总在最中间

教学要点

一、魔术准备

一副扑克牌

二、魔术过程

1、15张牌，记住一张牌，并把它写在一张白纸上，不要给任何人看，把这张纸折好，放在自己的口袋里。

2、把15张牌洗一下，越乱越好。

3、平均分成3堆，依次分完，直到分完为止。

4、告诉表演者目标牌在哪一堆，表演者把有目标牌的那一堆放在中间，然后合在一起，继续平均分成3堆，继续问有没有，有的那一堆放中间，继续平均分，重复三次。

5、从最后一次的提示的那一堆中找出目标牌。

三、魔术揭秘

假设一般情况：在第一次平均分后是第三堆的第5张，有目标牌的这一堆放中间以后就到了10号位置，第二次平均分到了第一堆的4号位置，合起来放到中间，到了9号位置，第三次平均分移到第三堆的第三个位置，也就是所有牌的中间一张。

内容

巧用中心不对称

教学要点

一、魔术准备

一副扑克牌

二、魔术过程

1、洗牌（没有J、Q、K）），从牌中任意抽一张，拿在自己手里，记住花色和点数。

2、背面朝上，放回牌中，继续洗牌。

3、牌面朝上，找出目标牌。

三、魔术揭秘

一副扑克牌一共有54张，每张花色点数各不相同，根据不同的分类标准可以有不一样的玩法，这个就是用了“中心对称”的原理。

红心牌是中心对称，黑桃是中心对称，有30张是中心对称的，有24张不是，魔术表演时只能使用24张不是中心对称的，根据自己的喜好，让这些牌是站着的状态。

抽排时，扇形打开，观察方向变化，如果方向变化，则不需要改变，插入时与其它牌不是“站”的，洗牌是注意不要转变方向，则可找出不是“站”的那张牌。

内容

神秘克隆

教学要点

一、魔术准备

18（任意）+2张一模一样的牌

二、魔术过程

1、把这张有神奇魔力的扑克牌反扣在黑板上，手里还有一副没有任何规律的牌（一张一样的放第一张）

2、洗牌，第一张的位置不变

3、随意分成两堆，上面一堆给表演者，数一数参与者手里的牌数。

4、数出同样张数的牌放到下面，下一张翻开，放在最上面，从翻开的牌开始数，还是数刚刚相同的张数，翻开下一张，只剩最后一张牌，看跟黑板上的牌是否克隆成功。

三、魔术揭秘

克隆牌没翻时第一张，翻出时，是最后一张。翻拍的秘密：拿在手里的是19张，假设下面拿掉8张，上面是11张，数8张一个周期，翻开的牌是每个周期的第一张，第一个周期的第一张牌正好错过了，所以变成了最后一张翻开的牌。

内容

为什么和都是100

教学要点

一、魔术准备

5×5的方格纸

二、魔术过程：

1、圈出1个数，划去同行同列的数；

从剩下的数中，圈出一个数，划掉同行同列的数；

重复以上的步骤，直到圈出剩下的最后一个数。

2、把圈出的5个数相加，我猜是——

圈出的是都是100。

三、魔术原理：

1、每个方格中的数都是有固定的10个数相加得到的，只要把这10个固定的数相加设置成100，只要是不同行不同列的数相加得到的就是100。

2、魔术变化：

（1）改变10个数的和，如90、200……都可以。

（2）改变方格纸的行数和列数，如果行数和列数不同可以吗？

（3）如果改成乘法可以吗？减法和除法呢？

内容

数列求和（二）

教学要点

一、魔术准备

写有数字的纸条

二、魔术过程

1、学生随机抽取一张，排好队，代表某个数位，组成一个多位数，并将多位数相加（3个多位数）

2、如：两位同学：68+31+82得数181，三位同学：1855，四位同学：18553，五个数：185646

3、可以换位置，将数进行变化，同样快速猜出得数。

三、魔术原理

相加的多位数第一个和第二个相同数位相加都是9，因此只要把第3个加数的末尾减1就是和的个位，而中间数位（除最高位）与第三个加数的每个位数上的数相同，最高位则是1。

内容

加法中的变与不变

教学要点

例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？

练习：分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399

1、一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？

2、求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

这个等差数列的首项是1，公差是3，根据等差数列的通项公式， 这个数列的第30项等于1+（30-1）×3=88

3、求等差数列2，6，10，14……的第100项是多少？

学生独立思考，与同伴交流，小组内汇报，教师核对答案

小结：专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

内容

数列求和（三）

教学要点

复习：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

例：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。

分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。

1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050

上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：

等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2

这个公式也叫做等差数列求和公式。

练  习  

计算下面各题。

（1）1+2+3+…+49+50

=（1+50）×50÷2

=51×25

=1275

（2）6+7+8+…+74+75

引导学生县找到有多少项，再利用简便方法求和，交流讨论

（3）100+99+98+…+61+60

=(100+99+98+……+2+1)-(59+58+……+2+1)

=(1+100)*100/2-(1+59)*59/2

=5050- 1770

例：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

分析与解答：这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。

要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：

    项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25

首项=2，末项=50，项数=25

等差数列的和=（2+50）×25÷2=650

小结：通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差

项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1

求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2