五上数学思维训练课程讲义 王璐瑶
数学思维训练 校本课程讲义
内容 | 第一讲：负数的认识 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
教学 目标 | 掌握用负数表示 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
教
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要
点 | 知识链接 三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献。刘徽首先给出了正负数的定义，他说：“今两算得失相反，要令正负以名之。”意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们。 刘徽第一次给出了区分正负数的方法。他说：“两算得失相反，要另正负以名之；正算赤，负算黑；否则以斜正为异”。意思是说，用红色的小棍摆出的数表示正数，用黑色的小棍摆出的数表示负数；也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小棍表示正数。
例题1：D今天最高气温是5℃，顶计明天最高气温将下降8℃。明天的最高气温是多少摄氏度? 【思路点拨】解决这类有关温度的问题时，先要考虑原来的温度升高(或降低)多少摄氏度到0℃，再考虑还需从0℃升高(或降低)多少摄氏度。温度计上的刻度以0℃为分界点，上面是0℃以上的温度，下面是0℃以下的温度从上5℃往下降5℃到0℃，再往下降3℃到零下3℃。因此气温从5℃下降8℃，就是零下3℃。 例题2：芳芳把90分作为自己数学成绩目标分,每次得分超过1分记作﹢1分,低2分则记作( )分。 最后期末考试,芳芳的成绩记作﹢5分,芳芳实际得了（ )分. 【思路点拨】此题要将90分作为基准数,比90多几就记作正几,比90少几就记作负几,低2分记作﹣2分。 记作﹢5分,则表示比90分多5分,是95分。 例题3：潜水艇在海平面下300米记作-300米.从这个位置上升丁100米后的位置 记作( ) 【思路点拨】:可以画图帮助理解:
潜水艇从海平面下300米的位置上升了100米,即到了海平面下200米的位 置。仍在海平面下,所以记作﹣200米。 举一反三 1、冬季某一天,长春最高气温﹣15℃,青岛最高气温0℃,上海最高气温一5℃. 这三个城市中,最高气温最高的是( ),最高气温最低的是( )。 2、已知电梯上升7层,记作﹢7层;下降3层,记作﹣3层。 电梯停在第5层,第一次操作是﹣2层,第二次操作是﹢5层,电梯现在停在第( )层。 3、下表是某校食堂库存大米在一个星期内的变化情况
(1)星期三运来大米( )千克，运出大米( )千克 (2)星期( )只运出大米而没有运进。 （3)星期五运出的大米比运进的大米多( )千克 4、蜗牛爬一根长10米的竹竿,每天白天向上爬4米,晚上休息又滑下2米. (1)蜗牛第几天能爬到竹竿的顶端?用正、负数记录在下表中。
拓展提升 双语小学开展拔河比赛。比赛规则是“五场三胜”制，记分标准是:胜1场，记作1分;输1场，记作一1分。下面是五(1)班和五(2)班比赛情况记录表。
（1) 目前五(1)班胜了( )场，输了( )场。（2)目前五(1)班胜了( )场，输( )场。(3)五(1)班还要胜( )场，才能赢得比赛。(4)五(2)班若要赢得比赛，还要胜( )场。
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内容 | 第二讲：多边形的面积（一） |
教学 目标 | 找准底和高是解决平行四边形、三角形面积问题的关键，要能正确运用公式灵活解决相应的实际问题，有时需要利用等量关系把较难求的图形转化成比较好求的图形。
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教
学
要
点 |
例题1：三角形、梯形面积公式的推导
【思路点拨】推导三角形和梯形面积公式的方法有很多，基本思路都是把复杂的 图形转化为简单的图形，把不熟悉的图形转化为熟悉的图形。 像右图这样，先把一个三角形补成一个长方形， 再比较图中4个部分的大小，容易发现:甲与丙面积相等， 乙与丁面积相等，也就是说，原三角形的面积是补成的长方形面积的一半。
高÷2。 如图右图，把一个梯形先分成两个三角形甲、乙，容易看出 三角形甲的面积=ah÷2,三角形乙的面积=bh÷2 梯形面积=甲的面积+乙的面积= ah÷2+ bh÷2 =（a+b）h÷2 例题2：如图，三角形BDE的面积是24平方厘米，如果 三角形ABC的面积等于平行四边形DEFC面积的3倍，那么 三角形ABC的面积是( )平方厘米 【思路点拨】: 潜因为三角形BDE和平行四边形DEFC 是等底等高的，所以平行四边形DEFC的面积8是三角形BDE面积的2倍。三角形ABC的面积就是三角形BDE面积的6倍。24×6＝144(平方厘米)。
举一反三
1、8公顷＝( )平方米 5公顷9000平方米=( )公顷 48公顷＝( )平方千米 0．52平方千米=（ ）公顷
3、如图，等腰梯形ABCD中，AB=4厘米，BC=6厘米， AD=（ ）厘米。 4、梯形的上底增加3cm,下底减少3cm，高不变，面积 ( )。
6、如图，阴影部分面积是24平方厘米，则平行四边形的面积是（ ）平方厘米。
7、每公顷阔叶林，每天可以释放750千克氧气，森林公园形状为三角形，底为1千米， 高4千米，这个森林公园每天可以释放氧气多少吨？
8、一个梯形的高和两底的乘积分别为24平方厘米和18平方厘米，这个梯形的面积是多少平方厘米？
拓展提升
下图中含有梯形ADCE、平行四边形ADFE和长方形ABCD三个图形。 已知AO=9厘米，DC=15厘米，BC=6厘米，求阴影部分的面积。
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内容 | 第三讲：多边形的面积（二） |
教学 目标 | 正确运用公式是求多边形面积的一般方法，但有时还要根据图形的特点运用其它方法（如等量代换、添加辅助线、平移、旋转、割补等）巧妙地解题，利用多边形面积公式之间的内在联系，因题而异，灵活巧妙地计算组合图形的面积。 |
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点 | 例1 如图所示，已知BC=5厘米，AD=2厘米，AE=4厘米， CF=6厘米。∠AEB=90°，∠CFD=90°，求阴影部分面积。
三角形ADC底为AD、高CF已知。三角形ABC底为BC、高为AE已知。
例题2：如图，A、B分别是正方形两条边上的中点，
【思路点拨】阴影部分为三角形首先考虑公式法，但三角形的底和高都没有，只能考虑其它方法，比如整体减部分，整体是大正方形，已知边长面积可求，8×8=64平方厘米，因为A、B分别为边上的中点所以另外三个三角形的底和高都可求， 8×4÷2＋8×4÷2＋4×4÷2=40（平方厘米） 所以阴影部分面积为：64-40=24（平方厘米）。
【思路点拨】常规思路求长方形的宽DE应知道长方形的 面积和长，由已知可知长方形长DG=5厘米。长方形面积未知，只能通过找与其它图形的关系，连接AG，观察可以发现三角形ADG既是正方形ABCD面积的
长方形面积可求。
举一反三 1、
2、求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
3、求下面图形的面积。（单位：厘米）
拓展提升
如图，三角形ABC的面积是30平方厘米，AD=5厘米，EF=3厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？
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内容 | 第四讲：小数的意义和性质 |
教学 目标 | 能正确改写与求近似数 |
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点 | 例题1：将532.6万先改写成用“亿”作单位的数，再改写成用“一”作单位的数? 【思路点拨】解因为用“万”作单位的数小数点已经点在万位的右下角，要将用“万”作单位的数改写成用“亿”作单位的数，只要再往前数四位到亿位右下角点上小数点就可以了，数位不足的要用0补足。要将用“万”作单位的数改写成用“一”作单位的数，可以考虑万位的右边有四大的个数位，数位不足的，根据小数的性质把小数末尾的0补上，补足四位，然后把小数点向右移动四位就可以了。 例题2：用2，5，8，0这4个数字和小数点可以组成多少个三位小数？按从小到大排列，2.508排在第几个？ 【思路点拨】由于组成的数是三位小数，所以整数部分一定用其中的一个数字。如果0放在整数部分，那么可以组成0.258，0.285，0.528，0.582，0.825，0.852这6个小数。同理可得2，5，8分别放在整数部分时，也各有6个。所以可以组成4×6＝24(个)三位小数，2.508的整数部分是2，比整数部分是0的6个小数都大的且2.508比2.058和2.085都大，所以排在第6+3＝9(个)。
举一反三 1、按要求改写下面各数，再保留两位小数。 368800000=（ ）亿≈（ ）亿 9653=（ ）万≈（ ）万 2、一个三位小数，保留一位小数是10.0，这个三位小数最大是（ ），最小是（ ）。 3、按规律填数 （1）0.6，0.8，1.4，（ ），（ ）。 （2）9.7，9，8.3，7.6，（ ），（ ） 4、将下列各数按从小到大顺序排列，用“＜”号连接 7.007，7，7.707，7.7，0.7，7.708
5、把12.51万的“万”字和小数点去掉，应在后面补（ ）个零，才能保证它的数值没有改变。 6、大于0.19小于1.22的数有（ ）个。 7、将下面的小数填在适当的括号里。 1.75 0.8 6.5 一个铅笔盒的价钱是( )元,一位叔叔的身高是( )米,一个书包重( )千克。 8、三人进行50米赛跑,小明用了8.8秒,小亮用了9.5秒,小刚用了8.6秒。 三人谁得了第一名? 9、小刚在读一个小数时,没有看到小数点,结果读成六百八十七万零八 原来的小数读出来只读一个“零”,原来的小数是多少?
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一个三位小数和一个两位小数的近似数都是2.6，这两个小数最大相差多少？最小相差多少？
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内容 | 第五讲：小数加、减法（一） |
教学 目标 | 小数加减法的计算方法和整数加减法的计算方法基本是相同的，都需要把相同数位对齐后分别相加减。对于小数而言也就是要把小数点对齐，然后把相同数位上的数分别相加减。 小数加减法中也有一些题目是可以进行简便计算的。简算的方法与整数加减法的简算方法基本是相同的。解题的主要思想方法是“凑整”运用的计算原理主要是各种运算定律和运算性质。 |
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点 | 例题1：一名同学在计算3.58加一个一位小数时，错误的把两个加数的末位对齐，结果得到了3.89。正确的结果应该是多少？ 【思路点拨】由于错误的把两个加数的末位对齐了，结果得到了3.89，我们可以将错就错，求出错误算法中的另一个加数，再结合原来这个加数是一位小数，还原出原加数，进而求出正确的结果。3.89-3.58=0.31,3.58+3.1=6.68 例题2：在一道减法算式中，差是9.36，当被减数增加1.5，减数减少4.8时，差是多少？ 【思路点拨】在减法算式中，差的增减变化与被减数的增减变化一致，与减数的增减变化相反。当被减数增加1.5时，差也随着被减数增加1.5，当减数减少4.8时，差反而会增加4.8，也就是差9.36先增加1.5，再增加4.8，得现在的差是9.36+1.5+4.8=15.66 例题3：小明在计算一道减法时，把被减数个位上的9当成了6，把减数十分位上的4看成了7，小明计算的结果是15.4，正确的计算结果是多少？ 【思路点拨】被减数个位上的9表示9个1，小明看成了6个1，所以被减数就少算了3，这样差也就少了3，我们要先把这个3补上。而减数十分位上的4表示4个0.1，被看成 7个0.1，这样就多减了3个0.1，差又减少了0.3所以还要把0.3补上。所以正确的结果为15.4+3+0.3=18.7
举一反三 1、一个三位小数，减去一个两位小数，所得的差是 ( ）小数。 2、一道减法算式中，被减数、减数、差的和是10，差是3.2，减数是（ ）。 3、小林有12.5元，小华有21.5元，两人合买一套书还差8.7元，这套书的售价是多少钱？
4、小马虎在做减法题时不慎将被减数百分位上的3看成了8，把减数十分位上的7看成了2，小马虎计算的结果是1.87，你知道正确的结果是多少么？
5、简算下列各式 0.9+0.99+0.999+0.9999 4.7+4.8+4.9+5.0+5.1+5.2+5.3
3.18- （0.33+1.18） 23-0.78-4.22 8.85+2.89+1.15
6、乐乐妈妈每月给乐乐30元零花钱，到7月底乐乐结余126.54元。8月份乐乐用去27.9元，到8月底乐乐结余多少钱？
拓展提升
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内容 | 第七讲：消元法解题 |
教学 目标 | 许多问题中往往有两个或两个以上的未知数，解这类问题时，可以设法消去1个未知 数.在消去未知数的过程中，要用到下面这个规律:几个部分量扩大或缩小相同的倍数，总量也扩大或缩小相同的倍数。
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点 | 例题1：学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去134元;第二次又买了同样的3个水瓶和16个茶杯，共用去118元.水瓶和茶杯的单价各是多少元? 【思路点拨】根据意，我们可以列这样的等量关系 3个水瓶的钱＋20个茶杯的钱＝134元，① 3个水瓶的钱＋16个茶杯的钱＝18元，② 用①－②，得 4个茶杯的钱＝16元，所以每个茶杯4元钱每个水瓶的价钱是： (134-20×4)÷3＝18(元) 例题2：买3个篮球和5个排球共用去480元，买同样的6个篮球和3个排球共用去519元。篮球和排球的单价各是多少元? 【思路点拨】根据题意，有3个篮球的钱＋5个排球的钱＝480元，① 6个篮球的钱＋3个排球的钱＝519元，② ①×2，得 6个篮球的钱＋10个排球的钱＝960元，③ ③一②，得7个排球的钱＝960-519＝441(元) 即可求得排球的单价，进而求出篮球的单价
举一反三 1、买4个篮球和7个足球共用去480元，买同样的4个篮球和2个足球共用去280元，篮球和足球的单价各是多少？
2、买3支钢笔和2瓶墨水要付25.5元，如果买5支钢笔和2瓶墨水要付38.5元。一支钢笔和一瓶墨水各多少元？
3、水果店的3筐苹果和5筐梨中，梨和苹果共有86个，6筐苹果和4筐梨中，梨和苹果共有112个，问：每筐苹果苹果和每筐梨各有多少个？
4、某食堂第一次运进5袋大米和3袋面粉，共重185千克;第二次运进3袋大米和5袋面粉，共重175千克。一袋大米和一袋袋面粉各重多少千克?
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张大爷养了22只羊，李大爷养了7头牛，两家的牛羊每天共吃草200千克，如果两户对换2只羊与2头牛，则每户的牛羊吃草相等，一只羊和一头牛每天吃草多少千克？
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内容 | 第八讲：小数乘、除法（一） |
教学 目标 | 1、小数乘法的计算法则。计算小数乘法，先按照整数乘法的法则算出积，再看因数中共有几位小数，然后从积的右边向左数出几位，点上小数点。 2、除数是小数的除法计算法则。先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位(位数不够的，在被除数的末尾加0补足)，然后按照除数是整数的小数除法法则进行计算。 |
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点 | 一、回顾小数乘除法计算 例题1：甲乙两数的和是16.5，甲数的小数点向右移动一位正好等于乙数，你知道甲乙两数各是多少吗？ 【思路点拨】此一个数的小数点向右移动一位，说明得到的新数是原数的10倍。把原数看成1份，新数就是这样的10倍。
举一反三 甲乙两数的和是82.5，甲数的小数点向左移动一位正好等于乙数，你知道甲乙两数各是多少吗？ 一个数的小数点向右移动一位后得到的数比这个数大4.5，原来的小数是（ ）？
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甲乙两数的和是15.33，如果甲数的小数点向左移动一位，得到新小数是乙数的2倍，甲乙两数各是多少？ |
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内容 | 第九讲：小数乘、除法（二） |
教学 目标 | 1、小数乘法的计算法则。计算小数乘法，先按照整数乘法的法则算出积，再看因数中共有几位小数，然后从积的右边向左数出几位，点上小数点。 2、除数是小数的除法计算法则。先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位(位数不够的，在被除数的末尾加0补足)，然后按照除数是整数的小数除法法则进行计算。
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点 | 例题1：在( )里填合适的数。 0.45时=( )分 38000平方米=( )公顷 1.2公顷=( )平方千米 【思路点拨】：这是考查有关应用小数点移动规律进行单位换算的问题。小时与分之间的进率是60，小时换算成以“分”为单位要乘进率，0.45×60=27；38000平方米换算成以“公顷”为单位，是低级单位换算为高级单位，除以它们之间的进率10000，38000－10000，小数点向左移动四位，是3.8公顷；1.2公顷换算成以“平方千米”为单位，是低级单位换算成高级单位，除以进率100，1.2÷100，小数点向左移动两位，是0.012平方千米。解答：27 3.8 0.012 例题2：为了鼓励节约用电，某电力公司规定以下的电费计算方法：每月用电不超过100度时，按每度0.52元收费；每月超过100度时，超过部分按每度0.6元收费。小明家10月份付电费64.6元，用电多少度? 【思路点拨】先看小明家用电有没有超过100度，即电费有没有超过0.52×100=52(元)。可以看出已经超过了，因此把他家的用电分为两部分：100度内和超过100度的部分。超过100度的部分：64.6－0.52×100=12.6(元) 12.6-0.6=21(度) 100＋21=121(度) 答：小明家10月份用电121度。
举一反三 1、 一个长方形的苗圃长0.32千米，宽是长的一半，小明绕苗圃走了3周，他共走了多少千米？ 2、商店的手套每5.18元、围巾每条16.65元、帽子每顶4.82元。爸爸带了70元钱、想买三条围巾、两副手套和两顶帽子，钱够么?
3、一个两层书架，上层放的书是下层的2.5倍，如果从上层取60本放入下层，则两层书的本数相等。上层原来放书多少本？
4、甲、乙、丙三人合伙做饭，一共烧去甲的5捆柴、乙的4捆柴，丙没有出柴，他拿出1.8元贴补给甲、乙两人。甲、乙两人如何分这些钱？
5、某市收取水费的标准是：若每月不超过10吨，每吨收费1元；若每月超过10吨，超过部分按每吨1.8元收费。小亮家某月交水费20.8元，这个月苹 小亮家用水多少吨?
拓展提升
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内容 | 第十讲：小数简便计算 |
教学 目标 | 要想使运算简便，就要熟练运用四则运算中的运算律及运算技巧.在进行小数四则运算时，有时会遇到两个数数字排列相同但小数点位置不同的情况，这可以合理运用因数与积的变化规律，在不改变计算结果的情况下调整算式，使其可以运用运算律，使计算简便。
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点 | 例题1：计算： （1）37.5+13.9+42.5+16.1 （2）128.5-（16.54+28.5） （3）12.5×32×2.5 （4）9.8×74 【思路点拨】第(1)题运用加法结合律进行简便计算。第(2)题运用减法性质进行简便计算。第(3)题运用乘法结合律进行简便计算。第(4)题运用乘法分配律进行简便计算
=(37.5+42.5)+(13.9+16.1) =80+30
(2)128.5-(16.54+28.5) =128.5-28.5-16.54 =100-16.54 =83.46
举一反三 1、 用简便简便方法计算下面各题 2.5×10.4 3.8×0.99 1.25×88
4.6×99+4.6 7.5×101－7.5
2、400.6×7－200.3×4 7.68÷2.5÷0.4
3、3.6×2.32＋6.68×3.6＋3.6
4、3.75×4.8+6.35×4.8-48×0.01
拓展提升
用13.2米长的篱笆一面靠墙围成一个宽为3.2米的长方形菜园，这个菜园的面积最大是多少？
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内容 | 第十一讲：积和商的近似值 |
教学 目标 | 根据要求，要省略的尾数的最高位上的数字小于或等于4的，就直接把尾数舍去；如果尾数的最高位数大于或等于5，把尾数舍去后并向它的前一位进“1”，即满五进一。这种取近似数的方法叫做四舍五入法。 进一法是去掉尾数以后，在需要保留的部分的最后一位数字上进“1”。这样得到的近似值为过剩近似值（即比准确值大），该方法又称“收尾法”。 退一法是去掉尾数后，在需要保留的部分的最后一位数字上退“1”。这样得到的近似值为不足近似值（即比准确值小）。 在实际计算中，根据实际情况有时需要把一个数某位后面的数字全部舍去，而不管这些数字是否等于或大于5，这种取近似数的方法叫去尾法。
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点 | 例题1：联系实际想一想：下面各题的答案怎样取近似值比较合理? （1） 有10升油，每3升装一桶，需要多少个油桶？ （2） 蜘蛛每小时爬行1.9千米，蜗牛每小时爬行0.045千米，蜘蛛的爬行速度是蜗牛的多少倍？（得数保留整数） （3） 王师傅做一个零件平均要5分钟，他工作24分钟能做多少个零件？ 【思路点拨】（1）剩下的油，也需要用一个油桶来装，要用“进一”法。（2）求倍数可以用“四舍五入”法。（3）做一个零件要5分钟，不足5分钟，就做不成一个零件，要用“去尾”法。 （1）10÷3=3（个）……1（升） 3＋1=4（个）。答：需要4个油桶。 （2）1.9÷0.045≈42 答：蜘蛛爬行的速度是蜗牛的42倍。 （3）24÷5=4（个）……4（分）答：他工作24分钟能做4个零件。
举一反三 1、做一套衣服要用2.4米布，87米布最多可以做（ ）套衣服 2、一个油桶最多装4.5升油，购买62升油，至少要准备（ ）个这样的油桶。 3、一瓶饮料800毫升，可以倒满250毫升的玻璃杯（ ）杯。 4、南京到上海的铁路长305千米，一列火车行完全程需要3.6小时，平均每小时行驶多少千米？（得数保留一位小数）
5、王老师用800元为希望小学的孩子购买学习用品，先用去379.6元购买了26个书包，余下的钱购买文具盒，每个文具盒6.5元，最多可以买多少个文具盒？
6、用一块长2.3米，宽1.6米的长方形铁皮加工铁皮箱子，平均每个箱子要耗费铁皮0.85平方米，这块铁皮最多能加工多少个铁皮箱子？
7、陈大妈去干货店买花生和杏仁，她带的钱正好可以买9.5千克花生，如果每千克杏仁是花生的3.8倍，那么陈大妈带的钱可以买多少千克杏仁？
拓展提升 城东小学要添置60个篮球作为课外活动的器材。现在有甲、乙、丙3家体育用品商店可以选择，3家商店的篮球单价都是30元/个，但每个商店的优惠措施不同。 甲商店:每买满10个篮球免费赠送2个。 乙商店:每个篮球优惠5.5元 丙商店:购物每满100元，返还现金19.5元。 为了节省费用，你觉得这个学校应该去哪家商店购买?
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内容 | 第十二讲：统计图 | |||||||||||||||
教学 目标 | 在本单元学习中，我们不仅要学会看懂统计表和统计图，回答简单的问题，而且要根据统计表正确制作条形统计图，更要仔细分析图表中的数据，联系生活，通过数据分析，达到对生活现象的判断、预测和较为深刻的把握。
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年 月
(1)两地平均气温最接近的是第( )季度，平均气温差距最大的是第( )季度 (2)一年中，( )市的平均气温比较高。 (3)你还得到了什么信息? 【思路点拨】将条形统计图上的数据填在相应的表格里，要看清图例和数据，不能混淆。回答三个问题，看统计图更直观、更方便，在回答“你还得到了什么信息?”时，除了比较数量多少之外，还应该联系生活实际，思考这两个城市存在气温差的地理位置的原因。 举一反三
(1)( )年级同学植树最多，一共植树( )棵。 (2)三年级男生比四年级男生少植树( )棵，五年级女生是三年级女生植树棵数的( )倍。 (3)根据上图，请你再提出一个问题。
现有以下说法，正确的选项是 ①9~11月，每月的销量都是甲品牌大于乙品牌；②9~11月，甲品牌的利润大于乙品牌； ③9~11月，甲、乙两种产品的平均销量都在150件以上；④照这样估计，12月份的销量应该很乐观。 A、①②③④ B、①③④ C、①②④ D、①②③ 拓展提升 幼儿园中班的小朋友们分小红花，若每人分3朵，则差6朵；若每人分5朵，则差36朵。中班有多少个小朋友?一共有多少朵小红花? |
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内容 | 第十三讲：解决实际问题（一） | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
教学 目标 | 在解题时，常会有一些问题不容易列出算式来解答，为了找到答案，需要把符合已知条件的情况，既不重复、又不遗漏的列举出来，这种方法就是一一列举。
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点 | 例题1：A、B、C、D、E5人进行象棋比赛，每两人都要赛一盘。直到现在为止，A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘。E已经赛了几盘？ 【思路点拨】解决这类有关温度的问题时，先要考虑原来的温度升高(或降低)多少摄氏度到0℃，再考虑还需从0℃升高(或降低)多少摄氏度。温度计上的刻度以0℃为分界点，上面是0℃以上的温度，下面是0℃以下的温度从上5℃往下降5℃到0℃，再往下降3℃到零下3℃。因此气温从5℃下降8℃，就是零下3℃。 例题2：王师傅准备用16米长的篱笆一面靠墙围成长方形菜地，要使长和宽都是整米数，有多少种不同的围法？怎样围面积最大。 【思路点拨】无论怎样围，篱笆的长总是16米，面靠墙，说明(平行于墙的边长+垂直于墙的边长×2)等于16米，我们可以从垂直于墙的边长是1米开始列举，就可以找到几种不同的
有7种不同的围法。围成宽4米、长8米的长方形面积最大
举一反三
1、在一张纸上有5个点，任意3个点不在同一直线上。过任意两个点画一条直线，一共可以画（ ）条直线。 2、从甲地到乙地可以坐飞机、火车、汽车；从乙地到丙地可以坐飞机、火车、汽车、轮船。某人从甲地经过乙地到丙地，共有（ ）种方式。 3、6位同学，每2人通一次电话，一共要通（ ）次电话。 4、信号兵用红、黄、蓝3面旗挂在旗杆上表示信号。每次可挂1面、2面、3面或不挂。并且顺序不同也表示不同的信号表示出多少种不同的信号?
6、早上，妈妈为小明准备了一杯牛奶、一个鸡蛋和一个面包，小明要依次把它 们吃完，可以有多少种不同的吃法?
拓展提升
五(1)班同学去划船，每条大船可以坐6人，每条小船可以坐4人，每条船不能有空 位，师生共有46人。要租几条大船，几条小船?有多少种不同的租船方案?
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内容 | 第十四讲：解决问题策略（二） |
教学 目标 | “一一列举”是常用的、有效的解题策略，在列举时要有序地举例，这样才能做到不重复、不遗漏，在列举时，有时可以用符号、字母、数字来代替，使列举更简单。
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例题1：学校组织英语口语、作文、奥数比赛，规定每人可以参加其中的一项或两项比赛，每人一共有几种不同的参赛方法? 【思路点拨】本题可以采用“一一列举”的方法来解答，列表如下
故共有6种不同的参赛方法。 例题2：两个自然数相乘，积是12的乘法算式有多少个? 【思路点拨】交换交换两个乘数的位置可以得到不同的乘法算式。
答：积是12 的乘法算式有6个。
举一反三
1、有1克、5克和10克的砝码各一个，选其中的1个或几个放在天平的一端，在天平上能称出( )种不同质量的物体。 2、一列火车从上海到扬州，中途要经过4个站。这列火车要准备( )种不同的车票。 3、件不同的商品A，B，C，D陈列在窗内，排成一排。 (1)如果A商品不放在中间，那么有几种不同的排法?
(2)如果B商品不能放在两端，那么有几种不同的排法?
4、甲、乙、丙3人参加了少年官的活动，甲每2天去一次・，乙每3天去一次，丙每4天去一次。若5月20日这天他们3人在少年宫碰面，则他们下次在少年宮碰面是几月几日?
5、布袋里面有红球12个、黄球9个、白球3个。 小明从布袋中摸出两个球,取出的两个球可能会有多少种不同的情况?
6、同学们参加运动会，有以下几个项目：跳远短跑、跳高、长跑。规定每名同学最少参加1项，最多可以参加3项。有多少种不同的报名方法?
拓展提升 从甲城到乙城,先乘飞机,再乘火车,最后乘汽车。已知一天中汽车有2班,火车有4班,飞机有3班。从甲城到乙城共有多少种不同的方法？ |
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内容 | 第十五讲：用字母表示数（一） | ||||||||||||||||||||||||
教学 目标 | 用运算符号将数字、字母连接而成的式子叫做代数式，例如3a+b.单独的一个数字或字母也叫做代数式。代数式书写时应符合下列要求：(1)表示数字和字母的乘积，字母和字母的乘积时，乘号可以省略。(2)表示数字和字母相乘的时候，数字应放在字母的前面。(3)在除法算式中，除号应该用分数线表示。
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点 | 例题1：买一副羽毛球拍需m元，买一副乒乓球拍需n元，买6副羽毛球拍和8副乒乓球拍，一共需要多少元? 【思路点拨】根据“单价×数量=总价”可以分别列式表示6副羽毛球拍和8副乒乓球拍的总价，再把结果相加，所以结果是6×m+8×n=6m+8n。 例题2：小红比小玲大a岁，如果小红今年11岁，小玲4年后多少岁?计算：当a=3时，小玲4年后的岁数。 【思路点拨】首先，根据小红与小玲的年龄关系，表示出小玲今年的年龄，再表示小玲4年后的年龄，最后计算当a=3时，小玲4年后的岁数。小玲今年的岁数是11一a，4年后小玲的岁数是11-a+4=15-a，当a=3时，小玲4年后的岁数是12岁 例题3：如果等腰三角形的一个底角是x，那么它的顶角是( )° 【思路点拨】: 由三角形的内角之和是180°，可知顶角=180°一底角×2，所以它的顶角是(180－2x)°。
举一反三 1、李师傅每小时加工50个零件，加工了x小时，一共加工了( )个零件。2、去年某冰箱厂生产x万台冰箱，今年生产的比去年的2倍少8万台，今年生产 冰箱( )万台。 3、织布厂的王阿姨每天工作8小时，每天能织布a米，她平均每小时织布( ) 米，她一周(按工作5天算)能织布( )米。 4、用含有字母的式子表示比x的2倍少18的数（ ）。 5、用小棒按照如下形状摆图形：
如果要摆出n个正方形，需要多少根这样的小棒?当n=100时，需要多少根小棒?
6、一桶油连桶共重x千克，倒出一半油后重y千克，那么油重多少千克?桶重多少千克?
7、先找出下表中每行数的排列规律，再完成表格。
拓展提升
一个长方形的长是a厘米，宽是b厘米。如果将长、宽都增加1厘米，那么周长将增加多厘米?
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内容 | 第十六讲：用字母表示数（二） |
教学 目标 | 用运算符号将数字、字母连接而成的式子叫做代数式，例如3a+b.单独的一个数字或字母也叫做代数式，遇到实际问题时字母的取值应符合实际情况。例如用a+10表示一个人的岁数，a的取值不可能是任何数，应该是在一个数值以内。代数式可以按运算规则进行化简。
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点 | 例题1：“☆”表示一种运算符号，其运算规则是a☆b=a 【思路点拨】解用6和4分别代替算式中的a与b，然后进行计算。 a☆b= a =6 =36十48十16 =100 例题2：一个三位数，最高位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c，用含有字母的式子表示这个三位数。 【思路点拨】有的同学可能会用abc表示出这个三位数，其实abc＝aXb×c，并不能表示这个数。可以这样想，一个三位数的百位上是几就表示几个百，也就是a个百;十位上是b，就表示有b个十;个位上是c，就表示有C个。所以这个三位数是由a个百、b个十和c个一组成的。解答:100a+10b+c
举一反三 1、用两个边长都是a的正方形拼成一个长方形。这个长方形的周长是( )。2、若一个长方形的周长是m厘米，宽是n厘米，则这个长方形的长是( )厘米。 3、如果等腰三角形的底边长是a，周长是c，那么它的一条腰长是多少?
4、在一个长为m米、宽为n米(m≥n)的长方形中，剪去一个最大的正方形.剩下图形的面积是多少平方米?
5、小明和小军从同一地点出发向相反的方向跑步，小明每分钟跑a米，小军每分钟跑b米。问：10分钟后两人相距多少米?
6、按下图方式摆放餐桌和椅子。
(1) 按此规律摆放，n张餐桌可坐多少人。
(2)按此规律摆放餐桌，要坐30人，需要多少张餐桌?
7、一个数的千位上数字是z，百位上数字是k，十位上数字是6，个位上数字是k。这个数是多少?
拓展提升
如果x※y=4x十3y，那么6※(5※4)结果是多少?
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内容 | 第十七讲：行程问题（一） |
教学 目标 | 相遇问题是行程问题的一种类型，它的结构特征是：两个运动的物体，同时或不同时从两地相向而行，经过一定时间相遇。 解答这类问题的关键是理解速度、时间、路程这三者之间的关系。 速度和×相遇时间=总路程 总路程÷速度和=相遇时间 总路程÷相遇时间=速度和
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点 | 例题1：甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离100千米。甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。甲带着一只狗，狗每小时行10千米。这只狗同甲一道出发，向乙跑去，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边跑，碰到甲时又往乙那边跑，直到两人相遇。这只狗共跑了多少千米? 【思路点拨】解由于狗从甲跑向乙，遇乙后又掉头跑向甲，遇甲又跑向乙直至甲、乙两人相遇。狗跑的路程来来回回比较复杂，很难用分段的方法算出狗跑的路程。通过比较，发现狗跑的同时正好就是甲、乙两人相的时间，用这个时间和狗胞的速度相乘就得到狗跑的路程。100÷(6+4)＝10(小时) 10×10＝100(千米) 例题2：小玲每分钟行100米，小明每分钟行80米，两人同时从学校和少年宫出发相向而行，在离中点120米处相遇。学校与少年宫相距多远? 【思路点拨】此两人在离中点120米处相遇，由于小玲的速度比小明快，所以相遇时小玲行了全程的一半多120米，小明行了全程的一半少120米。因此在相同的时间里，小玲比小明多出小玲、小明两人相遇时小玲比小明多行240米所用的时间，即20÷20＝12(分)，最后用两人的速度和乘相遇时间就可以算出两地的距离。
举一反三 1、一辆客车和一辆货车同时从相距225千米的两地相向而行，客车每小时行50千米， 货车每小时行40千米，行了几小时后两车相距45千米?再行几小时后两车又相距45千米?
2、兄弟两人从相距100米的两地同时出发，沿同一方向跑步，弟弟在前，每分跑120米，哥哥在后，每分跑140米。几分钟后哥哥追上弟弟?
3、两辆汽车同时从两地相对开出，沿同一条公路行进，速度分别是每小时80千米和每小时60千米，在距离两地中点30千米的某处相遇.问两地相距多少千米
4、小汽车和货车同时从相距600千米的两地相向开出，4小时后相遇。已知小汽车比货车每小时快8千米。小汽车和货车的速度分别是每小时多少千米?
5、A，B两地相距612千米，两辆汽车同时从A地开去B地，快车每小时行68千米，慢车每小时行54千米，当快车到达B地时，慢车离B地还有多少千米? 拓展提升 甲、乙两人同时从A地到B地，甲每分钟走250米，乙每分钟走90米。甲到达B地后立即返回。 |
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内容 | 第十八讲：行程问题（二）
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教学 目标 | 相遇问题是行程问题的一种类型，它的结构特征是：两个运动的物体，同时或不同时从两地相向而行，经过一定时间相遇。 解答这类问题的关键是理解速度、时间、路程这三者之间的关系。 速度和×相遇时间=总路程 总路程÷速度和=相遇时间 总路程÷相遇时间=速度和
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点 | 例1中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米，两车由一个车站开出，已知中巴车先开出，30分钟后小轿车沿着中巴车的路线开出，小轿车经过多少时间能追上中巴车? 【思路点拨】中巴车先开出30分钟，可先求出小轿车出发时中巴车已行了60×(30一60)=30(千米)，即中巴车已在小轿车前面30千米处，由于小轿车每小时比中巴车快84一60=24(千米)，所以小轿车追上中巴车所用的时间就是小轿车比中巴车多行30千米所用的时间，即追及时间。 解：60×(30一60)=30(千米)30÷(84一60)=1.25(小时) 答：小轿车经过1.25小时能追上中巴车。 例题2：甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟100米、90米、75米。甲在公路上A处，乙、丙同在公路上B处，三人同时出发，甲与乙、丙相向而行。甲和乙相遇3分钟后，甲和丙又相遇了。求A、B之间的路程。 【思路点拨】甲和乙相遇后再过3分钟甲又与丙相遇，说明甲和乙相遇时乙比丙多行了(100十75)X3=525(米)，而乙每分钟比丙多行90-75=15(米)，多行525米需要525-15=35(分钟)，35分钟实际上就是甲和乙的相遇时间。因此A、B两地之间的路程是(100十90)×35=6650(米)。 解：(100十75)×3=525(米) 525一(90一75)=35(分) (100十90)×35=6650(米) 答：A、B之间的路程是6650米。 举一反三 1、 一列火车长120米，每秒行25千米。全车通过一座180米的大桥，需要多长时间？
2、甲、乙两地相距540千米，一辆小车和一辆大车同时从两地相对开出，5小时后，大、小两车还相距36.5千米。已知小车每小时行驶55千米，大车每小时行驶多少千米?
3、一艘客轮在静水中的速度是每小时2.5千米，如果它在长江中顺水航行120千米，水速是每小时2千米，那么这艘客轮大约要航行多长时间?(得数保留一位小数)
4、甲、乙两车早上8时分别从A、B两地同时相向出发，到10时两车相距120千米;继续行进到下午1时，两车相距还是120千米。A、B两地间的距离是多少千米?
拓展提升 A，B两地相距603千米，两辆汽车同时从A地开去B地，快车每小时行67千米，慢车每小时行58千米，当快车到达B地时，慢车离B地还有多少千米?
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